소수쿘 무한성 : 수열쿘 즿�? 솿뿄 비굿로 2: 두 판 사이의 차이

${\displaystyle 1,2,2^{2},2^{3},\cdots ,2^{k}}$

${\displaystyle 1,3,3^{2},3^{3},\cdots ,3^{k}}$

${\displaystyle 1,5,5^{2},5^{3},\cdots ,5^{k}}$

${\displaystyle 1,p,p^{2},p^{3},\cdots ,p^{k}}$

Q. 바로 답이 나와야하는 질문 : 만들 수 있는 수 중에서 가장 작은 수와 가장 큰 수는?

${\displaystyle 1,2,3,4,5,\cdots ,2^{k}}$

${\displaystyle 2^{k}\leq (k+1)^{m}}$

직관적으로도 본다면 다음과 같다. 위 부등식에서 앞의 항은 2 배씩 커져가고, 뒤의 항은 정해진 m에 대해 살짝(!) 커진다. 물론 m이 엄청나게 큰 수라면 이 수는 엄청난 수일지 모르지만, 아무리 그렇더라도 언젠가는 두배씩 성큼 성큼 커가는 앞의 항에게 따라 잡힐 것이다. 따라서 우리가 가지고 있는 소수가 정해진 수 만큼밖에 없다면 그보다 큰 자연수는 소수들의 곱으로 표현할 수 없다.