With Infinity Real Number

무한과 사귀기 로

자연수 너머의 무한

자연수는 끝없이 많고, 그것보다 훨씬 적어보이는 소수들도 끝없이 많다는 것을 보았다. 이제 자연수 너머의 세계로 눈을 돌려보자. '끝없이 많다'는 것은 어찌 생각해보면, 다 똑같을 것 같다. 실제로 갈릴레이 같은 이도 어떤 무한이건 무한한 정도는 같다고 보았다. 그래서 자연수 너머의 어떤 것도 자연수와 같은 무한이라고 본 것이다. 하지만, 이것은 순진한 믿음이었다. 무한에 대해 본격적으로 연구를 한 칸토르(Cantor)는 무한은 하나의 종류가 아니라는 것을 밝혔다. 무한의 종류도 무한히 많다. 여기서는 그 중 우리에게 쉽게 다가올 수 있는 정수, 유리수, 실수에 대해서 보면서 무한의 정도를 비교해 본다.

무한끼리 비교할 기준

무한을 비교하기 위해서는 '더 많다, 적다'라고 말할 수 있는 적당한 기준을 먼저 정해야 할 것이다. 무한은 어짜피 다 셀 수 없으니 하나하나 세어가서는 무엇도 비교할 수 없다. 가장 합리적인 기준은 '하나씩 짝짓기'다. 이게 무슨 말일까?

만약 해운대 모래밭에 사람들이 가득찼다고 해보자. 그때 남자와 여자의 수가 어느 쪽이 많은지 보려면 어떻게 할까? 월드컵 축구 경기장에 초대형 콘서트가 있어서 사람들이 가득찼다면? 한 쪽을 세어보고 다른 쪽을 세어 그 결과를 견줄 수 있을 수 있겠지만 수가 많으면 많을수록 어려워진다. 그럴 때, 남녀 한사람씩 짝을 지어 보면 될 것이다. 남녀 한사람씩 손을 잡게 하고 춤을 추게 한다음 짝이 없어서 못추는 사람이 있는 쪽이 더 많은 것이다. 그 '짝짓기'를 하게 하려면 적당한 기준이 있으면 된다. 물론 어떤 기준으로는 한사람씩 짝이 지어지지 않을 수 있다. 예를들어 '자기 마음에 드는 사람과 손을 잡아라' 하는 기준을 준다면 아마 해운대 모래밭이건 컨서트 장이건 난장판이 될 수 있다. 그렇지만 어떤 것이든 한사람씩 짝을 짓게 할 수 있는 것이 하나라도 있으면 그것으로 이 두 집단이 어느 쪽이 더 많은지 파악할 수 있다. 엄청나게 많은 사람과 해운대 모래알의 수와 비교하는 것도 마찬가지 일 것다. 한 사람이 모래알 하나씩만 들고 하나게 한다고 해자. 사람이 많으면 모래알을 못들고 있는 사람이 많을 테고, 모래알이 많으면 사람들이 다 빠져나간 다음에 모래알이 남을 것이다.

예를들어 자연수와 짝수들은 하나씩 짝짓기' 할 수 있다. 기준을 이렇게 마련하면 된다.

$n\ \mapsto \ 2n$

다시 말해 자연수에게 너보다 두배 많은 수랑만 손을 잡아봐. 라고 하면 되는 것이다. 더 많아 보이는 자연수 하나에 짝수 하나씩 대응시켰다. 짝수 전체가 아니어도 괜찮다. 그보다 훨씬 작아보이는 수들과 자연수도 하나씩 짝을 지을 수 있다.

Q. 그런 예들을 몇 개 생각해보라.

Q. 과연, 자연수의 일부이면서도 무한히 많은 수들은 항상 자연수랑 하나씩짝짓기 할 수 있을까?

이렇듯 하나씩 짝짓기를 하는 방법은 아주 자연스러운 기준이다. 따라서 우리가 자연수와 다른 수들의 무한을 비교할 때도 이 기준을 적용할 것이다.

