Isoperimeter Steiner

'같은 둘레'의 가장 전형적인 질문들은 아래와 같다.

어떤 둘레가 주어졌을 때, 같은 둘레를 갖고 면적이 최대가 되는 도형은 어떤 것일까?
어떤 면적이 주어졌을 때, 같은 면적을 갖고 부피가 최대가 되는 도형은 어떤 것일까?

물론 이는 일반적으로 n차에 이르기까지 확장할 수 있을 것이다.

이런 유형의 문제는 가장 오래된 수학적(기학학적) 문제 중 하나 라 할 수 있다. 이미 고대 그리스나 로마 신화에도 이와 비슷한 이야기들이 있고, 지금은 확인할 바 없지만, 그 신화 에서와 같이, 해안선에 한 쪽을 두고 성벽을 반원 형태로 만든 고대 도시가 있었다고 전한다. 길이가 정해졌다면 그것으로부터 만들 수 있는 평면의 가장 큰 면적을 갖는 도형은 원이고 한 쪽을 바다에 대고 육지 쪽으로만 반원을 그리면 면적을 최대로 할 수 있기 때문이다.

이미 고대 그리스 시대에 약 3세기경 제노도르는

어떤 주어진 길이로 된 모든 볼록 n 각형 중 최대면적을 갖는 볼록 n 각형은 정 n 각형이다.

라는 사실을 엄격하게 증명했다. 그러나 최대 면적이 되는 도형은 원이라는 사실을 엄격하게 증명되기 까지 수천년을 기다려야 했다. 이 문제에 대해서 19세기 중반 쉬타이너가 아름다운 기하학적인 해법을 내놓았고 그 증명의 부족한 부분은 19세기 말 보완하여 드디어 이 문제는 수학적으로 입증 되었다.

쉬타이너 증명

가장 큰 면적을 갖는 도형을 F라 부르기로 하자. 그럴 때 이 도형은 아래 세 조건을 만족해야만 한다.

F는 볼록이다.
F의 둘레를 반드로 나누는 두 점(지름)은 면적도 반으로 나눈다.
F의 어느 점에서건 지름을 직각으로 본다. (지름을 빗변으로 하고 지름 아닌 F 의 어떤 점을 이으면 그 점에서 직각이 된다)

따라서 이런 조건을 만족하는 도형은 원 밖에 없다. 위의 세 조건을 만족하는 도형은 둘레가 정해진 상태에서 최대면적을 갖는다라는 사실을 증명해보라. Proof_Steiner_Isoperimeter 에서 증명을 살펴보자.

쉬타이너 증명에 대한 비판

쉬타이너의 기하학적인 증명은 간단 명료하고 깔끔하다. 그리고 당시에는 이 증명이 충분한 것으로 받아들였다. 그러나 곧 이 증명이 불충분하다는 것, 논리적으로 치명적인 약점이 있다는 것이 발견되었다. 다음 예를 보자.

면적이 최대가 되는 정사각형을 F라고 하자. 그렇다면 그 한 변은 1 이다.

이것은 말이 안되는 것이라는 것을 금새 알아차릴 수 있다. 그런데 위의 사실을 아래와 같이 '증명'해 보일 수 있다.

면적이 최대가 되는 정사각형 F의 한 변을 a 라고 하자.
a < 1 인 경우, F 의 면적은 $a^{2}$ 이고 이는 1보다 작다. 따라서 최대 면적 가정에 모순이다.
a > 1 인 경우, F 의 면적은 $a^{2}$ 이고 이는 $a^{4}$ , 다시 말해 한 변의 길이가 $a^{2}$ 인 정사각형보다 면적이 작다. 따라서 최대 면적 가정에 모순이다.
따라서 a = 1 이다.

앞의 예는 틀린 부분이 너무 뻔하다고? 다른 예를 하나 더 보자.

다음 세 조건을 만족하는 함수f 들을 보자.

폐구간 [0,1] 에서 연속이고 ( $f\in C[0,1]$ )
그 정의역에 대한 f(x) 값이 항상 [0,2]다. ( $f(x)\in [0,2],\quad x\in [0,1]$ )
f(0) = f(1) = 1

이 세 조건을 만족하는 함수 중 x 축과 이루는 면적이 최대가 되는 함수는 어떤 것일까? 다음의 '정리'와 '증명'을 보자.

'정리' : 면적이 최대가 되는 함수 f(x) 는 f(x) = 1 이다. (최소한 구간 [0,1]에서는 그렇다고 하자.)

정해진 구간 안에서 모든 x에 대해 f(x) = 1 가 아니라 하자.
그렇다면 다음의 함수 g 보다 항상 면적이 작다. 따라서 최대면적의 가정에 모순이다. 결국 f(x) = 1 이다.

g(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}\ f(x)\leq 1\\f(x)+(f(x)-1)(2-f(x)),&{\mbox{if}}\ f(x)>1\end{cases}}

Q. 위의 증명에서 어디 부분이 논리적인 결함을 갖는가? 쉬타이너의 증명과 논리적으로 어떤 점이 닮았는가 ?

쉬타이너 증명의 결정적인 단점은 최대 면적이 있다고 가정하고 그 최대면적을 갖는 도형의 성질이 원의 성질일 수 밖에 없다는 것을 보인 것으로 논리적으로 보면 다음을 증명한 것이다.

\forall P(\exists F\rightarrow F\equiv \Sigma )

위의 문장에서 F가 있다는 것이 증명되어야만 F가 원이라는 것을 보이는 것이지만, 만약 위의 두가지 '가짜 정리'에서 보듯 F가 존재하지 않는다면 어떤 문장이든 참이 된다. MathLogic 참조

주어진 둘레 P 에 대해 면적이 최대가 되는 도형 F가 있다는 것은 다른 수학자들 (쉬바르쯔, 블랴쉬케)이 증명하였다.

Proof_Exist_Isometer 를 보라.

최대 면적을 갖는 도형의 존재성을 물리적 현상으로 짐작할 수 있다

그렇다면 우리가 앞에서 했던, 많은 maxmin 문제에 대해서도 이와 마찬가지로 그 '존재성'을 보이고 그 다음 존재한다면 어떤 점(또는 길 또는 도형)이다 라는 사실을 보여야 할 것이다. 물론 이는 수학적으로 엄격하게 보여야만 하는 것이다.

수학적으로 엄격하게 보이는 대신, 물리적 현상에서 그것을 유추해볼 수 있다. 물리적인 현상이 보여주는 것을 잘 관찰할 경우 그것의 수학적 최적값을 찾는 수학적 발견이 뜻밖에 쉬어 질 수 있다. 이에 대해 WIM 8-11

코페리니쿠스는 다음과 같이 말했다고 한다. " 무엇보다 먼저 세계는 구 모양이라는 것을 주목해야 한다. 왜냐하면 이 형태가 다른 어떤 형태보다 완전하며 이어야 할 어떤 부분도 없이 그 자체로 총체적으로 완전하거나, 또는 가장 많이 담을 수 있어서 담아야 할 것들과 보존해야 해야만 하는 모든 것을 다른 어떤 형태보다 더 적절하게 담을 수 있기 때문이다. "

Note