Do Math Camp Senario 1

• 여기에 있는 것은 maximum 이것 중 상황에 따라 덜어나갈 것.
• 다만, 빼고 넣은 것은 주제별로 하고, 하나의 주제를 건드렸으면 깊이 들어가는 것을 원칙으로 함.
• 전체 시간표는 첫날부터 마지막 날까지 : 시간으로는 3 , 5,7,7,5, 3 체제, 또는 3, 6,6,6,6,3 체제로.
• 수업시간은 40-45분 사이를 한시간으로. 쉬는 시간은 10 분 정도. 어떤 경우든 강의는 90분 한묶음으로 한주제씩 넘겨가는 식으로. 이럴 경우, 3, 6,6,6,6, 3 체제가 적당함.
• 강의를 번호별로 하면, 1, (2,3,4), (5, 6, 7) , (8, 9, 10), (11, 12, 13) , (14) 로 됨. 총 14개의 주제를 다룸.
• 이 동안 매일 조별 탐구시간 2시간. 이것은 수업 시간과 상관없음.
• 첫날의 목표는 : 자연수의 이해, 어디에나 있지만 보이지 않는 것을 보는 마음의 눈
• 둘째날의 목표는 : 자연수와 연산을 통해 알고리듬의 개념이해. 알고리듬을 찾고 싶은 것은 우리 인간의 본성
• 세째날의 목표는 : 수의 확장을 통해 수학 내부의 논리(자기 확장과 더 작은 세계의 법칙을 통일성 있게 가져가려는), 무리수, 무한의 이해

첫날

모임 시작

• 아이들이 모인다. 함께 온 부모님들은 따로 모임을 가진다.
• 아이들은 간단히 자기 소개를 한다.
• 아이들은 미산을 함께 구경하고 시설들이나 생활 수칙을 익힌다. ('최소한의 생활수칙만 전달한다.')
• 시험 : 캠프 전체 줄거리에 대해 짧게 이야기하고 아이들에게 부담을 버릴 것을 당부한다. 간단히 시험을 치를 것이고 조를 나눌 것이라고 말해준다.
• 이때 시험을 치를 수 있다. 이때 다음과 같이 한다.
  • 시험은 절대로 평가나 성적를 위한 것이 아니며 다른 이에게 알리지 않을 것이고 다만 조를 짜는데 참고하기만 할 것이다.
  • 시험 : 60분 정도, 문제는 묶음별 2문제 정도 (서너 유형) + 개별 문제 아이들마다 하나씩(1-2문제). 미리 준비한 시험지를 아이들에게 나눠준다.
  • 시험은 미리 나눠 준 일기(공책)에 푼다.
• 저녁 식사
• 놀이 : 놀이를 통해 긴장을 푼다. 아울러 아이들끼리, 아이들과 진행하는 어른들, 어른들끼리, 모두 친해지는 시간을 갖는다. 이때 나는 중간에 빠진다. (놀이에서 나는 관찰자로 잠시 있다가 놀이 하는 동안 시험지 평가를 하고 조를 짠다.)

시험을 먼저하고 마음을 푸는 뜻에서 놀이를 시작한다

첫강의

• 시간 : 약 한시간
• 주제 : 자연수란 무엇인가?
• 시나리오
  • 과일을 여러종류 하나씩 가져온다. 그것들 사이의 공통된 성질이 무엇인지 묻는다. 답을 주고 받으며 토론한다.
  • 과일이 아닌 다른 종류, 예를들어, 숟가락 하나, 젓가락 하나, 종이 하나, 손가락 하나, 사람 한 사람, 통나무 하나, 점 ..로 예를 늘려가면서 공통된 성질이 무엇인지 묻고 답한다.
  • 마침내 눈을 감고 상상을 한다. 아무거나 눈에 보이는 것을 한사람씩 말해보도록 한다. 모두 말하고 눈을 뜬다.
  • 이 모든 것들의 공통된 성질 바로 그것을 '하나' 라고 한다. 우리에게는 이제 '하나'가 있다. 이것은 '태초의 말씀'과도 같다.
  • 이제 앞에서 들었던 예들을 둘씩 짝을 지으면서 묻기 시작한다.( 하나에 하나 더하는 것으로 하지않는다.) 아이들은 금방 '둘'을 답할 것이다.
  • 이런 식으로 차례차례 몇개만 더 해본다. ' 바로 그것이 자연수다 라고 말한다.
  • 이제 자연수들끼리의 연산에 대해 말할 차례 : 이제는 하나에 하나를 더하면서 '덩어리였던 둘'과 같다는 것을 말한다.
  • 둘에 셋을 추가하면서 공통된 성질이라고 뽑은 다섯개의 한덩어리와 같다는 것을 말한다.
  • 자연수의 덧셈 연산
  • 자연수는 끝이 없이 많다. 하나씩 더해가면 아무리 큰 수보다 더 큰 수를 만들 수 있기 때문에.
  • 자연수의 곱셈 연산 : 우선 초등학교 때 배운대로 2*3은 2가 세묶음 있는 것으로 이것은 여섯개 한덩어리와 같은 것이라는 말한다.
  • 자, 이제 우리에게는 '자연수와 덧셈과 곱셈'이 있다고 말한다음 첫수업 끝.
• 덧셈이나 곱셈이 선천적으로 있었던 것이 아니라는 것을 이해하기 위해 추가 : functional relation인 '셈'은 수에만 있는 것이 아니다. 그런 예를 마련한다.
  • 전기를 켜고 끈다
  • 한번 누르면 켜지고 다시 한번 더 누르면 꺼지는 전기불
  • 자동문 예
  • 행진 : 좌향 좌, 우향 우, 뒤로 돌아, 앞으로 가...
  • 서너개 더 (예는 살아 숨쉬는 생활 속, 기왕이면 자연친화적이고 민속적인 것의 예로. 더 생각할 것.)
• 마지막 질문

자연수는 어디에 있다구요? - 세상 어디에나 있어요, 하지만 그것을 보는 것은 우리 마음 속에서 봐요

어떻게 하면 보인다구요? - 마음의 눈을 열어야 해요 !!

조별 모임

• 강의 끝날 때 조를 불러주고 조별로 모임을 갖는다.
• 조별로 brainstorming 할거리를 주고 아이들이 조별 방으로 나눠 들어가 이야기를 나누도록 한다.
• 정해진 시간이 지나면 그 결과를 짧게 발표하고 써서 붙인다 : ('스스로 생활수칙을 마련한다.')

