Circle

원의 성질

도형 중 가장 '완벽'한 것으로 여겨지고 있다. 그래서인지 동서양을 통해서 '세계'를 인식할 때, 원으로 인식하는 경우가 많았다. 가장 중요한 것을 중심에 두고서.

• 기호 사용 : 중심이 O 고 반지름이 R 인 원을 여기서는 $\Sigma (O,R)$ 로 쓰기로 한다. $\Sigma$ 만 쓸 경우 그저 '원' 을 나타낸다. 중심 O 이 무엇이든, 반지름 R 이 무엇이든 상관없을 때다.
• 여기의 증명들은 스스로 해보기 바란다. 참고 : 증명들은 Coxeter 'Geometer Revisited' Ch.2.1 을 참고하라.

주어진 원과 점의 관계 : 원 $\Sigma$ 에 대한 점의 Power

어떤 원 $\Sigma (O,R)$ 이 있고 어떤 점 P 가 있다고 하자. 그럴 경우 이 점 P 와 원 $\Sigma (O,R)$ 의 위치관계는 크게 세 경우로 나누어 생각해볼 수 있다. 중심 O 와 점 P 의 거리를 d 라고 하면,

• P 가 $\Sigma (O,R)$ 의 한 점인 경우. : d = R
• P 가 $\Sigma (O,R)$ 의 '안' 쪽에 있는 경우 : d < R
• P 가 $\Sigma (O,R)$ 의 '바깥' 쪽에 있는 경우 : R < d

그리고 이 점 P 를 지나는 직선 $l_{P}$ 을 그을 수 있다. 그렇다면 이 직선 $l_{P}$ 과 원 $\Sigma (O,R)$ 의 관계도 크게 세 경우로 나눠 생각해볼 수 있다.

• 직선이 원을 '스쳐 ' 지나갈(tangent) 경우 : 만나는 점은 한 개 .
• 직선이 원을 '교차해 ' 지나갈(intersect) 경우 : 만나는 점은 두 개 .
• 직선이 원을 지나지 않을 경우 : 만나는 점은 없음.

여기서는 우선 직선과 원이 만나는 경우에 집중해서 생각해보기로 하자. 우선 두 점에서 만나는 경우, 다시 말해 직선이 교차해 지나갈 경우를 보자. 이때, 교차하는 원의 두 점을 A 와 A' 라 한다. 만약 P 를 지나는 다른 직선 $m_{P}$ 이 있어서 이 직선과 원과 두 점 B, B' 에서 만나는 특수한 경우를 생각해보자. 이때 점 P 는 원의 안에 있는 경우를 먼저 보자. 이 때 다음과 같은 흥미로운 사실을 보일 수 있다.

어떤 원과 원의 한 점이 아닌 어떤 점 P 이 주어졌다. 점 P 를 지나고 원과 두 점에서 만나도록 어떤 두 직선 $l_{P},m_{P}$ 을 작도한다고 하자. 이 때, $l_{P}$이 원과 만나는 두 점을 A, A' 그리고 $m_{P}$이 원과 만나는 두 점을 B, B' 라 하자. 그렇다면,

어떤 직선이건 상관없이 점 P와 원이 만나는 두 점과의 거리의 곱은 항상 같다.

이를 기호로 나타내면 아래와 같다.

$PA\times PA'=PB\times PB'$

이 결과는 점이 원의 '안쪽'에 있건 '바깥쪽'에 있건 상관없다. (스스로 증명해보라. 닮음을 이용하여 증명할 수 있다.) 그리고 두 직선 중 한 직선이 점점 원과 스쳐지나가는 쪽으로 접근해간다고 상상해보라. 궁극적인 경우에는 스쳐지나가게(tangent) 될 것이고 이 때 스쳐지나면서 만나는 한 점을 T 라하면 다음의 관계가 성립할 것이라는 것을 짐작할 수 있다. (실제로도 그렇다. 증명해보라.)

