Inversive Orthogonality Q

뒤집기와 직각성 으로 돌아가기

어떤 두 원과 한 점 X 이 있을 때, 그 점을 지나고 두 원과 직각인 원이 있을까? (있는 경우 작도하라.)

원들의 만남의 관계에 따라 다시 나눠 생각해볼 수 있다.

두 점 A, B 에서 만나는 경우

한 점 A 을 중심으로 두 점을 이은 선분 [AB] 을 반지름으로 하는 원에 대해 두 원을 뒤집는다. 주어진 두 원이 뒤집기 원의 중심 A 과 다른 점 B 을 지나므로, B 를 지나는 직선 l, m 이 될 것이다. 이때 주어진 한 점 X 는 어딘가로 뒤집힐 것이다. 그 점을 X' 라 하면, 결국 두 직선 l, m 과 직각이면서 X' 를 지나는 도형 F 을 찾아야 한다. 그 도형을 다시 뒤집으면 '만남'과 '직각성'이 지켜지기 때문에 F' 는 우리가 찾던 도형일 것이다. 그리고 이것이 원이기 위해서는 F 도 원이어야 했을 것이다. 실제로 그렇다. 어떤 두 직선과 직각이 되고 주어진 점을 지나는 원은, 두 원이 만나는 점을 중심으로, 그 점에서 주어진 점까지는 반지름으로 하는 원일 수 밖에 없다. (그런데 만약 X 가 A, B 둘 중 한 점과 겹쳤다면 우리가 만난 상황은 어떻게 돌변하는 걸까? )

두 원이 한 점에서 접하는 경우

접하는 점을 중심으로 하는 원으로 뒤집으면 두 원은 평행한 직선 l, m 으로 대응할 것이다. 그리고 X 는 어딘가 X'로. 따라서 두 직선 l, m 과 직각이기 위해서는 직선일 수 밖에 없다. 이 직선은 X' 를 지나야 하기 때문에 그런 직선은 하나다. 직선이므로 다시 뒤집으면, 뒤집기 원의 중심을 지나지 않으면 원으로, 지나면 원으로 바뀔 것이다. (그런데 만약 X 가 접점 A 과 겹쳤다면 ?)

두 원이 만나지 않는 경우

만나지 않은 두 원의 radical axis a 는 두 원의 바깥에 있을 수 밖에 없다. 직선 a 와 두 원의 중심을 지나는 직선 ($O_{1}O_{2}$ )과 이 직선이 만나는 점을 C 라 하자. 점 C 에서 한 원에 접선을 긋고 접점을 $T_{1}$ 라하자. 다른 직선에도 접선을 그어 접점을 $T_{2}$ 라 하자. radical axis 의 성질에 따라 $CT_{1}=CT_{2}$ 다. 따라서 점 C 를 중심으로 하고 두 접점까지의 선분을 반지름으로하는 원은 주어진 두 원에 직각이다. (아직 끝나지 않았다. 우리에게 잠시 잊혀진 채 어딘가에 있을 X 가 있다.) 이어서, 우리가 지금까지 얻은 원 $\Sigma (C,CT_{1}$) 을 축으로 평면을 뒤집어 본다. 얻는 것은 없다. 직각인 두 원은 그래도 그 자리에 남고 어디있을지 모르는 X 는 어디 있을지 모르는 어떤 점 X' 로 옮겨 갔다. 축이 되는 다른 원을 생각해보자.

원 $\Sigma (C,CT_{1}$) 은 주어진 두 원의 중심을 이은 직선 ($O_{1}O_{2}$ ) 과 두 점 A , B 에서 만날 것이다. 이 점 중 하나 A 를 중심으로 반지름을 선분 AB 로 하는 원을 얻어 이것을 축으로 삼는다. 무엇이 어떻게 변했을까? 무엇이 바뀌지 않고 그대로 남는가? B' = B 고 직선 ($O_{1}O_{2}$ )' = 직선 ($O_{1}O_{2}$ ). 이제 바뀌는 것들을 보자. 먼저 축의 중심을 지나는 원 $\Sigma (C,CT_{1}$) 은 B 를 지나면서 직선 ($O_{1}O_{2}$ ) 과 수직인 직선 l 으로 바뀔 것이다. 그렇다면 주어진 두 원은? 바뀐 다음 이 두 원의 중심은 어디로 가게 될까?

이 두 원의 성격을 결정하는 요인들을 다시 보자. 중심 $O_{1},O_{2}$ 은 직선 ($O_{1}O_{2}$ ) 에 놓여 - 그리고 이 직선은 A, B 도 - 있었고, 두 원은 원 $\Sigma (C,CT_{1}$) 과 직각이었다. 직각성이 지켜지기 때문에 $\Sigma (C,CT_{1}$)이 바뀐 직선 l 과 여전히 직각일 것이고, 직선 ($O_{1}O_{2}$ ) ' = ($O_{1}O_{2}$ ) 이므로 중심은 이 직선에 여전히 놓이게 된다. 그런 것은 어떤 것인가? 그렇다. 바로 l 과 수직이면서 직선 ($O_{1}O_{2}$ ) 에 있는 것은 한 점 밖에 없다. 바로 B 다 ! 따라서 두 원은 B 를 중심으로 하는 '동심원 관계인 원들로 바뀐다.

어딘가에 아직도 잊혀진 채 X 가 있다. 주어진 두 원이 어떤 점을 중심으로하는 동심원 관계들로 바뀔 수 있으니, 이 두 원과 직각인 관계에 있는 도형들은 수도 없이 많다. 다름아닌 그 중심 B 를 지나는 모든 직선은 이 원들과 직각이다. 따라서 X 가 변한 후의 점 X ' 를 지나고 동심원 관계의 중심 B 를 지나는 직선이 바로 바로 우리가 찾던 도형의 뒤집힌 도형이다. 따라서 이 두 점을 지나는 도형을 다시 원 (A, AB) 로 뒤집으면 우리가 찾던 원이 된다. (만약 이때, X 가 점 A 또는 점 B 와 겹쳤다면 어떻게 되었을까? )

두 원이 처음부터 동심원 관계였으면 ? 너무나 뻔하다. 이 두 원의 중심을 지나는 직선들은 아무 것이나 이 두 원과 직각이다. 따라서 그 중 주어진 점을 지나는 직선이 찾던 것이다. 따라서 이상점 (ideal point) 와 점 X 을 지나는 원이다.

Note

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