Math Experience 1 2

소개

By Gian-Carlo Rota

• 야콥 Burckhardt (스위스 역사학자) "20 C 는 과인 단순화의 시대될 것" 이라고 니체에게 편지
  • 물리학 : 모든 힘들의 상호작용을 통합할 유일한 법칙 연구
  • 생물 : '이중나선' 으로 생명의 신비 밝히려
  • 심리 : 공통 우울증의 근본적 치료 방법들 : 성의 해방, 특효약, 원시적 절규 (선교사 : 내세 찬미를 위한 비용 우위)
  • 수학 : 기하의 대수 환원, 수학의 논리학 환원(Russell, Gentzen)
• 수학적 능력 조차 저마다 다르다 : 논리적 완결성에 민감한 사람, 계산 - 기호조작에 뛰어난 사람, 그림 조작에 뛰어난 사람
• 교양 높은 일반인들이 수학을 쉽도록 하는 것 ~ "전문가를 경멸하는 것이다" (scylla) "대중의 오해다" (Charrybdis) 사이의 불안한 항해. 저자들은 이 해협으로 돛을 올렸다. 그들은 살아남는 데 피할 수 없는 수학적 경험에 대한 논의 시작. 그들의 배의 선미에서 바라보면서 과잉단순화의 소용돌이가 멀리 물러감에 따라 우리는 안도의 한숨을 쉬게 된다.

서장

- 기하학이 지향하는 지식은 영원한 지식이다 - 플라톤 공화국 7권 527

- 때로는 명료하고... 때로는 막연한 것 ... 그것이 수학이다. - 라카토스

• 약 5년 전만해도 나는 전형적인 수학자였다. 이런 종류의 책을 쓰는 것과 같이 위험스럽고 이단적인 행동은 하지 않았다. 내게는 나의 분야인 '편미방'이 있었고 그 안에 머물러 있었으면 기껏해야 그 경계를 넘어 인접 분야를 ...
• 시간 낭비거나 최악의 경우 심리학, 사회학, 철학과 같이 모호하고 의심스러운 투기에 꼴사납게 손을 대는 것일 수도 있다.
• 한쪽 : "수학의 탐구는 결코 치료되기를 희망할 수 없는 중독이다." ( 이 책을 쓰면서) 다른 한쪽을 발견했다. (역사, 문화, 기초)
• 15년 동안 모든 수준에서 서로 다른 많은 주제에 대해 수학을 가르쳤다. 주 업무는 수학을 하는 것이었지 수학에 대해 말하는 것이 아니었다. 통상적인 수학 수업에서는 문제 - 계산 또는 증명 의 틀로 한다. 이것들을 칠판에 쓰면서 주로 하고, 이것이 끝나면 과업은 완수된다. 가끔 곁으로 새긴 하지만 결국 가야할 방향은 분명하다. 수학 기초를 가르치게 되면서 수, 집합, 증명, 수학적 직관, 수학적 확실성이란 무엇인지? 생각하고, 수학에서 무엇을 알 수 있고 어떻게 알아가는지? 라는 질문을 formalize 하면서도 그 답을 모른다는 것, 어떤 입장도 없다는 것에 괴로왔다. 동료들과 말해봐도 비슷했다. 보통 수학자에게는 전형적인 현상인 것 같다. 그 사색, 채록, 논쟁의 결과다.

Ch. 1 수학적 조망

수학이란 무엇인가

• 수학은 기하학이었다. 연역, 공리에서 증명 거쳐 정리로. 그래서 사람들은 논리적 사고력 위해 기하학이 매우 중요하다고 주장해왔다.
• 산술의 연역적 성격에도 주목하기는 했지만 1800년대까지도 수학 교육과 창조에서 비주류. 1950년대 중등교사들이 '새 수학' 에 충격받아 '기하에는 증명이 있는데 산술이나 대수에는 증명이 없다고 항상 생각했었다는 걸 듣게 되었다.
• 연역적 성격이 강조되와서 : C.S.Peirce " 수학은 필연적인 결론을 유도하는 과학이다" 라고 19 C 선언할 정도. 하지만, 어떤 결론? 공간? 값? 정의는 여전히 불분명하다. 가정, 연역, 결론의 양식이라면 범인 잡는 추리도 수학.
• 범죄 수사는 정밀 과학이고 당연히 그래야만 하며, 항상 침착하고 냉정하게 처리해야만 한다. 당신(Warson 박사)은 낭만적인 기분으로 시도했는데, 이것은 마치 유클리드 5 번 공리 속에 사랑이야기니, 사랑의 도피에 관한 이야기를 끼워 넣은 것과 같은 매우 똑같은 효과를 만들어낸다. (The Sign of Four) 홈즈.
• 수학의 정의는 변한다.