어떤 점 P 를 지나는 직선이 두 직선이 있다고 하자. 하나는 원에 스쳐지나고 하나는 원의 두 점을 지난다고 하자. 그렇다면,

$PA\times PA'=PT^{2}$

원의 두 점을 지나는 직선이 어떤 것이든 거리의 곱은 상관이 없기 때문에 점과 원이 주어지면 그 결과는 '정해진' 값으로 나올 것이다. 그렇다면 이 정해진 값을 어떻게 나타낼까? 주어진 원 $\Sigma (O,R)$ 을 정의 하는 것은 중심 O 과 반지름 R 이고 중심에서 점 P 까지 의 거리는 d 뿐이므로 결정하는 값은 R 과 d 의 연산의 결과일 것이다. 점 P 를 지나는 직선이 원을 지나도 그 결과는 상관이 없다. 따라서 그 값은 다음과 같이 나타난다.

$PB\times PB'=(R+d)(R-d)=R^{2}-d^{2}$

이때, P 가 특수한 경우도 있다. 예를들어 원이 어떤 삼각형의 circumcircle 이라고 가정해보자. 이때, 점 P 가 '주목해야할 점들' 중 내심 I 이라면 어떻게 될까? 그 점 P (이 경우는 내심 I ) 라면 원의 중심 (여기서는 외심 O ) 와의 거리는 어떻게 될까? incircle 의 반지름과 circumcircle 의 반지름으로 결정될 것인데, 과연 어떻게 될까?

(Euler) 삼각형이 주어지고 이 삼각형의 circumcircle $\Sigma (O,R)$과 incircle $\Sigma (I,r)$을 보자. 이때 O 와 I 의 거리 d 와 두 반지름과의 관계는 다음과 같다.

$d^{2}=R^{2}-2rR$

Q : 다른 '주목할 만한 점'들과의 관계는 어떻게 될까? 예를들어 ccentroid, orthocenter, excenters 나 그 외의 nine points 에서 흥미로운 관계가 있는 것은 어떤 것이 있을까?

우리가 앞에서 본 어떤 점 P 와 원의 중심 O 까지의 거리 d 와 반지름과의 관계인 d - R 은 그리 많은 정보를 줄 수 있는 열쇠가 아니다. 그보다는 사실 바로 앞의 결과들에서 보듯, $d^{2}-R^{2}$ 라는 관계가 더 유용한 값이라는 것을 알아갈 것이다. 그래서 이 값에 대해서는 특별한 이름을 붙여주게 되었다. (J.Steiner)

정의 (power of a point)  : 어떤 원과 점이 주어졌을 때, 주어진 원의 중심에서 그 점까지의 거리의 제곱에서 반지름의 제곱을 뺀 수를 주어진 원에 대한 점의 파워 라고 부른다.

이 수는 무엇을 말해주는가? 우선 가장 간단한 것.

• P 가 원 $\Sigma (O,R)$ 의 한 점인 경우. : $d^{2}=R^{2}$. 그래서 '파워는 0 '
• P 가 원 $\Sigma (O,R)$ 의 '안' 쪽에 있는 경우 : $d^{2}<R^{2}$. 그래서 '파워는 음수 0 '
• P 가 원 $\Sigma (O,R)$ 의 '바깥' 쪽에 있는 경우 : $R^{2}<d^{2}$. 그래서 '파워는 양수 0 '

또한 두 개 이상의 원들이 주어졌을 때, 그것들 사이에 어떤 비밀이 숨겨져 있는지 그 비밀의 화원으로 들어가는 열쇠가 되기도 한다.

주어진 두 원의 관계 : radical axis

이제 두 원이 주어졌다고 해보자. 이 두 원의 중심은 다르다고 가정한다. 이 두 원 사이의 관계를 나타낼 수 있는 좋은 방법들은 없을까? 어떤 두 점이 주어지면 우리는 그 점들이 하나의 직선 위에 놓이는지 흥미롭게 검토해보았고, 만약 그렇다면 그 점의 관계를 collinearity 관계에 있다고 불렀다. 마찬가지로 두 직선이 있다면 그 직선이 한 점에 만나는지 (concurrence 관계) 아니면 만나지 않는지(평행관계) 를 보았다. 그것들은 가장 기초적인 어떤 관계들이었고 차차 그런 관계들에서 더 복잡한 관계로 나아가면서 도형들 사이에 숨겨진 비밀들을 하나하나 캐 보았다. 세 점이 한 직선위에 놓이지 않은 경우 삼각형을 이루게 되었고 그안에 숨겨진 수많은 성질들을 본다. 마찬가지로 원에서도 우선 가장 기초적으로 두 원사이의 관계를 볼 필요가 있다.

