Waring Hilbert Th

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• 페르마는 "모든 자연수는 기껏해야 n 개의 n-다각수의 합으로 표현할 수 있다." 는 사실을 밝혔다.
• 라그랑쥐는 " 모든 자연수는 기껏해야 네 개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다. " 를 밝혔다.

서론

라그랑쥐가 증명을 발표한 것은 1770년. 같은 해, 영국의 캠프리지대학에서 루카스 교수직을 맡고 있던 워링(E.Warring;1734 - 1798) 은 새로운 문제를 하나 던지게 된다. $\alpha$-제곱의 수들 몇개나 쓰면, 어떤 자연수를 그 수들의 합으로 표현할 수 있을까? 그것의 최대 갯수는 당연히 그 자연수 만큼일 것이다. 1 을 계속 더해가면 되니까. 그렇다면 표현할 수 있는 최소 갯수는 ?

어떤 $\alpha$ 에 대해서도,어떤 자연수에 상관없이 기껏해야 $\alpha$-제곱의 수들 k 개의 합으로 표현할 수 있을까?

하는 문제였다. $\alpha$ 가 2 인 경우를 보자. 아래의 경우를 그래프로 그려보라. x 축에는 자연수, y 축에는 제곱수의 개수.

1

2 = 1 + 1

3 = 1 + 1 + 1

4

5 = 4 + 1

6 = 4 + 1 + 1

7 = 4 + 1 + 1 + 1

8 = 4 + 4

9

10 = 9 + 1

11 = 9 + 1 + 1

12 = 4 + 4 + 4

13 = 9 + 4

109 = 100 + 9

1111 = 1089 + 16 + 4 + 1 + 1 =

... 자연수가 커지면 커질수록 제곱수들의 개수도 끝없이 늘어날까? 아니면 어떤 유한개로 될까? 유한개라면 몇개가 한계일까? 앞의 예에서 보면 1111 의 경우 다섯개일까? 아, 우리는 이미 페르마-오일러 정리를 보았기 때문에 이것이 네개면 충분하다는 사실을 알고 있다. 위의 1111 도 사실은 제곱수 넷의 합으로 표현할 수 있다.

1111 = 625 + 484 + 1 + 1

만약 그래프를 보았다면 알겠지만, 증가하다 감소하고 증가하다 감소하는 점들이 찍힐테지만, y 축에서 4 를 넘어서지는 못한다. 그렇다면 만약에 세곱수라면 ?

1

2 = 1 + 1

3 = 1 + 1 + 1

4 = 1 + 1 + 1 + 1

...

8

9 = 8 + 1

10 = 8 + 1 + 1

11 = 8 + 1 + 1 + 1

...

23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

24 = 8 + 8 + 8

25 = 8 + 8 + 8 + 1

26 = 8 + 8 + 8 + 1 + 1

27

28 = 27 + 1

... 세제곱으로 커진 수들에 대해서는 더 많은 수가 필요하다는 것은 자연스러워보인다. 그렇다면 모든 자연수를 표현하기 위해 세제곱수는 몇개면 충분할까? 앞의 예에서는 9 개면 충분했다. 정말로 이것은 수가 아무리 커져도 이렇게 될까? 실제로 12,000 까지 해보면, 23 과 239 만 9 개를 필요로 할 뿐, 8 개나 7개 만 써서 나타낼 수 있는수가 무척 많다.

8 개의 세제곱수로 표현되는 수 : 15, 22, 50, 114, 167, ... , 454

7 개의 세제곱수로 표현되는 수 : 7, 14, 21, 42, 47, 49, ... , 5818, 8042

• 만약, 네제곱 수가 되면 ? 다섯제곱수가 되면 ?
• 앞에서 문제를 바꾸어 x 개의 세곱수로 표현할 수 있는 1억 이하의 수는 ? 이라고 묻는다면 ?
• 어떤 수보다 큰 수들만 본다면 그 수를 세제곱수의 합으로 표현하기 위해 기껏해야 몇개면 될까?

처음부터 다시 써보자.

(1) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

(2) : 1, 4, 9, 16, 25 , 36 , ...

(3) : 1, 8, 27, 64, 125 , 216, ...

... 과 같이 $\alpha$-제곱이 1 일 때, 다시 말해 자연수 전체를 제곱수들인 유형 (2)와, 세제곱 수인 유형 (3) 들의 합으로 모두 표현할 수 있을까? 있다면 표현할 수 있는 최소개수의 한계는 무엇일까? 라고 묻는 것이다.

관련 문제

• 페르마 다각수 정리

정리 (페르마 다각수 정리) : 모든 자연수는 기껏해야 n 개의 n-다각수의 합으로 표현할 수 있다.

• 라그랑쥐 정리

라그랑쥐 정리  : 모든 자연수는 기껏해야 네 개의 제곱수의 합으로 된다.

• 비페리흐 정리 : 독일의 비페리흐(Arthur Josef Alwin Wieferich ; 1884 – 1954) 는 다음의 사실을 밝혔다. (1909년)

정리 : 어떤 자연수도 9 개의 세제곱수의 합으로 표현할 수 있다.

• 이후 관련된 내용들 : 6 제곱 수일 때는 73 개, 5 제곱 수일 때는 37 개(1964년), 4 제곱일 때는 19 개 (1986년) 다.
• 20 세기 초 수론 분야의 대가 하디와 리틀우드는 조금 변형된 개념을 내었다. 모든 자연수가 아니라, 일정한 문턱을 넘어서서 충분히 큰 자연수들을 보면 이 문제는 조금 달라진다. 앞의 제곱과 세제곱의 예에서 볼 수 있듯이, 처음에는 비록 불규칙한 것이 나오더라도 수가 커지면 커질수록 그 이전에 n-제곱수도 충분히 마련되어 가기 때문이다. 이와 관련하여 비페리흐는 다음과 같은 성질을 밝혔다.

정리 : 어떤 자연수 N 이 있어서, 그것을 넘어서는 모든 자연수는 8 개의 세제곱수의 합으로 표현할 수 있다.

이후 란다우는 이 이 정리에서 8 개를 7 개까지 줄였다.

지금까지 알려진 예들은 이렇다.

k-제곱 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

개수 7 17 21 33 42 50 59 67 76 84 92 100 109 117 125 134 142

Note

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