Infinity Prime Series

소수의 무한성 : 수열의 증감 속도 비교로 2

이또한 앞에서 하였던 수열의 증감 속도에 대한 개념에 기초한 증명이라는 점에서 본질적으로 다르지 않다. 크게 보면 모두 소수의 개수가 유한개라고 가정하고 나서 산술의 기본정리를 이용하여 가정한 다음 논리적으로 모순임을 밝히는 증명 방법이다. 대신 이 증명을 수학적으로 엄밀하게 하기 위해서는 곧 나올 $2^{k}<(k+1)m$ 을 증명해야 하기 때문에 번거롭다. 대신 번거롭기 때문에 더 공부하거나 생각해 볼 수 있어 좋은 점이라고 볼 수도 있다. 먼저 앞에서 처럼 간단한 증명을 보면서 전체 틀을 익히고 다음 형식적으로 더 엄밀하게 증명하기로 하자.

대강의 증명

단계1

소수가 아무리 많건 기껏해야 $2,3,5,\cdots ,p$ 까지 m개 있다고 하자.

단계2

이 소수를 곱해서 얻을 수 있는 수는 무엇일까? 위의 $2,3,5,\cdots ,p$ 중 각 소수가 여러 번 등장할 수 있다. 따라서 어떤 자연수를 표현하기 위해서 쓰일 수 있는 모든 소수와 그 소수의 제곱, 세제곱, $\ldots$ 들의 항을 생각해볼 수 있다. 예를 들어, 어떤 k에 대하여 다음의 수들을 생각해보자.

1,2,2^{2},2^{3},\dots ,2^{k}

1,3,3^{2},3^{3},\dots ,3^{k}

1,5,5^{2},5^{3},\dots ,5^{k}

\ldots

1,p,p^{2},p^{3},\dots ,p^{k}

이 수들이 곱해져서 만들어낼 수 있는 경우는 기껏해야 $(k+1)^{m}$ 개라는 것에 주목하라.

단계3

이제 수들의 열을 하나 생각해보자.

1,2,3,4,5,\cdots ,2^{k}

이 수열은 $k=5$ 이면 모두 32개의 항을 갖는다. 그렇다면 (단계2)에서 m개의 소수들과 1, 제곱, 세제곱, …, k제곱으로 만들어진 소수들의 곱의 경우인 $(5+1)^{m}$ 개로 자연수 32개를 항을 충분히 모두 표현할 수 있다. $k=10$ 이어도 괜찮다. (m은 충분히 큰 수라고 생각해보자.) 하지만 언제까지 이것이 가능할까? 다시 말해 k가 커지면 커질수록, (단계2)에 있는, 표현될 목표인 수를 우리가 가지고 있다고 가정한 (단계2)에서 보인 비록 m이 아무리 크다고 해도 유한개의 소수 m개로 표현할 수 있을까?

단계4

이미 우리가 지금까지 몇 차례 보아왔듯이 k가 커질수록 표현될 목표인 수는 엄청나게 빠른 속도로 늘어간다. 그에 비해 우리에게 정해진 소수의 개수의 증가는 상대적으로 느리다. 엄격하게 말하면 어떤 정해진 m에 대해 $k_{0}$ 이 존재해서, 이 $k_{0}$ 보다 큰 모든 $k$ 에 대하여

2^{k}>(k+1)^{m}

을 보여야 하지만, 직관적으로도 이해할 수 있다. 앞에 부등호 관계로 표현된 식의 왼쪽 항은 k가 1씩 커져갈 때 마다 앞보다 2배씩 증가하는데 오른쪽 항은 정해진 m에 대해

\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)^{m}

로 증가속도는 상대적으로 더디다. 따라서 우리가 가지고 있는 소수가 정해진 수 만큼밖에 없다면 어느 순간부터 소수들의 곱으로 표현할 수 없는 수들이 나오는 것이다.

형식적으로 더 엄밀한 증명

이는 로그 연산 개념을 이용한다.

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