우선 가장 기초적으로 두 원이 떨어져 있는지, 교차하는지, 겹치는지 관계가 있을 것이다. 또 다른 관점으로는 두 원이 같은 중심을 갖는지 (동심원 관계) 아닌지로 나누어 생각해볼 수 있다. 이와 아울러 앞에서 보았던 점의 '파워'를 끌어와 새로운 개념을 생각해보자. 어떤 두 원이 동심원 관계가 아니라면 두 원에 대해 파워가 같은 점들은 몇 개나 될까?

어렵지 않게 그 점은 단지 하나도 둘도 아니고 연속적으로 무수히 많다는 것을 짐작할 수 있다. 두 원을 모두 스치면서 지나가는 직선을 상상해보라. (두 원이 주어졌을 때, 그런 직선은 몇 개나 될까?) 접하는 두 점을 잇는 선분의 중점은 분명히 두 원에 대해 파워가 같다. 왜냐하면 $d^{2}-R_{1}^{2}$ 는 피타고라스 정리에 따라 원의 접점과 그 점까지의 거리의 제곱을 나타내기 때문이다. 그런데 놀랍게도 이 점들은 모두 collinear 한 관계에 있다 ! (왜 그래야할까?) 게다가 그 점들을 잇는 직선은 두 원의 중심을 잇는 직선과 수직인 관계에 있다 ! (증명해보라. 데카르트 좌표 방법으로 해낸 증명은 위의 책 2.2 참조.) 주어진 두 원이 주어질 때, 중심이 겹치지만 않는다면 보통 이 런 특수한 직선이 있다고 할 수 있다. 따라서 이름을 따로 붙여주기로 하자.

정의 (radical axis)  : 주어진 두 원에 대해 같은 파워를 갖는 점들의 집합 (locus)을 radical axis 라고 부른다.

물론, 좌표의 도움을 받아 이를 대수식으로 표현할 수도 있다. 반지름이 하나는 r 이고 하나는 R 인 어떤 두 원이 있다고 할 때, 축을 적당히 잡으면 두 원은 결국 아래의 형태로 될 수 있다.

• $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
• $(x-a)^{2}+y^{2}=R^{2}$

그럴 때 이 두 원의 radical axis 는 아래와 같다.

$x={\frac {r^{2}-R^{2}+a^{2}}{2a}}$.

여기서 떨어진 두 원이 점점 가까이 다가가면서 한 점에서 접한 경우를 생각해보자. 그런 경우 두 원의 radical axis 는 두 원의 접선에서의 접선이 된다. 원이 점점 더 '들어가' 만약 두 점에서 교차하게 되면 어떻게 될까? 우선 두 원이 만나는 점은 radical axis 에 들어 있을 것이고, 그 두 점에서 두 원에 대한 접선이 수직이다. 그리고 이 두 직선을 잇는 직선이 바로 radical axis 다.

Q  : 원이 점점 더 들어가 큰 원 안으로 작은 원이 완전히 들어가버렸다고 상상해보라. 작은 원이 큰 원과 한점에서 접하는 경우는 어떻게 될까? 그리고 만나는 점이 없게 되는 경우는 ? 마침내 원의 중심이 겹치면?

