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이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

프톨레미우스 정리

(프톨레미우스 정리)  : 원과 네 점에서 만나는 사각형을 생각해보자. 이때, 두 대각선의 길이의 곱은 떨어져 있는 두 변의 곱들의 합과 같다.

그리고 그 역도 성립한다. 어떤 네 점이 원에 있기 위한 필요충분조건을 간단한 등식으로 표현한 것이다 ! 다시 말하면, 만나는 네 점이 원을 따라 한 방향으로 순서대로 A, B, C, D 라 할 때,

위의 순서대로 A, B, C, D 가 한 원에 있으면, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$ 은 그 역도 참이다.

$\forall A,B,C,D\exists \sigma \ (AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\ \Leftrightarrow \ A,B,C,D\in \sigma )$

여기서는 뒤집기를 이용해 확인해보자.

A, B , C 의 순서로 세 점이 있다고 해보자. 이 세 점이 결정하는 원 $\sigma$ 을 작도할 수 있다. 점 A 를 중심으로하는 원 $\Sigma$ 을 뒤집기의 대칭 축으로 삼아 원 $\sigma$ 을 뒤집는다. 뒤집기 원의 중심을 지나기 때문에 뒤집힌 도형은 직선 l 이 될 것이고, 대응하는 점들 B', C' 는 이 직선에 있다. (이 직선은 ideal point $O_{\infty }$ 을 지날 것이고 그 점이 A' 다.)

($\Rightarrow$) 어떤 점 D 가 C 와 A 사이에 원에 있다고 하자. 그렇다면 D' 도 직선 위에 놓여있을 것이고,

$B'C'+C'D'=B'D'$

다. 그런데 뒤집기 원의 중심 O 로 뒤집힌 두 점의 길이 X'Y' 는 뒤집기 전의 두 점의 길이 XY 와 OX, OY 그리고 뒤집기 원의 반지름 r 으로 결정된다.

$X'Y'={\frac {XY\cdot r^{2}}{OX\cdot OY}}$

따라서 B' , C' , D' 로 된 앞의 등식을 다시 쓰면,

$B'C'+C'D'={\frac {BC\cdot r^{2}}{AB\cdot AC}}+{\frac {CD\cdot r^{2}}{AC\cdot AD}}={\frac {BC\cdot r^{2}\cdot AD+CD\cdot r^{2}\cdot AB}{AB\cdot AC\cdot AD}}$

$B'D'={\frac {BD\cdot r^{2}}{AB\cdot AD}}={\frac {BD\cdot r^{2}\cdot AC}{AB\cdot AC\cdot AD}}$

그래서

$B'C'+C'D'={\frac {BC\cdot r^{2}\cdot AD+CD\cdot r^{2}\cdot AB}{AB\cdot AC\cdot AD}}={\frac {BD\cdot r^{2}\cdot AC}{AB\cdot AC\cdot AD}}=B'D'$

이고, $BC\cdot AD+CD\cdot AB=BD+AC$.

($\Leftarrow$) 어떤 점 D 가 원에 없다고 하자. 그렇다면 삼각형의 변들에 대한 부등식을 써서 위의 등식은 성립할 수 없다.(풀어보라.)

아폴로니우스 문제

Q : 세 원이 어떤 한 점에서 만난다. 이 원들을 모두 접하는 원을 찾아라.

앞의 문제를 좀 더 일반화 시킨 문제가 아폴로니우스의 문제다. 이 문제는 아폴로니우스 가 던지고 이미 해답을 내놓았다. 하지만 해답이 담긴 그의 저서 "접함에 대하여"는 사라졌다. 이 문제는 Euler 나 Lambert 같은 대가들도 풀기 위해 노력했다. 여기서는 뒤집기 연산으로 푸는 해법을 본다.

(아폴로니우스 문제) 세 원이 있을 때, 이 세 원에 모두 접하는 원을 (자와 컴퍼스로) 작도하라.

반지름이 0 인 원을 점으로, 반지름이 무한히 큰 원일 때 직선으로 볼 수 있다. 위의 문제는, 원의 상태의 따라, 유클리드 기하적으로 말하면

• 세 직선, 세 원, 세 점
• 두 직선 + 한 원, 두 직선 + 한 점, 두 원 + 한 직선 , 두 원 + 한 점, 두 점 + 한 원, 두 점 + 한 직선
• 한 원 + 한 직선 + 한 점

경우로 나뉜다. 뒤집기로 위의 문제를 풀었다면, 가능한 여러 형태들의 문제를 한꺼번에 푼 셈이다.