저녁 전체 모임

• 이부자리 정하기
• 내일 아침 일정 전달
• 잠자리로

둘째날

자연수는 어디에 있다구요? - 우리 마음 속에요

어떻게 하면 보인다구요? - 마음의 눈을 열어야 해요 !!

일어나 아침 먹고

• 일어나 침구 정리, 체조 비스므리한 것
• 씻기
• 아침 식사 준비하는 동안 오늘 일정 말해주고 대화
• 아침 식사 맛있게 쩝쩝
• 아침 먹고 가볍게 산책

둘째 강의 1

• 자연수 쓰기 : 고대의 자연수 쓰기 예를 보여줄 것. 미리 프린트 그룹별로 한장씩.
• 고대 로마의 자연수 나타내기 : 오늘날의 예. 그것의 덧셈을 구현해보기. 예전에는 그것이 하두 어려워 그것만 돈을 받고 따로 해주는 전문가가 있었다고 한다. 10진법에 대해 감사하기.
• 그것들의 장단점에 대해 토론하기 어떤 질문을 던져야 토론이 될까?
• 10진법, 2진법, 12진법에 대한 이야기 : 1 진법이란 있을까?
• 더 좋은 자연수 쓰기법이란 무엇일까? 1차 질문

휴식

• 이때 쉬는 시간은 충분히 주면서 개인별, 조별 탐구 : 주제는 : 더 좋은 자연수 쓰기법에 대해서. 자기만의 자연수 기호 만들어보기.

둘째 강의 2

• 자기만의 자연수 기호에 대한 질문 : 자기가 만든 기호에서 10진법의 100은 ? 자기 생일을 나타내보기
• 진법들 사이의 교환하는 알고리듬(법칙) (이것은 나중에 나선운동으로 다시 돌아오기) 이 있을까?
  • 나만의 자연수 나타내기를 옆의 친구와 한명씩 짝을 지어 교환하기 : 맞는지 확인해보기
  • 짧은 놀이를 통해 짝을 다시 짝을 바꾸어 해보기. 어떤 수를 던질까? 아니면 아이들 스스로 해보도록 할까? - 기왕이면 아이들 스스로 해보되 어느정도 제약조건을 두면 좋겠다. 다시 말해 10진법으로 20부터 30까지만 주고 그 안에서 선택은 아이들 스스로 하게 한다.
  • 11개의 수에 대해 17명이 자기만의 수를 골랐다면 결국 겹치는 것이 나올 수 밖에 없다. 디리흘레 법칙(비둘기 집) 이해.
  • (더 일반화된 수학적 질문) 교환은 항상 가능할까? 왜 가능할까? 어떤 조건이 만족하길래 모든 진법들 사이는 서로 '통'할까?
  • 우리 마음 속에 떠오른 어떤 자연수를 나타내는 방법은, 예를들면 10진법에서도 나타낼 수 있고, 2진법에서도 나타낼 수 있을 것이다. 문제는 것을 연결하는 규칙을 어떻게 찾을 것이냐 이다. 하나의 기호에서 다른 기호로 옮길 수 있다는 확신을 할 수 있는 까닭은 ?
  • 우리 마음 속의 자연수 '전부'에 대해 기호가 '하나씩' 대응한다면, 그리고 그 기호체계가 어떤 규칙이 있기 때문이다.
• 더 좋은 자연수 쓰기법이란 무엇일까? 2차 질문

점심

• 먹고 가볍게 산책

세째 강의 1

• 일단 10진법으로 통일해서 쓰는 것으로 하자. 왜냐? 다들 그렇게 쓰고 있으니까. 하지만 잊지 말아라, 이것은 지금 우리가 통상 쓰는 것일뿐 '유일한 진리'는 아니다. 그렇다고 '진리가 아니다'라고 할 수도 없다. 왜냐하면 '우리마음 속의 자연수'를 10진법으로 '모두' '하나씩' 표현할 수 있기 때문이다. 우리는 자연수라는 생명에 10진법이라는 옷을 입혀준 것일 뿐이다. 인형놀이를 생각해봐라. 옷을 갈아입히고 역할을 그때그때 바꾸어주지 않느냐 ? (같은 점과 다른 점은?)
• 10진법으로 해놓았으니 이제부터 우리는 편안하게 우리에게 익숙한 기호 시스템을 쓴다 : 1, 2 , 3, 4, 5, ...
• 덧셈과 곱셈의 알고리듬... 꼭 그렇게 해야만 하는 것은 아니다. 10진법 곱셈의 여러 알고리듬
• 0 에 대해서 : 없는 것을 기호로 표시해야 한다. 그래서 이것은 아주 오래 동안 유럽 문화권에서는 수로 받아들여지 않았다. '빈 것' 이 있다. 라고 하는 것을 자연스럽게 받아들일 수 있는 문화에서는 그것을 받아들이고, 그렇지 않을 경우 낯설었다. 하지만 0 을 수로 모두 자연스럽게 받아들이는 것은 수학의 역사 수천년에 걸쳐 가장 위대한 '포용'이라 할 수 있다. 이것은 우리가 나중에 하겠지만, '무리수'를 수로 받아들이는 인류의 '용기'와 '포용' 만큼 위대한 사건이었다. 하지만, 지금 우리는 이런 것이 그리 낯설지 않다. 예를들어보자. 식당에 가서 줄을 섰는데 자리가 나면 우리는 뭐라고 하는가? '(빈)자리가 났다' 라고 한다. 내가 앉을 자리를 일컫는 말이지만, 사실 그 것은 '빈' 자리가 났다라고 하는 것과 다르지 않다. 그 빈자리에는 누구나 앉을 수 있다. '빈' 자리가 진짜 자리다... (이것은 벌써 오바하는 게 되는구나.. )
• 0 에 대해서는 다음 다음 강의 때 다시 이야기 하기로하자.
• 자, 우리에게는 자연수가 있다. "이것이 몇개라고?"
  • "셀 수 없이 많다" 라는 답이 오면 정말로 그것이 "셀 수 없이" 많은지에 대해 토론해본다. '센다'는 것은 과연 무엇이냐?
  • 그런 답이 없다면 내가 질문을 한다. (이 토론은 나중에 정수, 유리수, 실수로 넘어가면서 매우 중요한 개념이 된다.)
  • 어쨌든 답은 '끝없이' 많다는 것으로 나겠지. 그렇다면 '끝없이 많다'는 것은 무엇이지? 그렇다. 아무리 많아도 ' 그 다음'이 분명히 있다는 것이고 그것을 우리가 말할 수 있다는 것이지.
  • 자, 여러분 자기가 생각할 수 있는 가장 큰 수를 생각해봐요. 답을 한다. 그 다음을 말한다. 그러면 누군가 그 다음을 말할 수 있다. 이런 질문과 답을 짧게 하는 것으로부터 우리는 '끝없이' 많다는 것에 대한 믿음이 생긴다. 이 믿음은 앞으로 중요한 역할을 한다.
• 다시 연산으로 돌아간다. 자연수의 가장 기본적인 성질 ( 나중에 최대공약수에 대한 '유클리드 알고리듬'에 대해 말할 때 매우 중요한 역할을 한다.) 덧셈과 곱셈을 써서 우리는 어떤 자연수를 세개의 다르거나 같은 자연수로 나타낼 수 있다. (이때 후보 중에 0도 포함한다. 따라서 앞에서 미리 자연수에 0도 포함한다고 말한다.)
  • 그전에 예를 5개쯤 해본다. 13 = 7 * x + y , 13 = 12 * x + y , 12 = 2* x + y ,...
  • 이것들을 일반화해서 법칙을 끄집어 낸다. 중간에 내가 다리가 되어주더라도 어떻게, 아이들 스스로 해보도록 할까?
  • 주어진 n 과 그것보다 작거나 같은 a 에 대해 다음 조건이 성립하는 b 와 r 은 항상 있다. $n=a\cdot x+y$ 이고 a > r. 이것의 기하학적인 그림을 그린다. 자연수의 개수를 점들로 표시해서 직사각형 꼴로. (왜 꼭 직사각형 꼴이어야 할까?)
• 이것의 기하적 의미는 ? 수를 점으로 한 줄로 주루륵 썼을 때, 고대 그리스 사람들이 했던 것 처럼, 그것을 "나눌 수 있음" 으로 하는 것이다.
  • 우선 구체적인 수로 몇개를 해본다. 어떤 수들이 재미있을까? 일반화할 때 더 잘 이해될 수 있는 예는?
  • 예를들어 a, b 라는 두 수가 있다고 하자. 두 수가 a > b 가 하자. a 가 18, b 가 12 라면,