수학은 어디에 존재하나

• 점토판, 파피루스, 책, 강의, 메모리, 계산기들, 스톤헨지의 돌 속의 배열에? 해바라기 씨들을 베르누이 나선으로 배열하고 그 정보를 다음 세대로 전달하니, 해바라기 유전자 안에? 램프 갓 위에 포물선이 잡히니, 벽에?
• 수학적 지식은 무엇인고 그렇지 않은 지식은 무엇인가? Alfred Ayer 경은 편지에서 " 철학의 주요한 희망 중 하는 '무엇이 존재하는지 결정하기 위한 기준에 합의하는 것" 이었다. 어디에서 발견되는지에 대한 기준에 대해서도 생각해야지 않을까.

수학 사회

• 개략 연표
  • 이집트 : B.C. 3000 ~ B.C. 1600
  • 바빌론 : B.C. 1700 ~ B.C. 300
  • 그리스 : B.C. 600 ~ B.C. 200
  • 로마 : 150 ~ 525
  • 이슬람 : 750 ~ 1450
  • 서유럽 : 1100 ~ 1600 (이슬람에서 시실리아, 이탈리아 통해 유럽 전역으로)
  • 현대 :1600 부터 현재
• 다른 조류 : 동양, 인도, 잉카-아스텍
• 수학은 오늘날 문명별 고립 넘어 완전히 개방. 르네상스나 바로크 같은 개인적 비밀은 거의 사라져. 거대한 출판 조직, 국내외 학술회의, 학자 학생 교환
• 과거 직업 다양 : 일부만 Mathematicus 란 칭호 받아.
  • T. Bradwardine 1325 :켄터베리 대주교
  • U. Beg : 삼각함수표 : 티무르( 제국 창시자)의 손자
  • Luca Pacioli 1470 : 수도사
  • Ferrari 1548 : 세무 사정인
  • Cardano 1550 : 의학
  • Viete 1580 , Fermat 1635 : 법률
  • Van Ceulen 1610 : 펜싱 교사
  • 케플러, 데카르트, 오일러 : 왕의 신하로서 봉록 받아.
• 16세기까지 취미, 계산가, 부자 위해 별점 쳐주면서 수입
• 오늘날 대학, 기업, 정부 지원. 각종 학회, 수학을 쓰는 다른 분야 학문까지 해서 수학적 내용을 투고하는데 적절한 전문 잡지가 1600개 이상.
• 1977년 미국은 모든 종류의 수학에 3,000만 달러 사용 , 1978년 미국수학회 와 다른 응용수학회 소속 3만.

수학의 도구

• 고대에는 서사시, 종교 처럼 구전 전승 -> 기록물.
• 자와 컴퍼스 : 유클리드 기하학은 자와 컴퍼스의 작도 과학
• 산술은 계산기, 계산판 들 도움. 컴퓨터 발달 : 오늘날 컴퓨터와 수학 사이의 관계 매우 복잡. 다른 학자들에 비해 수학자들은 컴퓨터 무관심 또는 몰라. 많은 사람들이 창조적 수학 연구가 기계화 하는데 자존심 상해하고 있다. 컴터 발달로 수치해석학 연구 강화, 행렬이론을 50년의 침체기에서 벗어나게 하고, 논리학의 중요성과 이상적인 추상구조 이론 중요성 환기. 4 색 문제 해결. 컴퓨터 세대 수학자들 나오면서 구성적이고 알고리듬적 결과에 더 큰 관심. 순수하게 존재적, 논증적 결과에 덜 관심. 계산적 의미를 가지는 것에 관심.

어느 정도의 수학이 현재 알려져 있나

• 수학책 지금은 수십만권 일 것, 폰 노이만은 1940년 대 말에 능숙한 수학자라도 겨우 10% 알 수 있을 것
• 그런데도 수학은 연속적, 바로크 음악 좋아하지 않아도 낭만주의 음악 '알고' 즐길 수 있다. 그러나 ..수학은 누적적 성격 강해. (물론 유행타기도 하고 사라지는 것도 있지만)
• 수학 박사가 되기 위해 학부, 대학원 통해 약 60-80 권쯤.
• 1868년 38개의 소분류 -> 1980년 미국 수학회 분류로 수학은 3000가지 소분류.
• 매년 20만 개 쯤의 새로운 정리 발표. 점점 많아지고 있다. 어떻게 선별하지? 출판할 것들 연구비 지원할 것들 고르고 있다. 판정을 요구하는 공무원에게 설명하면 알아듣지도 못할 터인데.