하나 더 .

(아폴로니우스 원)  : 다른 두 점 A, B 과 양수 k가 있다고 하자. $\{\ X\ |\ {\frac {AX}{BX}}=k\ \}$ 인 도형은 어떤 도형일까? (A, B, X 는 한 평면에 있다고 가정한다.)

오일러 정리

(오일러 정리) : 삼각형 ABC에 대해 그것을 둘러싼 원의 반지름을 R, 그것에 둘러싸인 원의 반지름을 r 이라 하고, 이 두 원의 중심의 거리를 d 라 하면, $d^{2}-R^{2}=-2rR$

포이에르바흐 정리

이 정리는 오일러가 발견한 정리의 특수한 경우지만, 평면 기하에서 가장 아름답고 예상치 못했던 놀라운 결과라고 일컬어지는 정리다. 오일러는

어떤 삼각형 ABC 의 수선의 발로 이루는 삼각형과 선분의 이등분 점으로 이루는 삼각형은 하나의 원으로 두를 수 있다

는 것을 이미 18세기 중반 보였다. 다시 말해 꼭지점에서 수선을 내린 발 세 점과 세 변의 이등분 점인 세 점이 하나의 원 위에 있을 수 있다 ! 그 뿐 아니다. 그 이후 밝혀진 두 사실,

삼각형 ABC 의 꼭지점과 수심을 잇는 선분의 중점 세 점도 그 원에 있다 ! 그리고 그 반지름은 ABC를 둘러싼 원의 반지름의 반이다.

위의 원의 꼭지점은 수심과 외심의 중점이다. (이 점은 오일러 직선에 놓여 있다.)

그런데 포이에르바흐는 이런 원의 성격 중 매우 놀라운 점을 밝혀냈다.

어떤 삼각형의 '아홉점'을 포함하는 원이 그 삼각형과 관련된 다른 원들과의 특별한 관계를 밝힌 것이다.

(포이에르바흐 정리) : 아홉점 원은 변에 내접하는 한 원과 바깥에서 세 변(과 그 연장선)에 접하는 세 원에 접한다.

쉬타이너 포리즘

중심이 같은 두 원 이 있다고 하면, 주어진 두 원에 접하면서 오른쪽 그림처럼 서로 서로 이웃해서 맞대는 원들의 연결 상태(chain)가 있을 수 있다. 이렇게 되기 위해서는 주어진 두 원 사이의 반지 모양의 '틈'에 있어야만 한다는 것은 명확하다. 그렇다면 그 시작점의 위치는 어떻게 시작해야할까? 답부터 말하면 어떤 점이든 상관 없다. 쉬타이너는 이런 성질이 굳이 중심이 같은 두 원이 아니라도, 다시 말해 한 원이 다른 원 안에 있기만 하면, 이런 연결상태가 가능하다는 것을 보였다.

원 $\Sigma _{1}$의 '안쪽'에 원 $\Sigma _{2}$가 있다. 원 $\Sigma _{3}$은 이 두 원 $\Sigma _{1},\ \Sigma _{2}$ 에 접한다. 원 $\Sigma _{4}$은 세 원 $\Sigma _{1},\ \Sigma _{2},\ \Sigma _{3}$ 에 접한다. 그리고 원 $\Sigma _{5}$은 세 원 $\Sigma _{1},\ \Sigma _{2},\ \Sigma _{4}$ 에 접한다. 계속 이런 식으로 새로운 원을 작도해간다. 마침내 마지막 원 $\Sigma _{n}$ 이 처음 작도하기 시작한 원 $\Sigma _{3}$ 과 에 접하게 되었다. 이런 경우 여기 참여한 어떤 원도 옆에 있는 다른 원들과 서로 맞대고 있다는 것을 보여라.

작도

컴퍼스의 기하학

• 어떤 원이 있을 때, 컴퍼스만으로 그 원의 중심을 찾아라.

작도 문제들

• 뒤집기는 작도가능하다.

• 어떤 세 원이 하나의 직선 m 에 있고 서로 서로 접한다. 이 세 원에 접하는 네 번째 원 $\Sigma$ 을 작도하였다. 원 $\Sigma$ 의 중심과 직선 m 까지의 거리가 d라 하면 $\Sigma$ 의 반지름은?

• 어떤 두 개의 원과 하나의 점이 있다. 두 원에 직각이고 이 점을 지나는 원을 작도하라.
• 두 원과 어떤 한 점이 있다. 이 두 원과 접하고 점을 지나는 원을 찾아라.

Note

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