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• • 위의 예에서 이것들을 묶음질할 때, ** 묶음으로도, *** 묶음으로도, ****** 묶음으로도 작은 것을 다 소멸시키고.... 음냐.. 어렵군..
• 여기서 자연럽게 양의 '유리수'로 넘어갈 수 있다. 고대 그리스 사람들이 생각했던 대로 '서로 비례할 수 있는 관계' 인 수들로... 그림으로.
  • 그림 예를 흥미롭게 들 수 있을까? 색깔 있는 자석이 있으면 좋겠다. white board 에 붙을테니까. 여기서 유리수로 들어가기만 하고 나와서 약수로 넘어간다. 유리수는 삼일째 강의에서 다시.

휴식

• 걷고 쉬고 산책할 시간, 충분히...걸으면서, 생각할 문제 미리 주기

세째 강의 2

• 다시 예로 돌아가, 그 중 특별한 것들을 해본다. 소수와 소수 아닌것 들로.
  • 특별한 것들 예를들면 3 = 1*3 = 2*? = 3* 1 밖에 없다. 4 = 1*4 = 2*2 = 3*? = 4*1 , 5 = 1*5 = 5*1 , 12 = 1*12 = 2*6 = 3*4 = 4*3 = 5*? = 6*2 = ... = 12*1
  • 그렇다면 자연수를 분류해볼 수 있다. y 가 0 이 될 수 있는 것들과 그럴 수 없는 것들로. 다시 말해, 자연수를 크게 두 묶음으로. 그래셔...
• 그래셔... 길은 두 갈래다. 소수로 바로 가는 것 또는 약수와 최대공약수 문제로 가는 것 : 어디로 갈까? 모두 다뤄? 그럼 시간이 너무 오래 걸리겠는걸.
• 먼저 소수의 세계 이것은 깊이 들어가면 다치니 쉬운 수준에서 다룬다. 이것으로 소인수 분해를 이해한다.
• '알고리듬'에 대한 이야기가 이번 캠프의 핵심이고 약수와 최대공약수 문제는 학교에서도 다룰 것이기 때문에 다루는 것이 좋겠다. 유클리드 알고리듬으로 !
  • 예 : 2, 3, 4, 5, 9, 12, 18, 19, 27, 98, 1110, 23214, 2393881, .... 처음엔 쉬운 것이라 생각하지만 점점 약수 찾는 것이 어려워진다는 것을 느낄 수 있게.
  • 약수라는 묘한 이름에 대해.. 약수(約數, divisor) 한자로 풀이하면 맺어주는 수. 영어로 하면 나누어주는 수. 영어식 표현이 더 정확하다 !
  • 이제 두 자연수를 보자. 이것들을 '맺어주는' 수가 같은 것이 들어 있는 수들에 대해 본다. 예를들어 3, 6, 9, 12 같은 수들, 또는 2, 4, 6, 8, 10, 12 같은 수들,
  • 한발 더 나아가자. 앞에서 6 과 12 같은 경우 2 는 6을 나누고, 12도 나눈다. 이렇듯, 6 과 12의 관점에서 보면 2는 여기도 저기도 공통적으로 약수다. 이런 것을 공약수라 부른다.
  • 앞의 예에서 2만 그런게 아니다. 3도 그렇다. 게다가 6도 그렇다. 그렇다면 6, 12 에 대해 공약수는, 1, 2, 3, 6 이 된다. 이 중에서 가장 큰 것은 6. 이런 수를 최대공약수라 한다. 이것들을 점으로 표시할 때 도형적인 뜻은 무엇일까?
• 왜 최대공약수는 중요한가 ?
  • 깊이 들 어갈 수 없지만, 최소한 두가지 이유가 가능하다. 어떤 집단에서 가장 큰 것과 가장 작은 것을 살펴보는 것은 본능이다. 한 반에 누가 키가 제일 큰지, 누가 가장 작은지, 어느 학급이 가장 공부를 잘하는지, 누가 달리기 1등인지, 그런 것을 따지는 건 기본이다.
  • 그리고 최대공약수는 매우 중요한 특성을 가지고 있다.
    • 위의 예에서 12와 18을의 공약수는 1, 2, 3, 6 이고, 이 중 6이 최대 공약수였다.
    • 예 하나 더, 12와 16. 이것들의 공약수는 1, 2, 4, 그렇다면 최대공약수는 4,
    • 문제를 조그 바꾸어서 공약수로 1, 2, 3, 7 을 갖는 수가 있을까?
    • 공약수로 1, 3, 6, 을 갖는 두 수가 있을까?
    • 공약수로 1, 3, 6, 9 를 갖는 두 수가 있을까?
    • 다시 돌아와서, 다른 예들...
  • 위의 예들로 우리는 최대공약수의 중요한 성질을 알 수 있다. 그것은 다름아닌, 최대공약수는 다른 모든 공약수로 나뉜다는 것이다. 나중에는 이 성질이 매우 중요해서 자연수가 아니라 다항이나 더 일반화된 다른 것으로 가면 아예 최대공약원소를 이것으로 정의하게 된다. 이에 대해서는 다항에서 다시 보자.
• 다른 질문을 해보자. 어떤 두 자연수가 있다고 하자. 항상 최대공약수는 있을까?
  • 엄격한 증명은 하지 않겠지만, 항상 있을 수 밖에 없다. 공약수가 있으면 그 중에 제일 큰 것이 있을 것이고, 없다면 1이된다.

