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수학 영재 교재의 필요요건에 대하여

전제

비영재 수학 교육은 없어도 영재 수학교육은 있다.

  • 같은 량을 이해하는 속도가 빠른 경우가 있다.
  • 같은 양을 이해하는 데도 이해의 깊이나 직관이 다른 경우가 있다.
  • 수학의 길을 제대로 이해하도록 돕느냐 그렇지 않으냐 하는 것은 수학에 특별한 재능을 가지는 아이들의 삶에 영향을 줄 수 있다. 특별한 재능을 드러내지는 않더라도 수학을 재미있어 하는 아이들에게 흥미를 계속 갖도록 돕는 것도 그와 마찬가지다.

어찌 되었든 ‘영재 수학교육’에서 방점은 ‘수학’에 찍혀야 한다.

  • 수학은 모든 과학의 언어이며 창조적이고 논리적인 사고를 기르는 가장 유효한 훈련 방법이다.
  • 수학은 다양한 문화적 요소와 시대를 나타내는 정신성의 복합물이다.
  • 수학 교육이나 공부는 수학적이어야 한다. 수학이 탄생하고 발전해온 본연의 방식을 따르는 것이 옳다.

영재 수학 교육은 ‘영재성’을 고려하지 않을 수 없다.

  • 알고 싶은 만큼 알 수 있도록 도와야 한다.
  • 새로운 것을 생각하도록 적당한 수준에서 지적인 압박을 주는 것이 옳다.
  • 창의적 결과물을 얻도록 지도한다. 다양한 문제를 단계별로 풀되 일관된 주제로 이끌면서 어려운 문제를 스스로 풀도록 하고 그것으로부터 작은 단계에서 일반화하게 이끈다.

다시 수학 학습의 목표를 생각할 필요가 있다.

  • 논리적이고 체계적인 사고 × 그 이전의 결과를 확장해가는 사고
  • 눈에 보이는 자연 세계에 대해 이해하듯 수학적 대상들에 대한 폭넓은 이해 : 인류의 역사적 발전 경험을 이해하는 것과도 연결되어 있다.
  • 흥미 있고 知的인 아름다움의 체험
  • 위의 요소들은 떼려 해도 뗄 수 없다.

필요조건

충분히 낮게

  • 특정한 주제가 시작되었을 때 할 수 있는 한 누구나 들을 수 있게
  • 상급 학년에서 배울 내용을 미리 하지 않도록 조심
  • 새 개념은 그 전 개념과 연관성을 아래서 선택하여 ‘틀’에 대한 느낌 줄 수 있게
  • 지금 배우고 있는 것의 기본 배경, 기초에 담긴 것이 무엇인지 생각해보게
  • 학년이 낮을수록 다양한 문제를 통해 개념 이해하도록 유도
  • 학년이 높을수록 일반화하는 이론적 접근 후 연습문제를 통해 익히도록 유도

충분히 깊게

  • '사실'의 전달이 아니라 그 안에 담긴 의미를 파악하게 : 다양한 해석을 시도
  • 역사적 철학적 배경을 알 수 있게
  • 정해진 주제에 대해 반드시 거쳐야 하는 정리까지 일관되게
  • 던져진 질문이나 정리나 연습 문제나 증명에 담긴 아름다움에 눈뜨게
  • 서로 다른 수학적 대상을 탐구하면서 밑바닥에 공통으로 깔려 있는 수학적 현상 또는 사유에 대해 느낄 수 있게

충분히 넓게

  • 정해진 주제와 관련되어 있는 수학적 대상들을 폭넓게
  • 증명의 다양한 방법을 알고 증명의 핵심 idea를 강조
  • 각 방법의 핵심적 차이, 더 나은 점과 못한 점을 비교해보게
  • 작은 정리나 기본 정리를 익힐 수 있는 다양한 문제를 만나볼 수 있게
  • 단순 반복 적용의 문제는 적게 새로운 경향의 문제들 많게

충분히 수준이 높일 수 있게

  • 정리에 담긴 제약조건을 지적하고 과연 그것이 얼마나 더 유연해지거나 일반화 될 수 있는지 관심을 가지도록
  • 단원 또는 주제에서 새로운 발견, 적용, 현대적 응용에 대해 알 수 있게
  • 문제의 수준을 단계적으로 높여서 도전해보고 성취감 느낄 수 있게


▷ 놀라고 미소 짓게 하고 입 다물고 뚫어지게 칠판을 보거나 천장을 보거나 고개를 푹 수그리고 노트에 그리거나 옆 사람과 Dialect 가 일어나거나 자꾸 따지고 물어서 당황하게 만들거나 ... ◁

정말 그런가?

  • 1차 질문
    • 필요조건을 충족하는 교재는 있나?
    • 있다면 유일하게 하나인가 ?
    • 정리 : 어떤 누구도 위의 조건을 모두 만족하는 표준적인 하나의 교재는 없다.
    • 증명 : ?
  • 2차 질문 : 그렇다면 우리가 할 수 있는 것은 무엇인가?
    • 전개

♥ 교재 개발을 포기하거나 : 얻는 것은 없다 ♡ 필요조건을 완화하여 그 조건을 만족하는 교재는 있나? 완화한다면 우선적 으로 고려될 것은 무엇인가?

  • 근본적 질문 : 과연 필요조건의 내용 자체는 타당하였나?


마무리

앞에서 좋은 수학 교재가 가져야 하는 필요 요건에 대하여 발제를 해보았지만 미루어 볼 수 있듯 그런 조건을 모두 만족하는 하나의 교재는 불가능하다. 그래서 주제별로 참고할 교재들이 만들어지고 그와 유기적으로 연관되어 있는 문제모음이 많아져야 한다. 그럴수록 폭넓고 깊이 있게 주제에 대해 공부하고 각 주제들 사이의 연관성을 생각하면서 수학공부가 수학적이 될 수 있고 그를 통해 수학 교육의 목표가 달성될 수 있다. 외국의 경우 이런 기초적인 일을 전문 수학자들(대부분 교수)이 한다. 깊이 있게 공부하려는 수학의 재미와 아름다움에 눈을 뜬 학생이나 교사를 위한 교재를 많이 만들어 낸다. 하지만 이것이 처음부터 이렇게 되었던 것은 아니다. 누군가 처음에 그런 문제의식을 가지고 시작을 했고 그것이 사회 분위기나 시대적으로 필요했기 때문에 많은 사람의 호응을 받았다. 그래서 지금은 엄청난 양이 축적되었다. 하지만 우리의 사정은 많이 다르다. 어느 한 사람에 의해 누군가 다른 사람에 의해 표준적인 답을 제시받는 것은 바람직하지 않아 보인다. 일단 그것은 비수학적인 방법이다. 영재교육을 담당하는 실력 있는 교원으로서의 자질을 더 향상하고 이런 문제의식을 함께 나누는 사람들이 모여 서로 부족한 부분을 채우면서 무리하지 않고 한발 한발 앞으로 나아간다면 수학을 재미있어 하는 아이들에게는 물론이고 우리 자신에게도 예상치 않은 큰 즐거움과 보람을 줄 수 있을 것이다. 이를 위해 현재까지 어떤 성과들이 축적되어 있는지 체계적으로 우리의 것을 돌아보고 다른 곳들과 비교하고 부족한 것을 채우는 일부터 시작하면 될 것이다.