자연수의 무한과 정수의 무한

정수란 어떤 수인가? 이 수는 자연수 1, 2, 3, 4, 5, ... 에 그것의 '반대방향' 인 수 -1, -2, -3, -4, ... 를 뜻한다. 이런 수를 음의 정수라 부른다. 수에서만 이런 일이 일어나는 것은 아니다. 어떤 선분도 우리가 기준만 잘 정해주면, 방향을 정해줄 수 있다. 그렇게 되면 어떤 선분을 다른 선분과 비교할 때, 길이만 가지고 했던 것을 이제는 길이와 방향까지로 해서 결정할 수 있다. 이것을 벡터(vector) 라고 부른다.

음의 정수가 자연수처럼 수로 자연스럽게 받아들여진 것은 사실 몇백년 되지 않았다. 이수는 중세에만 하더라도 '부정이 탄것 같은 수'라 여겼다. 하지만 지금은 누구나 수로 받아들인다. 자연수, 음의 정수와 0 을 모두 일컫는 말이 '정수'다. 정수가 자연수보다 적을 수는 없다. 그렇다면 얼마나 많을까? 두배? 세배?

놀랍게도 정수도 자연수와 하나씩 짝짓기 할 수 있다.

Q. 정수와 자연수를 어떻게 하면 하나씩 짝지을 수 있을까?

유리수의 무한과 정수의 무한

유리수가 어떤 수인가부터 보자. 유리수는 정수와 별로 차이가 없어보일지 모르지만, 유리수들은 이전의 수들에사 나오지 않은 특수한 성질을 가지고 있다.

어떤 유리수보다 바로 그 다음 유리수를 정할 수 없다.

우리 앞에 1/3 이 있다고 하자. 당신이 그것보다 큰 수로 2/3을 말했다고 하면 나는 1/3과 2/3 의 중간을 말하면 그 '사이'를 말하는 것이 된다. 그 값도 역시 유리수다.

${\frac {{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}}{2}}$

다시 말해 ${\frac {1}{2}}$ 이다. 이게 마음에 안들어 당신이 다시 그것보다 아주 작은 차이가 있어보이는 1/4 을 말했다고 하자. 그러면 나는 1/4보다 크고 1/2보다 작은 수를 또 말할 수 있다.

${\frac {{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}}{2}}={\frac {3}{8}}$

이렇듯 어떤 두 유리수에는 그 사이가 항상 있다. 이 성질이 무엇을 말하고 있을까? 그렇다. 바로 유리수는 제 아무리 촘촘하게 놔도 그 사이에 유리수가 더 빼곡하게 있다는 말이다. 이것을 '유리수가 조밀하다' 라고 말하기도 한다. 이 성질을 보면 자연수는 커녕 정수와 비교해서도 유리수는 매우매우 많을 것이라는 생각을 하게 한다. 그러나 과연 그럴까?

놀랍게도 유리수는 정수와 하나씩 짝을 지을 수 있다. 무한의 정도가 같은 것이다. 양의 정수는 양의 유리수와, 음의 정수는 음의 유리수와 일대일로 대응시키면 된다. 따라서 여기서는 양의 유리수와 양의 정수에 대해서 대응 규칙만 보자. 양의 유리수는 모두 ${\frac {a}{b}}$꼴로 되어 있다. 이 때, b 는 0 이 아니다. 그런데 유리수 표현은 오른쪽 표와 같이 세어가면서 자연수 1, 2, 3, ... 과 대응시키면 된다. 하나씩 짝짓기할 규칙은 꼭 하나가 아니다. 다른 방법들도 얼마든지 있을 수 있다.

그런데 방금 앞에서 한 방법은 하나씩 짝을 지을 수 있다는 사실만 말할 뿐 불편한 방법이다. 왜냐하면 어떤 유리수 m/n 이 어떤 정수에 대응하는지 금방 알 수 없기 때문이다.