네째 강의 1

• 어떻게 최대공약수를 찾을 수 있을까?
  • 어떤 두 자연수 a, b가 주어지고 a가 b 보다 크다면 a를 b로 나누면 몫과 b보다 작은 나머지를 가진다. 이 사실은 더 생각할 것도 없이 당연해 보인다. 예를 들어 29와 3에 대해서는 $29=3\cdot 9+2$ 로 여기서 몫은 9, 나머지는 2가 된다. 당연해 보이는 이 생각을 일반식으로 나타내면 지금 우리가 생각하지 못하는 여러 정리를 살펴보는데 아주 유용하다. 무엇보다 이것은 최대공약수를 찾거나 1차 2변수 디오판테스 방정식을 푸는데 쓰이고 산술의 가장 기초적인 정리라 할 수 있는 산술의 기본정리를 증명하는데 쓰일 수 있다.

알고리듬 1

a의 약수를 찾는다 : 2부터 제곱해서 a가 나오는 수보다 작은 모든 양의 정수로 나눠본다.

a, b 공약수를 찾는다 : 앞 단계에서 찾은 약수로 b를 나눠본다.

최대 공약수를 찾는다 : 앞 단계서 찾은 공약수 중 가장 큰 것을 찾는다.

알고리듬 2

a 를 소수들의 곱으로 나타낸다.

b 를 소수들의 곱으로 나타낸다.

같은 소수들만 뽑아 곱한다. 이 곱이 최대공약수.

유클리드 알고리듬

$a=b\cdot q_{1}+r_{1}$ 인 $q_{1},r_{1}$을 찾는다. ($0<r_{1}<b$ 이도록)

$b=r_{1}\cdot q_{2}+r_{2}$ 인 $q_{2},r_{2}$을 찾는다. ($0<r_{2}<r_{1}$ 이도록)

$r_{1}=r_{2}\cdot q_{3}+r_{3}$ 인 $q_{3},r_{3}$을 찾는다. ($0<r_{3}<r_{3}$ 이도록)

$r_{n-1}=r_{n}\cdot q_{n+1}+0$ 일 때까지 비슷한 과정 과정 반복

$(a,b)\ =\ r_{n}$

이 과정은 끝이 날 수밖에 없다. 왜냐하면

$b>r_{1}>r_{1}>r_{1}>\cdots >0$

에 다다를 수밖에 없기 때문이다. 기껏해야 b보다는 작은 단계로 최대공약수를 찾게 된다. (왜 그런가? 어떤 경우에 최대의 경우가 될까?) 이는 유클리드의 원론 (영어판 유클리드 원론)의 7권 1-3의 성질을 현대적 식으로 나타낸 것이다.

• • 예를 들어
    • 12, 4 의 경우 12 = 4 * 3 + 0 이므로 (4, 12) = 4
    • 163, 43의 경우

$163=43\cdot 3+34$

$43=34\cdot 1+9$

$34=9\cdot 3+7$

$9=7\cdot 1+2$

$7=2\cdot 3+1$

$2=1\cdot 2+0$

(163, 43) = 1

• • • 1014, 273의 경우

$1014=273\cdot 3+195$

$273=195\cdot 1+78$

$195=78\cdot 2+39$

$78=39\cdot 2+0$

(1014. 273) = 39

위의 세 알고리듬 중 어떤 알고리듬이 가장 확실하고 빠를까? 앞의 단원들에서 말하였듯 어떤 수를 나누도록 하는 약수를 찾는 문제는 다루는 수가 클수록 대단히 계산의 양이 많은 복잡한 알고리듬이다. 게다가 찾은 수들에서 가장 큰 것을 찾는 알고리듬을 다시 해야한다. 그에 비해 마지막 유클리드의 알고리듬은 확실하고 빠르다.