어느 정도의 수학이 존재할 수 있나

• 매년 끝없이 새로운 정리가 나오고 분화되고 있다.또 많은 분야가 내부 고갈의 조짐을 보이고 있다. elementary 기하, 고전적 복소 함수론 : 초심자를 위한 연습, 다른 분야에 응용은 될 수 있으나 그 안에서 새롭고 놀라운 성과는 안나올 듯.

부록 A : 간략 연표

• BC2200 : 니뿌르(Nippur) 수표
• BC1650 : Rhind 파피루스. 수치적 문제
• BC600 : Thales, 연역 기하의 시작
• BC540 : 피타고라스, 기하, 산술
• BC380 : Platon
• BC340 : Aristotle
• BC300 : 유클리드, 연역 기하의 체계화
• BC225 : Appollonius, 원뿔 곡선
• BC225 : Archimedes, 원과 구, 포물선의 넓이, 무한 급수, 역학, 유체 정역학
• 150 : Ptolemy , 삼각볍, 행성운동
• 250 : Diophatus , 수론
• 300 : Pappus, 집성과 주석, 복비
• 820 : Al-Khawarizmi, 대수학
• 1100 : Omar Khayyam, 삼차 방정식, 달력 문제
• 1150 : Bhaskara, 대수학
• 1202 : Fibonacci, 산술 대수 기하
• 1545 : Tartagalia, Cardano, Ferrari, 고차 대수 방정식
• 1580 : Viete , 방정식론
• 1600 : Harrior , 대수 기호
• 1610 :Kepler, 다면체 행성운동
• 1614 : Napier, 로그
• 1635 : Fermat, 수론, 최대 최소
• 1637 : Decartes, 해석기하 방정식론
• 1650 : Pascal , 원뿔곡선, 확률론
• 1680 : Newton , 미적분, 방정식론, 중력, 행성운동, 무한급수, 유체 정역학 동역학
• 1682 : Leibnitz , 미적분학
• 1700 : Bernoulli, 미적분, 확률론
• 1750 : Euler, 미적분, 복소 변수론, 응용 수학
• 1780 : Lagrange, 미방, 변분법
• 1805 : Laplace, 미방, 행성학, 확률론
• 1820 : Gauss, 수론, 미분기하, 대수, 천문
• 1825 : 비유클리드 기하
• 1854 : Riemann, 적분론, 복소 변수론, 기하
• 1880 : Cantor, 무한 집합론
• 1890 : Weierstrass, 실 해석학, 복소 해석학
• 1895 : Poincare, 위상수학, 미방
• 1899 : Hilbert , 적분방정식, 수학의 기초
• 1907 : Brouwer, 위상 수학, 구성주의
• 1910 : Russell, Whitehead, 수리논리

Ch.2. 수학적 경험의 다양성

현재의 개인적 집단적 의식

• 후설 (The Origin of Geometry) : "모든 형태의 문명 세계는 전통을 통해 존재한다" " 전통은 기원의 망각이다"
• 아르키메데스의 머리속에 들어 있던 수학은 뉴턴의 머리속에 들어 있던 수학과 다르고, 그건 가우스의 것과 다르다. 더 많이 알고 있었다는 '양'의 문제 만이 아니다. 이것은 또한 '차이'의 문제다. 지식의 현상태는 서로 다른 동기와 열망 해석과 잠재력으로 결합된 그물로 되어 있다. 삼각형 안각의 합은 180 이다 를 보자.
  • 아르키메데스 : 유클리드 공리로부터 추론된 결론, 자연현상으로 받아들여.
  • 뉴튼 : 추론과 응용으로 받아들이면서 + 우주에서 옳은 사실과 아주 밀접한 관계 있는 것으로 절대자도 이것을 무시할 수 없을 것으로.
  • 가우스 : 추론 게임을 어떻게 시작하는지에 따라 때로 정당하고 때로 그렇지 않은 것으로.
• 예전의 수학을 이해하기 위해서는 그 당시의 개인적 집단적 의식을 살펴야할 필요. 어려운 과제여.