Q.어떤 유리수 m/n 이 어떤 정수에 대응하는지, 또는 어떤 정수 꼬리표만 보고 대응하는 유리수가 어떤 것인지 바로 알 수 있도록 하나씩 짝짓는 방법은 ?

자, 지금까지 어떤 결과가 나왔는가? 자연수의 부분인 무한수도 자연수와 무한의 정도가 같고, 자연수를 포함하는 정수나 유리수들도 마찬가지였다. 그렇다면 갈릴레이가 짐작했던 것처럼 모든 무한 집합은 무한한 정도가 같을까? 그렇게들 짐작했다. 그러나 칸토르는 다음의 사실을 발견하여 세상을 깜짝 놀라게 했다.

실수의 무한과 자연수의 무한

실수란 어떤 수일까? 실수란 유리수에 무리수가 보태진 수들이다. 그렇다면 무리수에 대해 정확히 이해해야만 이 문제를 이해할 수 있다. 무리수가 처음 발견된 것은 수천년전의 일이다. 하지만, 이것은 도저히 납득할 수 없는 수였다. 당시의 사람들은 이 수를 이해할수 없는 수로 받아들였다. 존재하지만, 있어서는 안되는 천덕꾸러기였다. 이것은 피타고라스 정리로부터 쉽게 알 수 있다.

두 변이 1 인 직각이등변 삼각형의 빗변의 길이.

다시 말해, 제곱해서 2가 나오는 수여야 할 것이다. 이 수는 유리수 일 수 없다.

Q. 제곱해서 2가 되는 수는 수가 유리수가 아니다. 정말 그런가?

이런 천덕꾸러기들은 몇이나 있을까? 물론 셀 수 없이 많다. 당장 떠오르는 것만 해도, 제곱해서 소수가 되는 모든 수는 유리수 일 수 없다.그렇지만 한게아니다. 예를들어 제곱해서 6이 되는 수도 마찬가지다.

Q. 제곱해서 어떤 유리수의 제곱꼴이 아닌 모든 수는 유리수일 수 없다. 참일까 거짓일까?

그렇게보면, 이제 무리수가 희한한 수라는 생각으로부터 점점 벗어나게 된다. 많은 정도보다도 더 엄청나게 많다. 그런데 자연수, 정수, 유리수나 무리수를 소수점으로 표현하는 방법이 있다. 이렇게 표현하는 방법이 있어서 수를 분류하기도 무척 편해진다. 이 방법에 따르면 유리수는 소수점에서 무한히 가더라도 규칙적으로 반복하는 부분이 있는 수고, 무리수는 그렇지 않은수다.

이것을 받아들이면 이제 우리는 실수라는 수들의 무한한 정도는 그 이전과 본질적으로 다르게 된다는 놀라운 사실을 보일 수 있다. 만약 자연수와 실수의 일대일 대응이 있다고 해보자. 그러면 우리는 모든 실수를 '차례로 하나하나' 늘어 놓을 수 있다. 실수 전부도 아니고 (0, 1) 사이 구간의 집합만 보는 것으로 충분하다.

만약 당신이 어떤 방식으로건 자연수와 실수를 하나씩 짝짓기했다고 하자. 그렇다면 그 규칙을 무엇으로 했건, 자연수 1와 실수 하나, 자연수 2화 다른 실수 하나, 자연수 3과 다른 실수 하나,... 이렇게 되어 있을 것이다. 이것을 (어떤 자연수 : 짝지어진 실수) 라는 식으로 다시 썼다고 하자. 이렇게 될 것이다.

$(1:0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots )$

$(2:0.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\cdots )$

$(3:0.c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}\cdots )$

$(4:0.d_{1}d_{2}da_{3}d_{4}\cdots )$

$\ldots$

그렇게 당신이 하나씩 짝짓기를 하는 것을 보고, 이제 나는 나의 전략을 세운다. 당신이 자연수 1과 짝지은 실수에서 소수점 아래 첫번째 수 $a_{1}$ 을 골라낸다. 2와 짝지은 실수에서는 소수점 아래 두번째 수 $b_{2}$ 를, 3과 대응하는 실수에서는 소수점 아래 세번째 수 $c_{2}$ 를 끄집어낸다. 내가 골라내는 수들을 아래 빨간 색으로 표시했다.