• • 유클리드 알고리듬과 연속분수에 대해 나중에 나선운동으로 돌아올 것

네째 강의 2

• 앞에서 했던 방식으로 나눗셈의 정의 n = a * x 가 되는 x 가 있으면 x = n : a 라고 한다. 나눗셈에 대해서 자연수는 그 경계를 벗어나버린다는 말 언급. 그리고 넘어서는 그런 수를 다음에 유리수라고 부를 것이라고 말하자. 여기서 유리수(rational)란 이름은 '비례'라는 말을 담고 있다.
  • 쉬운 나눗셈 해보기. 수를 점점 키워가본다. 나눗셈이 쉬운 것이 아니라는 것을 스스로 깨우치도록 충분한 시간을 두면서 천천히 한다.
  • 특히 어떤 수 a 가 다른 수 b 로 나누어 떨어질까 하는 문제는 더욱 어렵다.
  • 마침내 어떤 수 a 만 주어졌을 때, 이 수가 우리가 아직 모르는 다른 어떤 수 x 로 나뉘어 떨어질까 하는 것은 매우매우 어렵다는 것을 알게 된다. 수를 작은 것부터 점점 키워가보자.
  • 이때 이런 어려움을 극복하기 위한 '알고리듬' 이 있다는 사실들을 열거한다. 예를들어 2, 5, 0 으로 끝나면, 합해서 9의 배수면 과 같은 나눗셈 하는 알고리듬이 있긴 있다는 사실을 확인한다
  • 하지만 그래도 이것을 푸는 것은 만만치 않은 일이라는 것을 말한다.
• 소수의 무한성
  • 아무리 큰 소수 다음에도 그것보다 더 큰 소수가 있다는 사실은 충분히 이해할 수 있을만한 증명이다. 이 증명을 함께 해본다. 충분히 천천히 할 것.
  • 가장 큰 소수 찾기. 소수표 보여주기.
• fundamental theorem : 이것도 초보적인 증명이라 이해할 수 있을 것이다. 아주 중요한 것이라는 것을 말해준다.
  • 먼저 자연수가 아닌 수의 모음에서는 안된다는 사실을 먼저 말해주어야 한다. "이거 당연한 거 아녜요?" 라고 물을 때를 위해...
  • 그렇다. '1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 유일한 방법으로 나타낼 수 있다' 는 문장은 어찌보면 너무나 명확해서 증명이 불필요한 것처럼 보일 수 있다. 그런데 갑자기 유일하게 표현할 수 없는 자연수가 어딘가에 숨어있으리라고 확신할 수 있나? 모든 자연수에 대하여 이 성질이 적용되지 않는다면 자연수 세계에 대한 탐구는 지금보다 몇 백배 몇 천 배 어려워졌을 것이다. 하기야 오죽했으면 이 정리를 자연수 산술의 가장 기본이 되는(fundamental) 정리라고 불렀을까?

실제로 고대이후 근대에 이르기까지 이것에 대하여 의심을 한 기록은 발견되지 않았다. 모두들 당연한 것으로 썼고 수학을 건축하는데 아무런 문제가 없었다. 르장드르 같은 특급 수학자도 특별히 주목하지 않았다. 이에 의문을 제기한 첫 사람은 아마도 가우스일 것이다. 가우스는 이 '당연해 보이는 것'을 당연한 것으로 받아들이지 않았다. 가우스가 그렇게 의심한 데에는 여러가지 이유가 있었을 것이다. 의심할 만한 것을 다 물리치고 엄격한 논리적 기초를 다져야 한다는 수학 특유의 강박관념이라고만 할 수는 없다. 아래서 '왜 산술의 기본정리'는 당연하지 않아 보이는지 살피고 그 정리의 증명을 함께 볼 것이다.

• • 큰 자연수를 나눌 때

우리는 초등학교부터 했던 소인수분해라는 것을 배워오고 있다. 어떤 수를 소수들로 쪼개 본다는 말이다. 어떤 자연수를 소수의 곱으로 될 때까지 나눗셈해가는 과정이다. 예를 들어, 420을 소인수분해.

$420=2\cdot 210=2\cdot 3\cdot 70=2\cdot 3\cdot 5\cdot 14=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 7$

$420=7\cdot 60=7\cdot 5\cdot 12=7\cdot 5\cdot 3\cdot 4=7\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

이고, 다른 순서로 나누기 시작하더라도, 420은 결국 $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$으로, 순서를 고려하지 않을 경우, 단 하나의 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다.

수를 조금만 키워보자. 예를 들어 740037721. 이 수는 어떤 수들의 곱으로 나타낼 수 있을까? 직접 시도해보라. 재수 좋으면 앉은 자리에서 바로 답을 낼 수도 있지만, 재수없으면 다른 문제를 안 풀고 한달을 꼬박들여 풀어도 못 풀 수 있다. 주어진 수가 커질수록 어떤 수를 나누어간다 것은 아주 어려워진다는 것에 대해서는 이미 여러번 말해왔다. 이 수가 소수일까 아닐까 아는 것 자체가 쉬운 일이 아니므로 한 단계만 도움을 받도록하자. 그 수는 아래와같이 두 자연수의 곱으로 표현할 수 있다.

$740037721=23623\cdot 31327$

이렇게 큰 수가 단 두 자연수의 곱으로 표현되었다. 하지만 이 수가 $23623\cdot 31327$가 아닌 다른 수들의 곱으로 나타낼 수 없다는 것을 확신할 수 있나 ?

예 하나 더. 자연수 45910043909 은 다음과 같이 두 개의 방식으로 나타낼 수 있다.

$45910043909=308911\cdot 148619=256379\cdot 179071$

자연수 45910043909는 $308911\cdot 148619$과 $256379\cdot 179071$의 두 방법으로 표현될 수 있다는 것을 뜻하는가?

위의 예들을 보면 자연스럽게 우리는 이런 질문을 던지게 된다. 어떤 자연수를 소수들의 곱으로 나타내는 방법은 정말로 유일할까? . 위의 예

$45910043909=331\cdot 449\cdot 541\cdot 571$

는 사실, 네 소수로 구성된 것이다. 곧 나눌 수 있는 소수를 찾아가면 결국 위의 수는 네 소수의 곱으로 표현하게 되고 그 방법은 유일하게 하나다. 그러나 위의 예보다 훨씬 큰 수를 생각해서 그 수도 과연 소수들의 곱으로 나타내는 방법이 딱 하나 말고는 없다는 것을 알아보는 것은 지구에 존재하는 가장 강력한 슈퍼컴퓨터로 지구가 존재해온 시간만큼 풀어도 불가능할 수 있다. 실제로 주어진 자연수를 나누는 소수를 찾아 곱으로 나타내는 인수분해의 문제는 알고리듬 중 가장 계산이 복잡한 것으로 알려져있다. 이런 이유로 소수로 나타내는 문제는 암호론에 중요한 주제가 되기도 한다. 가능한 빨리 찾을 수 있는 많은 알고리듬들이 개발되고 있다.이렇게 더 좋은 알고리듬을 찾고 있는 것은 나눌 수 있는 방법이 결국은 하나 뿐이라는 것이 수학적으로 증명되었기 때문에 가능하다. (사실 과학과 문명 발전에 수학이 해줘야 하는 일이 참 많다.)