이상적인 수학자

• 이상적인 수학자의 초상화를 만들어보겠다. 이것은 완벽한 수학자를 뜻하는 것이 아니다.
• 전문 분야의 이름. 예를들어 '비리만 초정사각형'이라 하자. 소수의 동료 외의 모든 사람으로 의심 받고 있다. 동료가 아닌 사람에게 설명하기 어렵다. '정의'를 말해줄 수 있으나, 매우 난해하다.
• 20세기 이전, 또는 몇십년 전에도 그것에 대해서는 알려지지 않았다. '지브롤터 바위의 존재'는 매우 그럴 듯하지만, 엄밀하게 증명되지 않은 반면, 그것의 존재 증명은 그의 주된 업적이 된다. 존재한다가 무엇을 뜻하는지에 대한 질문은 제기하지 않는다.
• 존재한다고 하고 그것의 성질을 파악하고, 헌신적으로 연구한다. 하루 종일 숙고한다. 새로운 사실을 파악하면 그의 인생은 성공한 셈이다.
• 비리만 정사각형에 대해 모르는 대부분의 사람들과 의미있는 대화하기 어렵다. 그것을 이해할 수 있는 사람들이 모이는 학회에 가고 거기서 얻은 인정과 시인, 칭찬은 유일한 의미있는 보상이다. 학회에서 매우 중요한 문제는 '결정-구성-분류 문제'다. 이 이론을 창시한 아무개가 제기하고 부분적인 해만 제시했기 때문에 중요하다. 그 뒤 연구자들도 부분적으로 해를 제시하여 명성을 얻었다.
• 가끔 풀었다고 꿈을 꾸거나 실제에서 확신한다. 하지만 추론에서 결함이 발견되었다. 발견을 약식의 속기로 동료에게 알린다. 논문에서는 매우 형식적으로 전통에 따라 ( 그 분야가 아닌 사람들에게 암호인 듯한 내용으로) 기술한다. 마야의 문헌들 만큼 해독하기 어렵다.
• 연구비를 따기 위해 대외 공보관과 대화할 때 난처하다. 증명이 무엇인지 묻는 철학자와 대화하기 난처하다. 수학적 실재들에 대해 철학자와 대화하기 어렵다. "당신은 수와 곡선을 마치 기독교 선교사가 십자가를 믿듯이 믿고 있습니다. 십자가를 들고 그쪽에서 십자가로 답하면 우호적인 것이라고 믿는 존재라고 하는 것처럼 " 이라고 말하는 회의론자와 대화하기 어렵다.
• 그에게는 객관적 실재지만, 그것의 존재성이나 의미있음을 다른 사람에게 설명하기는 거의 불가능하다.

물리학자가 본 수학

• 공학에서 세계적 권위자인 교수를 만났다. 그의 전문분야는 물리, 화학, 재료학의 교차지점. 계산을 광범위하게 자주 쓰지만 응용 수학자가 아니라고 말한다. 자신을 수학의 소비자라고 답했고, 그가 사용하는 대부분은 19세기 수학이라고 말했다. 현대 수학은 흥미롭지만 자신의 연구에 거의 도움은 안되는 것 같고, 잘 알지 못한다. 알고 싶어도 여유가 별로 없다.
• 그는 과학 철학에 대해서 조금 알고, 수학 철학에 대해서는 전무하다. 그는 이론을 모델이라고 보는 것 같았다. 수학이 모델이라고 했다. 모든 종류의 과학 연구는 일시적인 것이라 수학적 진실 확실성에는 관심 없다. 물리적 이론은 모델이며 현상을 더 잘 묘사할 수 있어야 하고 예언적 가치가 있어야 한다. 자신의 연구에 쓰이는 것에도 수학적 증명에 관심 별로 없다. 증명은 중요하고 결함을 줄여주지만 그렇게 되면 자기의 연구에서 너무 멀어진다.
• 수학을 사용하지 않은 이론 물리학은 불가능하다고 답. 과학기술에 적용해도 마찬가지. 왜 그렇게 수학을 쓸까? 에 '유효성' 인용. 휘트먼이 천문학 강의를 듣고 나서 '천문학자'라는 시에서 쓴 관점도 가능하지만, 양적 과학은 자연을 개조하고 제어하는 데 효과적임이 입증되었다.

뛰어난 학식을 가진 천문학자의 강의를 들었을 때,

내 눈앞에 숫자와 증명이 열을 지어 펼쳐졌을 때,

그가 도표와 도형을 제시하고 더하고 나누고 측정했을 때,

갈채 속에 강연을 진행하는 천문학자의 말에 귀를 기울이고 있었을 때,

아, 나는 얼마나 순식간에 지치고 지루해졌는지...

