Arch Eudox

원추 단면 연구의 배경

-5C 그리스에서 중요한 문제 중 하나는 도형의 넓이 비교였다.

• 다각형 = 삼각형의 합
• 삼각형 = a*b 의 반 = 어떤 직사각형
• 다각형 = 직사각형들의 합 = 하나의 어떤 직사각형들의 합

이것을 위해서는 여러 직사각형들을 직사각형 하나로 바꿀 수 있어야 했고, 이를 위해서 한변을 통일시켜 쌓아 올리기(prilozhenie ; parabola) 라는 연산(operation)' 을 해야했다. 여기서도 유독수스는 기여가 컸다. 그가 제시한 방법은 이렇다.

how : quadrature algorithm

• BO를 연장한다. 통일시킬 길이 a 만큼 : AODT는 한변이 a 인 직사각형
• define 새 점 H := GB*TO
• define 새 직선 h := TD+(H,perp(GB))
• define 새 점 E := AO*h

바로 E 가 애타게 찾던 바로 그 점 ($OA\cdot OB=OE\cdot OD$). 그래서 OEDT 들을 쌓아올리기 !

why ?

• 모든 다각형은 미리 정해둔 길이 a 가 한변인 직사각형으로 쌓아올리기 할 수 있다: by 쌓아올리기 연산(parabola operation)
• 그래서 정사각형으로도 가능 (quadrature operation)
• 여기서 $x\cdot x=a\cdot b$ 라 x 를 찾는 이 절차는 기하평균 찾기
• 특히 a, b 가 자연수라면 x 는 언제든 작도(construction) 가능 : 우리는 넓이가 1, 2, 3, 4, .... 인 정사각형을 언제나 construction 할 수 있기 때문. (그림 참조 :

  파일:Arch Eudox3.jpg

  )

a little history

• 고대 이집트 단위 20 dyuim (1 dyuim = 약 1 inch, 2.54cm 정도 ; 20 dyuim= 2 lokot' 팔꿈치 or 하박 = 0.5m 정도) 와 28 dyuim 있었다. 20 dyuim으로 a 번 위 아래로 재서 정사각형 이루어 졌을 때, 28dyuim 으로 a 번씩 재면 넓이는 두 배 정도가 된다. (20:28 = 1:1.4 ; 1.4는 ${\sqrt {2}}$ 정도로 본다.)
• 바빌론
• 고대 인도(-100C)에서는 신전 제단의 형태 유지 하면서 넓이를 2배에서 7개 정도 키워야 하는 문제를 다루었다.
• (2차원) 평면에서 문제가 해결되었다면, (3차원) 공간에서는 어떻게 될까? 간단한 도형으로 평행6면체(parallelepiped) 라면? 더 단순한 것으로 부피 1, 2, 3, ... 인 큐빅을 생각해볼 수 있다. 주어진 어떤 큐빅에 대해서도 그것의 형태를 그대로 유지하면서 부피를 두 배로 하는 문제는 해결 될 수 있을까? 이런 이론적인 요구 말고도, -5C 말에는, 화살이나 돌을 더 멀리 날리기 위한 철제 총을 제작하면서 가죽의 탄성을 비례해서 늘리는 것이 필요하기도 했다. (전쟁이 잦았던 시기다.)

원추 단면 연구

여기에 답을 한 사람이 Khios 의 히포크라트로 그는 '두 개의 기하평균'이라는 개념을 썼다. 현대식 대수 기호를 써서 나타내면

$\forall a,\ b,\ \exists x,\ y\ (a:x=x:y=y:b)$

등식으로 나타내면,

$x^{2}=ay,\ y^{2}=bx,\ xy=ab$

인 세 등식 중 둘을 만족하는 x, y 를 찾으면 된다. 그렇지만, 당시에는 이런 기호법이 없었고, 이런 개념은 너무 추상적이었다. 이것대신 '직관성' 또는 '눈으로 볼 수 있게' 하는 것이 필요했던 것이다. 이 요구를 만족할만한 곡선을 찾게 되는데 그것이 바로 conic section 이었다. 이런 곡선을 찾는 방법은 당시 최소한 두 가지 있었던 것 같다.