• • 모든 자연수가 아닐 때

단지 어렵다는 것이 문제가 아니다. 더 근본적으로 의심을 일으키는 이유들이 있다. 자연수 전체가 아니라, 짝수들만 떼어 놓고 본다고 하자. 이렇게... 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,

이 수들만 따로 떼어서 그게 해당하는 관계와 연산을 보면, 그것들이 이루는 세계는 '짝수들의 산술체계' 라고 불러도 좋을 것이다. 짝수들의 산술체계에서는 '기본정리'가 통할까. 우선 이 수세계의 소수 또는 기초수 같은 역할을 할 수 있는 수는 어떤 것일까? 다른 짝수는 나누면서 더 작은 짝수로 나뉘지 않은 수일 것이다. 그렇다면 2, 6, 10, 14, 18, ... 들이 짝수들의 소수라고 보는 것은 합리적이다. 4 는 2와 2의 곱으로, 12 는 2와 6의 곱으로, 24는 2와 2와 6의 곱으로, 유일한 방법으로 쪼개진다. 짝수들의 산술 체계도 '기본정리'가 통하겠지 짐작하기 쉽다.

(가설 : 짝수 산술의 기본정리) : 2 보다 큰 모든 짝수를 짝수-소수들만의 곱으로 나타내는 방법은 하나 밖에 없다.

그런데 이제 60 을 곱으로 나타내보자.

$60=2\cdot 30=6\cdot 10$

이다. 두 가지 방식으로 쪼개진 것이다 ! 반례(conterexample) 가 등장했다. 짝수 산술의 기본정리는 참이 아니다.

• • 자연수보다 넓은 수개념에서

자연수보다 넓은 의미의 수개념, 그래서 자연수보다 복잡한 성격을 갖는 수 집합, 예를들어 '정수인 대수적 수'의 세계와 그 '나눗셈의 기초법칙' 을 연구하는데 있어 전혀 다른 성격을 갖게 되는 경우가 발견되었다. 다시 말해 '기초원소로 나뉘는데' '유일하게는 나뉘지 않는' 수의 영역들이 발견된 것이다. 이는 수학을 총체적인 세계로 인식하는 데 있어서 매우 중요한 문제가 된다. 이에 대해서는 따로 알아보기로 한다. 자연수(정수) 전체가 아닌 짝수 같은 부분들이나 자연수보다 넓은 수의 세계에서는 이 법칙이 통하지 않는다는 것으로부터 그렇다면 자연수들 전체에 대해서는 꼭 이 법칙이 통할까. 여기서는 그 물음표를 하나 던진 것으로 충분하다.

• 소수 찾는 알고리듬 아직도 발견 안되고 있다는 ... 자연수를 곱셈으로 구성하는 모든 것들은 끝없이 많은데 그것의 규칙은 알 수 없는 ... 그렇다고 모른다. 하고 넘어간 게 아니라, 나름대로 가장 근접한 알고리듬을 찾아내고 있다. 그 중 하나가, '모든 소수'를 찾지는 않더라도 '소수만 찾는' 것 있다는 이야기. 신비한 소수들에 대한 '놀라움' 에 대한 이야기들.

영화감상

• 박사가 사랑한 수식 감상 친구수 에 대한 언급을 앞에서 미리 해주는 게 좋겠다.
• 메모하면서 ?

세째날

아침 식사

식사후 휴식, 걷기

다섯째 강의 1

주제 : 수의 확장

• 정수의 이해 , 정수는 어쩔 수 없이 '수'로 대접 받아야 한다. '왜 ? '
  • 0 으로 다시 돌아오기. 0 너머에는 무엇이 있을까?  : 생활 속에서 음수의 개념 : 부채, 영하 와 같은 다양한 model 들
  • 자연수의 빼기에서 불편함
  • 그럼에도 불구하고 '음수'가 아주 오랫동안 대접을 못받은 역사 이야기.
• 절대값에 대해 이야기하기.
• 정수도 수로 인정 받았으니, 셈을 해야지. 셈을 어떻게 정의해줄까? 여기서 핵심은 '셈'을 정의해주었다는 것이다. 이 내용은 자연수에서 '연산'을 이야기할 때 충분히 해주었다면 큰 무리가 없겠다. 하지만, 다시 이 부분에서 정확히 짚고 넘어가야 한다.' 던질 질문은 ? '
  • 먼저 자연수의 덧셈과 곱셈에서 통했던 법칙들을 봄 : 덧셈, 곱셈의 교환법칙, 결합법칙, 분배 법칙 : 복잡하게 설명할 것은 없지만, 결합 법칙은 나중에도 중요하니 충분히 천천히 할 것. 분배 법칙은 두 연산의 결합이 어떤 효과를 일으킬까 하는 것.
  • (-1)(-1)에 대해
  • 정수의 연산들을 해보기 : 4칙 연산에 대해 수를 점점 키워가면서
• 질문 : 자연수에서 통했던 성질들, (소수, 약수, 최대공약수, 유클리드 알고리듬) 들이 그대로 통할까? 과연? 무엇을 어떻게 바꾸어주어야 할까? (시간이 허용하는 정도에 따라 질문형태로 하고 넘어가면 충분)

휴식

걷고 쉬기

다섯째 강의 2

• 유리수로 확장 : 앞의 반복 : 양의 유리수는 이미 오래전에 있었음, 유리수의 연산의 이해
• '나눌 수 있음'으로 다시 돌아와서 그림과 함께 충분히 이해하기. '서로 비례한다'.
• 유리수의 조밀성
• 유리수에 대한 고대 그리스 사람들의 믿음 : 피타고라스 이야기.
• 그 믿음이 깨지게 되는 충격적인 사건에 대해 이야기로 풀어서.

여섯째 강의 1

• 피타고라스 정리 : 피타고라스 정리에 대해 먼저 가장 초보적인 증명
• 여러가지 증명 : 중학교 교과서에 나온 증명
• 증명들의 비교 : 무엇이 더 좋고 무엇이 더 나쁜가?
• 질문 : 일반화 문제 한두개 정도

여섯째 강의 2

• 이상한 수의 등장 : 유리수가 아닌 수의 등장
• ${\sqrt {2}}$ 가 유리수 아니라는 것 증명
• 그런데도 수직선의 점과 지금까지 우리가 알고 있는 것을 대응하면 빈 곳이 있다는 것을 알게됨. 이 수는 어떤 수일까? 이 수의 역사에 대한 이야기.
• 무리수에 대한 직관적(?) 이해. 간격을 점점 좁혀가면서 유일하게 하나만 남았다는 사실 - 이것이 key !!!
• 계속해가도 끝없이 이 과정은 계속되고 결국 한 점이 있을 수 밖에 없다는 사실을 받아들일 수 있도록 충분히 예를들고 충분히 천천히. ('어떤 예? 얼마나 천천히? 그래도 이해가 안간다 하는 아이가 있을 경우? ')

일곱째 강의 1

• 다시 무리수에 대하여
• 쿠폰이 든 쵸콜릿 : 0.9999... = 1 이라는 것을 이해
• 이것을 조심해서 써야만 한다.