중심이 겹치지만 않는다면, 우리는 항상 radical axis를 '자와 컴퍼스로 작도'할 수 있을까? 가능하다. 주어진 두 원을 각각 교차해 지나가는 원을 작도하고 그 점들을 이어 생긴 두 직선이 만나는 점이 있을 것이다. 이 점에서 주어진 두 원을 잇는 직선으로 수직인 직선을 작도한다. 이 직선이 바로 radical axis 다. 직선 옆의 그림을 참고하라. 물론 이 방법이 아니라, 두 원이 서로 바깥으로 떨어져 있는 경우, 두 원이 접할 경우, 두 원이 교차할 경우, 두 원 중 한 원이 다른 원의 안에 있는 경우 들에 대해서 각각 작도할 수도 있다.

radical axis 작도

자, 이제 어떤 두 원이 주어지면 주어진 두 원에 대해 radical axis 가 주어졌다고 보자. 이번에는 생각을 바꾸어 본다. 이 radical axis 공유하는 원들의 쌍들은 어떤 성질을 가질까? 우선 radical axis 의 성질에 따라 주어진 두 원의 중심을 지나는 직선에 중심을 함께 두고 있는 원들일 것이다. 그리고 그러면서 이 직선을 사이에 두고 접하는 두 원의 쌍을 포함할 것이다. 아울러 주어진 radical axis 위의 두 점에서 교차하는 원들의 쌍들까지. 아울러 하나더 생각해볼 수도 있다. 주어진 두 원을 잇는 직선을 radical axis로 갖는 원들의 쌍은 또 어떻게 될까?

세 원에 대한 radical axis 와 radical center

원이 셋 주어졌고 세 원의 중심이 어느 둘도 겹치지 않고, 세 중심이 한 직선에 있지 않은 경우를 생각해보자. 그렇다면 두 원씩 짝을 지어 쌍을 만든다면 세 경우가 있을 것이고 따라서 radical axis는 세 직선으로 표현된다. 그렇다면 이 세직선들은 어떤 관계에 있을까? 놀랍게도, 이 직선들은 한점에서 만난다 !

세 원이 있다고 하자. 중심이 어느 둘도 겹치지 않고, 세 중심이 모두 한 직선에 있지 않다면 세 radical axis 는 한점에서 만난다.

이런 흥미롭고 특수한 점에 대해서도 이름을 따로 붙여주자.

정의 (radical center) : 세 radical axis의 교점을 radical center 라고 부른다.

그러면 여기서 정의하는데 조건 부분을 조금 완화시켜보자. 다시 말해, 세원의 어느 두 중심이 겹치는 경우는 radical axis 가 없기 때문에 여기서는 두번째 조건이었던, '세 중심이 한직선에 있지 않은 경우'를 빼 보자. 그렇다면 세 radical axis 는 모두 평행할 수 밖에 없다. 우리가 앞으로 Projective_Geometry 에서 처럼 주어진 어떤 직선에 대해서도 하나의 ideal point를 가진다고 가정한다면, 평행한 모든 직선은 한점에서 만난다고 볼 수 있다. 따라서 유클리드 평면에 ideal point를 추가하면 기 때문에 이 경우도 사실 '한 점에서 만난다'라는 일반성은 깨지지 않는다.

Radical axis 와 주목할 만한 점들

자, 이제 우리는 radical axis 라는, 두 원이 주어질 때 그것들을 묶어 이어줄 도구를 마련했다. 그런데 여기서 중심이 겹치지 않기만 하면 아무 원이나 두 원이라는 '지나친 자유'를 양보하면 어떻게 될까? 그러니까, 우리가 미리 정한 어떤 성격을 갖는 두 원을 보는 것이다. 여러가지 가능한 경우가 있을 것이다. 가장 기초적인 도형이라 할 수 있는 삼각형과 원을 고루 보기 위해 삼각형이 주어졌다고 해보고 그것과 연관된 어떤 두 원을 생각해보자. 아래에서는 주어진 두 삼각형에서 '아무거나' 두 체바선을 내리는 경우다. 두 선분이 생기는데 이 두 선분으로 두 원을 작도해볼 수 있다. 그 중 가장 쉬운 방법 중 하나가 바로 이 두 체바선이 원의 지름이 되는 경우다. 그럴 때, 아래와 같은 흥미로운 사실을 찾을 수 있다. 놀랍게도 이 삼각형의 orthocenter 는 radical axis 에 포함되는 것이다.

정리 : 주어진 삼각형에서 두 체바선을 내리고 그것들을 지름으로 하는 두 원을 작도하자. 이 두 원의 radical axis 는 그 삼각형의 orthocenter 를 지난다.

