Paradox

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역설 (Paradox)

논리적 역설에 대한 예들은 이미 고대에서부터 문제가 되었다. 오래된 것중 가장 유명한 역설이라면 '제논'의 역설일 것이다. 이 역설은 '무한'의 개념을 함부로 쓰는 것에 대해 논리적인 반박이었다. ....

제논 패러독스가 그랬던 것처럼 좋은 패러독스는 우리의 직관에 균열을 일으키고 어떤 개념을 더 깊이 생각하도록 이끌어준다.

집합의 세계를 규명하면서 놀라운 성질들이 발견되고 아울러 집합이라는 개념과 성질은 수학의 모든 분야를 묶어줄 중요한 토대 역할을 했다. 그런데 이미 집합론이 창시되던 초기부터 수많은 문제이나 풀기 어려운 문제들이 잇따라 제기되었다. 칸토르 역설도 그렇고, 연속체 가설(continuum hypothesis)도 그 중 하나다. 하지만 이런 문제들이 집합론이나 수학의 발전을 막아서지 않았다. 수학이란 발견된 문제를 해결해가면서 그 세계를 넓혀갔다는 점을 생각해보면 어쩌면 이것은 당연해보인다. 이 문제들을 해결해가는 동안 집합론은 수학적으로 더 탄탄하게 다듬어졌을 뿐 아니라, 새로운 수학의 분야(예:수리논리학)가 탄생하고 발전해갔다.

여기서는 유명한 패러독스들을 모아보았다. 논리적으로 어리둥절할 것이다. 포기하지 말고 함께 즐겨보자.

'좋은' 집합과 '나쁜' 집합

우리가 처음한 집합의 정의는 사실 너무 모호하다. 우리의 '직관적' 개념으로는 '원소'들의 모임이 집합이기 때문에 '집합 자체는 그 집합의 원소가 될 수 없다'고 생각하는 것이 자연스럽다. 예를들어 집합 S 을 '3학년 3반 학생들의 모임'이라고 하면 그 집합은 어떤 학생이 될 수 없기 때문에 그 자신의 원소가 될 수 없다. 그런 집합을 '좋은 집합'이라고 불러보자. 반대로 집합 S 를 '3학년 3반 학생이 아닌 것의 모임' 이라면 이 집합은 분명히 3학년 3반 학생이 아니므로 그 자산의 원소가 된다. 이런 집합을 '나쁜' 집합이라고 불러보자. 사실, 이때 '좋은' 과 '나쁜'의 개념은 그냥 붙인 이름일 뿐, 그것이 우리가 좋거나 나쁘다고 시시비비를 가리는 것은 여기서는 생각하지 않기로하자.

이제 세상의 모든 '좋은 집합'을 모아서 그것들의 모임을 집합 M 이라고 부르자. 자, 그렇다면, 이 '모든 좋은 집합들의 집합' M 은 좋은 집합일까 나쁜 집합일까?

- 만약 M 이 좋은 집합이라면, 집합 M 은 집합 M 의 원소일 수 밖에 없다. 따라서 집합 M 은 그 자신을 원소로 갖는 집합이고, M 은 나쁜 집합이다.

- 만약 M 이 나쁜 집합이라면, 집합 M 은 그 자신의 원소이기도 하다. 따라서 좋은 집합 중 하나다.

A := { x | x 는 거짓말만 하는 사람 }
B := { x | x 는 자기 스스로 밥을 떠먹지 않은 사람을 밥 떠 먹여주는 사람 }

이런 유형은 얼마든지 있는데 이것을 수학적으로 표현하면 다음과 같은 식이다. 노벨문학상 지명자이자 철학자, 수학자였던 영국의 러셀(B.Russell)이 제시한 "러셀 패러독스"^[1]다. 집합 M 을 정의하자. 그 자신을 원소로 갖지 않는 집합을 원소로 갖는 집합니다. (그 자신을 원소로 갖는 집합은 있을까? 없을까?) 기호로 쓰면,

M=\{A\mid A\not \in A\}

그렇다면 집합 M 자체는 어떻게 될까?

$M\in M\ \rightarrow \ M\notin M$
$M\notin M\rightarrow \ M\in M$

앞의 두 집합 A, B 의 논의도 이런 유형이다.

러셀은 1902년 6월 16일 프레게에게 이런 내용이 든 편지를 보낸다. 6월 22일 프레게는 러셀에게 답장을 한다. 수학의 기초를 논리적으로 탄탄하게 다지려고 그가 쓴 저술 뿐만 아니라, 칸토르의 집합론 자체에 중대한 위기를 느끼고 충격을 받았다. 그리고 이 내용을 이미 다 쓴 책의 부록에 솔직히 밝힌다. 그 후 러셀은 부인에게 보낸 편지에서 프레게의 이런 학자적 양심에 깊은 존경을 보낸다.

Note

↑ 러셀 패러독스에 대한 위키페디아 자료

[1] 러셀 패러독스에 대한 위키페디아 자료

[1]