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$ 와 $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ 의 비교

$1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {1}{10000}}+\cdots$

• 수직선의 비밀 : 어떤 유리수 근방에 있는 무리수의 개수, 어떤 무리수 근방에 있는 유리수의 개수.

일곱째 강의 2

• 셀 수 없이 많다와 셀 수 있게 많다
• 무한개의 별, 무한개의 ... 이야기, 무한개의 전보, 크리스마스 전날 무한 속도로 초콜릿을 나눠주는 산타할아버지 이야기.

네째날

네째날의 목표는 식 : 방정식 해를 찾는 알고리듬과 수의 관계,

여덟째 1 : 식의 정의

• 알고 있는 두 수를 셈하기를 지금까지 해왔다면 이제는 그것을 뒤집어 생각해보기를 한다.
• 어떤 수를 찾기 : 아무리 복잡해보이는 $\pi ,e$ 같은 수라도 그것은 분명히 항상 그런 어떤 '고유한' 자기 자신이다. 이것들은 수직선의 어떤 한 점을 차지한다. 하지만, 모르는 어떤 값이 있을 수 있다. 11 에 어떤 수를 더하면 17이 될까 ? 에서 '어떤 수' 자리에는 어떤 수든 올 수 있다. 다만 그 '어떤 수'에 10을 넣으면 21이 되서 17과 다르게 된다. '11 + 10 = 17 이다' 라는 말은 참이 아닌 것이다. 그렇다면 이 모르는 어떤 수를 기호 x 로 써서 11 + x = 17 이 참이 되도록 하는 x 를 찾아라 하는 말이 된다.
• 예 : 초등 4-5학년 수준의 문제들 -> 초등 5-6 문제
• 이제 이것을 조금더 발전시켜보자. 위와 같은 형태로 써진 것을 식이라 한다. -> 중등 문제 1차 방정식 문제를 몇개 풀어본다. 이렇게 양쪽이 등호로 연결되어 있는 것을 등식이라 한다. 등식은 참 조화로운 것이다. 왼쪽에 있는 것과 오른쪽에 있는 것이 저울이 평형을 이룬 것처럼 흔들림없이 조화롭게 되어 있다. 저울에 무게를 달아보는 예를 생각할 것. 약쪽에 미지수가 있는 경우까지 문제를 발전시켜 볼 것
• 이제 식을 정의한다. 항, 식으로. 그 중 하나를 방정식이라 이름 붙인다. 방정맞은 ... 식... 하지만 이런 용어 안써도 된다. 영어로도 equation 이라 해서 등식이라하면 충분하다. 예를들어 2+ 3 = 5, 5+ 6 = 7, x -1 = 3 , 2*3 + 5 = 10 , 5*6 - 5 = 5*5, 3*(7-1) - 10 = 10:8 , 3*3 = 1, x*x = 1, x*x - x = 0 , ...
• 생활 속의 예는 ?

여덟째 2 : 일차식의 알고리듬

• 식에서 모르는 어떤 값이 거기 있다면 그것을 찾고 싶은 건 당연. 알아 내고 싶은 건 본능. 저 사람이 나를 좋아하는지 아닌지 확인하고 싶고, 개울에서 돌아래 무엇이 있을까? 열어보고, 보시락 거리는 소리가 나면 거기 가서 눈으로 보려고 하고, 불에 나무가지를 넣어봐서 어떻게 될까 하는 것도 다 그런 것이랑 비슷.
• 기왕이면 식이 참이되도록 하는 것을 알고 싶겠죠. 3 + x = 5 라는 식에서 그 모르는 x 에는 무엇이든 와도 상관없다면 식을 가지고 아무것도 안하는 것이나 같죠. 아무거나 해도되면 안하는 거랑 상관 없어요. 마치 0/0 을 보통 수로 안받아들이는 것과 같은 뜻. 세상은 혼돈이 될거예요.
• 한번 찾아보죠 : 여러가지 예 초등 수준 -> 중등수준으로 10문제 정도, 마지막에는 '알고리듬'이 없으면 꽤 오래 생각해야하는 예.
• 자, 찾아보니 어때요 ? 기왕이면 그것을 찾는 동안 더 '실수 없이' 할 수 있는 방법이 있으면 좋겠죠? 단박에 천재적으로 하는 사람도 있겠지만, 아무리 천재적인 사람도 어느 정도 이상이면 찾기가 너무 어려운 문제들이 있기 마련예요. x + 11 = 30 을 참이 되게 하는 x 를 찾는다고 해봐요. x 에 1 넣어보고, 아니면 2 넣어보고.. 해볼 수도 있죠. 하지만 이것은 좋지 않아요. 왜 그럴까요?
• 가장 좋은 건 우리에게 알려진 정보가 이미 있다는 거예요. 이미 알고 있는 것으로부터 모르는 것을 찾아가면 좋겠죠 ? 앞의 문제에서 x 에 어떤 값을 넣어서 참이 된다면 왼쪽이나 오른쪽이나 똑같은 거잖아요. 같은 수니까 똑같은 것을 더해줘도 같겠죠. 똑같은 걸 빼줘도 같고, 곱해도 같죠? ( 나눠도 같을까요? 어떤 수로도 ? )2+ 3 = 5 에 양쪽에 똑같이 10씩 더해줘봐요. 2+3 + 10 = 5 + 10 이 되니까, 15 = 15 가 되요. 만약 2+ 3 = 5 이 참이면 2+3 + 10 = 5 + 10 도 참이게 되는 거죠. 마찬가지로 x + 1 = 3 이 참인 x 를 찾는다면 x + 1 + 2 = 3 + 2 도 참이 되겠죠. 하지만 잘 봐요. 우리가 처음 있는 것을 바꾸어 주고 얻은게 뭐예요. 없죠. 되려 문제만 더 복잡하게 만들었어요. 이럴 필요 없죠. 기왕이면 있는 문제를 편한 쪽으로 바꾸어주는게 좋죠. 이때 가장 많이 쓰이는 방법이 바로 어떤 수에 0 을 더하면 그건 어떤 수 자체와 같다는 놀라운 성질 ! 자 봐요. 그러니까, x + 1 = 3 의 경우 x + 1 + (-1) = 3 + (-1) 을 하는 거예요. 그럼 어떻게 되요 ? x + 0 = 2 이고 그래서 x = 2 . 간단하죠 ? 우리가 아는 것으로부터 모르는 것이 자동적으로 나오도록 하는 거예요.
• 조금 복잡한 예 : 나눗셈이 들어가는 예
• 일반화 : ax + b = c 유도하기. x = (c - b) : a
• 이제는 모든게 아주 쉬어졌어요. 우리는 일일이 생각않고 한단계 한단계 이 껍데기만 보고 해도 알 수 있어요. 그래서 기계에 입력해서 답을 찾을 수도 있는 거지요. 앞의 일반식을 컴퓨터에 넣어두면 컴퓨터는 a , b, c 값이 무엇이든 상관없이 (a 는 0 이 아니라고 가정) 자기가 무슨 일을 하는 줄도 모르면서 x 를 찾아내요. 사람보다 훨씬 빠르죠. 하지만, 사람은 생각없이 그 문제를 풀수도 있지만, 왜 그렇게 되는지, 내가 지금 무엇을 하고 있는지 알고 있다는 점에서 달라요.