$0.{\color {red}a_{1}}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots$

$0.b_{1}{\color {red}b_{2}}b_{3}b_{4}\cdots$

$0.c_{1}c_{2}{\color {red}c_{3}}c_{4}\cdots$

$0.d_{1}d_{2}d_{3}{\color {red}d_{4}}\cdots$

$\ldots$

예를들어, 당신이 어떤 규칙을 적용했건, 자연수와 실수를 이런 식으로 대응을 시켰다고 하자.

$(1:0.10345\cdots )$

$(2:0.95740\cdots )$

$(3:0.19026\cdots )$

$(4:0.66789\cdots )$

$\ldots$

그러면 나는 새로운 수를 하나씩 만들어간다.

$0.{\color {red}a_{1}}{\color {red}b_{2}}{\color {red}c_{3}}{\color {red}d_{4}}\cdots$.

앞에서 든 예를 바탕으로쓰면,

$0.1508\cdots$

인 것이다. 이 수는 당신이 짝지어놓은 실수 중 어떤 것일 수 있다. 그런데, 내가 이 수를 약간 비틀어보겠다. 다시 말해 방금 만든 수에서$a_{1}$ 이 0이면 1을 쓰고, 0 이 아니면 0으로 바꿔 쓸 것이다. 마찬가지 $b_{2}$ 도 그렇게 한다. 그러면 결론적으로 어떻게 되나? 예에서하면 내가 방금 만들어 놓은 수는,

$0.0010\cdots$

이 된다. 그 수는 분명히 소수점 아래 0과 1로 된 수다. 이 수는 실수고 0과 1 사이에 있는 수이니, 당신이 자연수 하나에 실수 전부를 하나씩 대응시켰다면 이 수에도 어떤 자연수 n 가 대응하고 있어야 한다. 그러나 그런 n 은 없다. 다시 말해 자연수와 대응하여 차례로 줄세워 놓은 수들의 목록 안에 없다. 왜냐하면 당신의 첫번째 수는 내가 방금 만든 수와 같을 수 없다. 소수점 아래 첫번째가 다른수이니까, 당신의 두번째 실수와도 같을 수 없다. 소수점 아래 두번째 수가 다르니까. 마찬가지 당신이 순서 정해놓은 어떤 실수도 내가 만든 수와 같을 수 없다. 당신은 자연수 전체와 모든 소수를 짝지었다고 했지만, 그렇지 못한 것이다. 남을 수 밖에 없다. 모순이다. 따라서 실수는 자연수와 하나씩 대응하는 규칙이 있을 수 없다 !

칸토르는 여기까지 도달한 것이다. 모든 자연수, 정수, 유리수, 실수를 차례대로 :$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 라고 기호로 쓰면,

$\mathbb {N} \sim \mathbb {Z} \sim \mathbb {Q} \prec \mathbb {R}$  !

앞에서 $X\sim Y$ 는 두 집합의 원소들을 하나씩 짝지을 수 있다. 다시 말해 무한한 정도가 같다를 말하고, $X\prec Y$ 라는 기호는 '집합 X 보다 집합 Y 의 무한의 정도가 더 세다' 라는 것을 뜻한다. 어떻게 하나씩 짝짓든 Y 에는 남는 원소들이 있을 수 밖에 없다는 말이다.

Q . 자연수 집합보다는 세기가 크고 실수 집합보다는 세기가 작은 어떤 집합이 과연 있을까 ?

Q. 자연수 집합보다 더 작은 정도의 무한 집합이 있을 수 있을까?

Q. 실수 집합보다 큰 무한집합이 있을까?

Note

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