Q

• 조건을 강화할 경우 다른 '주목할 만한 점들' 과 radical axis 들의 관계는 어떻게 될까? 또는 주어진 두 체바선을 지름으로 하지 않으면서 그 체바선으로 어떤 원을 작도할 수 있는 경우는 어떤 것이 있고 그럴 때, '주목할 만한 점들'과 radical axis는 어떤 흥미로운 관계유도해보라. 또는 주어진 삼각형에 의미가 있으면서 체바선이 아닌 다른 의미있는 선분들로 두 원을 얻을 때는 또 어떻게 될까?

삼각형이 주어졌다면 물론 체바선은 셋이다. 그 중 세 체바선을 지름으로하는 원을 셋 작도했을 때, 원의 중심의 어느 두 점도 겹치지 않는다고 해보자. 이제 세 원에 대해서 이므로 우리가 가장 먼저 관심을 가지게 되는 것은 아래의 질문일 것이다.

'radical center는 과연 어떤 '주목할 만한 점들'과 연관이 있을까?'

앞의 정리에서 이미 짐작할 수 있었듯이 이에 대해서도 orthocenter가 열쇠를 쥐고 있었다. 앞의 정리로 부터 우리는 아래의 성질을 어렵지 않게 유추할 수 있다.

정리 : 주어진 삼각형의 체바선을 지름으로 하는 세 원을 보자. 이 세 원의 중심이 삼각형을 이루면 주어진 삼각형의 orthocenter 는 radical center다

orthocenter 는 꼭지점에서 맞변을 향해 직각으로 내린다는 조건이 있는 특별한 체바선으로 얻어지는 점이다. 그렇다면 앞의 정리는 특별한 체바선 대신 아무 체바선이나 그어서 원들을 얻어서 orthocenter을 결정할 수 있다는 말해주고 있다. 도대체 orthocenter가 이런 역할을 도맡게 된 것은 왜일까?

Q  :

• 원을 얻기 위해 만든 체바선들과 radical axis 들이 이루는 삼각형의 변들과의 관계 중 흥미로운 사실을 찾아보자.
• 특별한 체바선들로 원을 얻고 그것으로부터 radical center를 얻는다면 이때 삼각형에서 주목할 만한 점들과의 관계는 어떻게 될까? * 삼각형이 주어졌을 때, 흥미로운 결과를 얻을 수 있을 것 같은, 원을 세개 얻을 수 있는 다른 방법을 생각해보고 스스로 풀어보라.

앞 단원에서 우리는 체바 정리와 메넬라우스 정리를 비교해보았다. 앞의 정리들은 주어진 삼각형에 대해 체바선으로부터 원을 얻고 마침내 그 원들의 radical axis 들의 concurrence 관계에 있는 경우와 연관된 성질을 보았다. 마찬가지로 이번에는 메넬리우스 정리의 조건과 견줄 수 있는 경우에 대해 radical axis 와의 관계를 추적해보자.

삼각형 ABC 가 주어졌다고 하자. 그럴 때, 변 BC, CA, AB 이나 그 연장선에 세 점, 각각, X, Y, Z 가 있는 경우를 보자. 단 이 세 점은 collinear 하다는 제약을 둔다. '연장된' 체바선이라고 볼 수 있는 것들은 AX, BY, CZ 일 것이다. 그리고 여기에는 네개의 삼각형 AYZ, BZX, CXY, ABC이 가능하다. 이것들을 모두 엮어줄 수 있는 어떤 성질이 있을까? 어떤 점들이 collinear 한 성질을 가질까? 다음 정리는 그에 대한 답이다.

정리 : 네 직선이 6개의 점 A, B, C, D, X, Y, Z 에서 서로 교차하는데 이때, XBC, YCA, ZAB, XYZ 들은 저마다 다른 직선을 이룬다. 그런 조건을 충족한다면 AX, BY, CZ 를 지름으로 하는 세 원은 coaxal 관계고, 네 삼각형 AYZ, BZX, CXY, ABC 의 orthocenter 들은 collinear 관계다.

Note

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