아홉째 1

• '모르는 것' 을 알도록 하는 것이 그렇게 간단하면 좋은데, 사실 살다보면 아주 복잡한 문제가 생겨요. 2차 방정식을 뜻하는 예  : 피타고라스 정리로 다시 돌아가 볼까요?
• 자 이제 이런 문제들을 풀어보죠. x*x = 1 , x*x = 4, x*x = 9 , 이건 쉽죠? 그런데 여기서주목할게 바로 x 를 두번 곱했더니 참이 되는 값은 두개 나왔죠. 그런데 이런 문제는 어떨까요? x*x + 1 = 1 , x*x + 1 = 2, x*x -1 = 1, 2*x*x = 1 , 2*x*x - 1 = 1 , 2*x*x -2 = 3
• (생활 속의 예 찾기)
• 자, 이제 우리는 무엇을 하고 싶을까요? :) 2차방정식의 일반적 식까지 만들어 놓고 휴식

아홉째 2

• 이차방정식의 일반 알고리듬을 직접 해보기 전에, 왜 우리는 이것을 하는지 다시 숙지. 처음 우리가 했던 것으로 돌아가보자. 덧셈으로 돌아가보자. 기호를 잘만드는 것이 덧셈이나 곱셈에 영향을 주었다. 셈의 결과를 쉽게 틀리지 않게 빨리 할 수 있는 것을. 그게 없었다면 우리는 머리 속으로 하나하나 했어야 했고, 세대에서 세대로 가더라도 축적없이 그냥 그대로 갔을 것이다. 그렇다면 어떤 발명도 없었을 것이다. 우리 사람은 어느 정도의 '알고리듬'을 필요로 하는 본성이 있다. 또 위의 일차방정식을 풀 때도 마찬가지다.
• 우리에게 알려진 것이 무엇이냐 ? 바로 계수다. 그것만으로 우리가 모르는 x 를 나타낼 수 있는 알고리듬이 있다면 참 좋을 것이다.
• 2차 방정식의 여러 문제들 : 구체적인 2차 방정식의 생활속의 예
• 일반식 끄집어 내기 : 이것이 무엇을 의미하나 ? 루트 안의 값이 미치는 영향은?
• 삼차방정식의 풀이와 그 안에 담긴 속뜻 : 허수의 등장 1 :

열째 1

삼차방정식의 풀이와 그 안에 담긴 속뜻 : 허수의 등장 2

열째 2

함수와 그래프 함수는 '수'가 아니다, ‘함’도 아니다.

• 생활 속의 function 들 : 직접 해보기. 토론을 통해 funation 이라고 생각되는 것.
• 수의 수의 관계로서의 function 곱셈이 있고 구구단이 있는 게 아니라, 구구단이 바로 곱셈 !
• 수와 수의 관계 그래프로 그리기
• 다양한 그래프 : 생각해보기 x*x = 1 의 그래프는 ?

다섯째날

이날의 목표는function 에 대한 정확한 이해

열한째 1

• 그래프 추정하기: 여러가지 복잡한 그래프 추정해서 그려보기. 식의 겉모양은 별 것 아닌데, 같은데 그래프가 복잡한 function들. 유리함수, 무리함수, 왜 그렇게복잡한 그래프가 될까?
• 4 칙 연산보다 복잡한 연산들, 연산의 예 생활과 닿아있는 예들.

열한째 2

• 그래프는 정말 계속 휘었을까, 꺽인 선들의 이음일까? 직선과 곡선은 무엇이 다를까? 곡선도 아니고 직선도 아닌 선이 있을까? 마음의 눈으로 보면 그럴 수밖에 없지만, 그냥 눈으로 보면 믿기 어려운 function 들, 끊어진 것도 아니고 안 끊어진 것도 아닌 그래프, 직선도 아니고 곡선도 아닌 그래프, 길이가 한없이 길어지는 닫힌 도형, 면적을 갖지 않은 면

• 디리흘레 function

열둘째 1

도형과 도형의 세계

• 삼각형은 존재할까? 삼각형의 넓이는 어떻게 구할까? 삼각형의 세 각의 합은 180도 일까? 180도 이기 위해서는 우리가 꼭 믿어야 하는 어떤 것이 있기 마련: 평행한 직선들은 만나지 않는다는... (평행한 선들은 정말 안 만날까? ), 삼각형과 연관된 원, 다각형, 다각형 삼각형으로 쪼개기.
• 피타고라스 학파의 기장을 작도하고 계산해보기.

열둘째 2

• 삼각형의 주요 점들

열세째 1

• 원의 주요 점들

열세째 2

도형과 도형의 관계로서의 function

• 도형을 셈할 수 있을까?
• 도형을 바탕으로 하는 function
• 예와 그림 그리기

여섯째날

이날의 목표 : 기하, 결론