${\displaystyle 0.99999999999999999\cdots =1=1.00000000000000000\cdots }$

이다. why? 증명이라고 하긴 그렇고 설득력 있는 논리를 내보자.

• 사실 1.5 나 0.345나 3.14239 같은 표현은 어떤 수에 대한 다른 표현일 뿐이다. 유리수나 무리수를 그런 식으로 나타낼 수 있다고 받아들였다. '하나'라는 수 개념을 표현하는 방법은 여러가지다. 1도 되고 一 도 되고, 고대엔 저마다 다른 글씨를 갖고 있었다. 파일:자연수.jpg. 그 많은 표현법 중 위의 길고 긴, 끝없이 긴 수도 '하나'에 대한 표현이다. 무한의 나라 사람들에게 내가 그렇게 쓴다면 그들은 "어? 당신은 지금 '하나'라는 말을 우리말로도 할 줄 아네요?" 하고는 더 좋아할 것이다. 1이라고 쓰는 것보다, 멋있지 않은가?

• 0.3333... 이 유리수라는 것은 누구나 아는 사실이다. 왜냐하면 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$의 다른 표현이기 때문이다. 그 수의 두 배는 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$다. 이 수를 소수점으로 나타내는 방법으로 하면 물론 0.6666.... 이다. 세배는 ? 물론 ${\displaystyle {\frac {3}{3}}}$이다. 그것이 0.9999....이고 1이다.

• 0.9999.... 와 1이 다르다면 그 두 수의 차이를 나타내는 0이 아닌 어떤 수를 찾아야 한다. 그것은 0.1도 아니고 0.01도 아니고, 0.001, .... 아니다. 찾을 수 없다.

• 모든 순환고리가 있는 수는 그것만큼의 9를 분모로 갖는다. 예를들어 0.12121212...는 ${\displaystyle {\frac {12}{99}}}$로 0.1234123412341234....는 ${\displaystyle {\frac {1234}{9999}}}$ 그렇듯이 0.99999...도 ${\displaystyle {\frac {9}{9}}}$이고 이는 1이다.

• 아래, 논란거리는 있지만 많이 쓰이고 받아들일만한 방법을 써보자. 2=1을 보세요.

${\displaystyle x=0.9999....}$

${\displaystyle 10\cdot x=10\cdot 0.9999...=9.9999...}$

${\displaystyle 10\cdot x-x=9.99999...-0.9999...=9}$

${\displaystyle x=1}$

• 현대 수학에서 ${\displaystyle \epsilon -\delta }$ 법으로 극한을 설명하는데 그 이론에 기초하여 설명해 볼 수도 있다. 현대수학에서는 0.99999....를 아래 실수들의 수렴값이다.

엄격하게 하는 것은 미루고, 생각해보라, 이 실수들은 어디로 다가가고 있나? 점점 1로 무한히 다가간다.