마침내 나는 자리에서 일어나 조용히 밖으로 나가 혼자 거닐었다.

신비롭고 촉촉한 밤공기 속에서

이따금씩 눈을 들어 별들을 바라보았다.

완전한 고요 속에서.

- 1865, 월트 휘트먼

• 화초가 여섯 겹의 대칭성을 가진 꽃을 피울 때, 꽃은 수학을 하고 있을까요? - No.
• 신은 수학자라는 고대 그리스의 말 : 무슨 말인지 알 수 없다.
• 수학적/ 과학적 직관은 경험의 표현이고 축적된 경험이다. 하지만, 직관에 의해 종종 속는다.

샤파레비치와 신플라톤주의

• 대수기하의 대가, 소련 반체제 인사, 러시아 정교회주의. 독일의 괴팅겐 과학원에서 상을 받고 강연 중 수학과 종교사이의 관계에 대해 견해 밝혀 : 고대 그리스에서도 "수학을 신에 대한 것과 경험할 수 있는 물리 세계사이의 가교" 로 이해했으며, 신플라톤주의자들도 비슷, 피타고라스도 산술, 음악, 기하, 천문학 4 과 중시. 수학을 통해 운동이 영혼의 지각할 수 있는 형태인 천구에 까지 도달한다고 생각.

샤파레비치의 연설 인용

비정통파

• 고전기하 3 대 문제, 페르마 정리, 영구기관, 반중력 방패, 피라미드와 스톤헨지의 신비해석, Philosophers' stone 제작.. 편지를 보내오기도 해. 답을 하면 대개 편집증 증상 심한 경우 많아. 주로 이해가 잘 안간다.
• 수학의 정통파들도 증명 끝났다고 하는 내용이 오류 발견되면서 폐기 되는 경우 드물지 않다. 대체로 비정통파의 이해안가는 편지나 논문은 짧은 시간에 폐기된다. 풀었을 가능성이 매우 적기 때문이다.
• 반대의 예
  • 1913년 라마누잔 이 하디에게 보냈던 편지.
  • Hermann Grassman(1809-1877) : 1844년 쓴 광연론(Die lineale Ausdehnungslehre) 벡터와 텐서 해석학, 결합 대수학으로 발전될 내용들 담고 있었다. 오늘날은 천재의 업적으로 보지만, 당시로소는 설명이 모호하고 신비적이며 추상적이어서 무시되었다.
    • 폴란드의 Wronski 1776 - 1853 : 미방에서 론스키 행렬식만 남았지만, 1803년 계시 경험하고 수학철학 연구. 절대자와 절대자의 통일 법칙 설명 시도. 우주에 이르는 론스키의 열쇠, 산술적 궤변과 수학적 생기론, 역사를 움직이는 세 힘으로 신의 섭리, 운명, 이성 구분... 무한급수, 차분 방정식, 미방, 복소 변수 이론들 ..지루 모호 논쟁적, 자기 중심적,..
• 무엇이 옳고, 과연 수학은 무엇을 받아들이고 무엇을 받아들이지 않는가?

개인과 문화

• 수학은 개인의 천재성, 사회의 승인, 인문적이며 과학기술적 속성을 고루 가진다.
• 개인주의의 첨단으로는 전문 수학자 Alfred Adler 의 '낭만적' 논문 : 예술가적 기쁨, 행복한 몇몇 발견자 ; 왜 "300 년경부터 1100년까지 800여년 수면상태로 빠졌나?"
• 일부 마르크스주의자는 문화적 원리 선호 (버널 과학사) , 시대정신 선호자도, 문화적 힘을 강조하는 사람들도 (프랑스 혁명의 영향, 전쟁과 평화의 마지막 장에서의 회고들) 그러나, "작은 나라 헝가리는 1900년 이해 왜 그리 많은 일류 수학자를 배출했지?" "1940년대까지 수학 연구에 지원 별로다가 그후 왜 갑자기 지원이 확 늘었지?" "초기 기독교인들은 그리스도와 유클리드 양립 불가였다가 1000년 뒤 뉴튼에게서는 모두 포용하게 되었지?' 들에 대해서는 마땅한 답 어려워..
• 미국의 심리학자 철학자 W. James : 사회는 개인의 자극이 없으면 침체한다. 개인의 자극은 사회적 공감이 없으면 소멸한다. " 그렇다면 이런 관점에서 어떻게 수학사를 쓸까?"

수학적 경험 으로