Goldbachhyp

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자연수의 세계 로 돌아가기

골드바흐 가설의 참거짓 문제

예

왼쪽 항엔 짝수, 오른쪽 항엔 소수들의 합이다. 잘 보자.

4	=	2 + 2
6	=	3 + 3
8	=	3 + 5
100	=	47 + 53
120	=	59 + 61
990	=	491 + 499
1000	=	491 + 509

...

골드바흐 가설

지금까지 우리는 1이 아닌 어떤 자연수든 소수들만의 곱으로 나타낼 수 있고 게다가 그것이 한가지 방법만 있다 것을 보았다. 어찌 생각하면 소수는 가장 기초적인 수라고 볼 수 있다. 이런 현상은 화학이나 물리분야에서도 일어난다. 멘델레에프 주기율표에 있는 기초적인 화학원소들이 결합하여 화학적 물질을 구성한다. 단지 과학 분야에서만 그런 것이 아니다. 우리나라 글자는 닿소리 14개, 홀소리 10개로 이것을 잘 엮어 모든 글자를 만들어내고 글자는 의미를 가지고 뜻있는 단어를 만들어내고 단어가 모여 문장을, 문장은 문단을, 문단은 위대한 철학자의 사상을 표현하는 글이 되기도 하고 아름다운 시가 되기도 한다.

수학에서 자연수가 모든 수의 기초가 되고 나머지는 자연수로부터 구성되어 새로운 대상과 그 대상에 따른 공리를 추가하여 수체계가 확장한다는 것을 생각해보면 소수들이 수학 나라에서 얼마나 신비롭고 뜻있는 것인지 미루어 볼 수 있다. 아직까지 증명이 안되고 있기 때문에 가설이라고만 알려진 문장을 보면 소수의 뜻을 다시 생각해볼 수 있다. 골드바흐(Goldbach)라는 사람이 세우고 오일러(L.Euler)가 다음의 문장으로 명쾌하게 수정하여 쓴 골드바흐 가설을 보도록 하자.

골드바흐 판 (오일러에게 쓴 편지)

"2 보다 모든 수는 3 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있는 것 같다."

당시 골드바흐는 1을 소수로 생각했다.

오일러 수정판

골드바흐 가설 : 2 보다 큰 어떤 짝수도 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

소수의 개념이 곱셈의 개념으로부터 왔는데 이를 덧셈의 연산과 연결을 찾는 시도라 할만하다. 연산에서 말했듯이 곱셈과 덧셈의 관계는 우리가 초등학교 때 이후로 생각했던 것보다 복잡하다. 이 둘의 관계가 단순했다면 위의 문제를 푸는 것도 생각했던 것 보다 간단했을지 모른다. 그러나 사정은 달랐다. 지금까지 수 백 년 동안 이 문장이 참인지 아닌지 증명하는 시도가 있었고 상금도 걸리곤 했지만 아직 증명되지 않았다. 그 중에서 이와 관련된 탐구의 발자취를 증명 없이 나열한다.

골드바흐 가설의 탐구 발자취

하나의 길
- 젊은 날 비운으로 죽은 러시아의 초특급 수학자 쉬니렐만 : 어떤 자연수도 유한 개 소수의 합으로 표현될 수 있다. (1931년)

이것은 획기적인 발전이었다. 왜냐하면 어찌 되었든 제아무리 큰 자연수라도 '유한개 소수'의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 뜻하기 때문이다.

다른 길
- 하디, 리틀우드, 라자누잔 : 해석적 수론 발전시킴. 골드바흐 가설 증명에 관한 논문 발표. 여기서는 아직까지 증명 안된 몇 개의 '가설'들이 참이라면 '충분히 큰 n에 대하여 골드바흐 가설은 참임을 보임. 리만 가설 참고.
- 비노그라도프 : 어떤 자연수 $n_{0}$ 가 있어서 이 수보다 큰 모든 $n$ 은 4개 이하의 소수의 합으로 표현될 수 있다. 하디-리틀우드-라마누잔의 방법을 씀. 여기서는 4개가 아니라 가정하고 모순을 이끌어 내는 증명 (1934년)
- 보로쥐킨 : 비노그라도프의 $n_{0}$ 에 대한 구체적 예를 보임. $n_{0}=\exp(\exp 16.038))$ (1956년)
- 비노그라도프의 방법을 써서 '거의 모든' 짝수들이 두 소수의 합으로 표현된다고 보이는 증명들 등장.

또 다른 길들
- 충분히 큰 짝수는 자연수 둘의 합으로 나타낼 수 있는데, 이 자연수 둘은 모두 아홉 개 이하의 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 에라토스테네스의 체 개념 일반화하여 사용 (1919년, Brun )
- 충분히 큰 짝수는 자연수 둘의 합으로 나타낼 수 있는데, 하나는 두 개 이하의 소수로, 다른 하나는 366개 이하의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. (1937년, Ricci)
- 충분히 큰 짝수는 자연수 둘의 합으로 나타낼 수 있는데, 이 자연수 둘은 모두 네 개 이하의 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 조합론적 방법 사용 (Kuhn)

리만 가설 을 참으로 받아들이고 증명한 결과들.
- 충분히 큰 짝수는 자연수 둘의 합으로 나타낼 수 있는데, 하나는 소수고, 다른 하나는 3개 이하의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. (1957년, Wang Yuan)
- 충분히 큰 짝수는 자연수 둘의 합으로 나타낼 수 있는데, 하나는 소수고, 다른 하나는 어떤 정해진 c개 이하의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. (1948년, R ${\acute {e}}$ nyi)
- 앞의 결과에서 c = 5 (1962년), c = 3 (1965년) , c = 2 (1966년)

Mathworld로 연결
Wikipedia로 연결 Goldbach가 Euler에게 썼던 편지 원문 영역판도 링크되어 있습니다.

Note