예전엔 생각도 못했던 여러 분야에 수학이 침투 " 왜 이럴까? 무엇이 수학을 작용하게 하는가?"
신은 수학자라는 것이 인기있는 대답, 우주는 수학의 언어로 자신을 표현한다. 중력은 거리의 제곱에 비례해서 감소한다. 빛은 직선으로 진행한다(고 여겨졌다) 이것이 바로, 수학의 존재 이유다. 이는 수학적 플라톤주의로 인간의 외부 어딘가에 존재한다. 이때 수학자는 우주의 노래에 귀를 기울이고 그 선율을 기록하는 것이다.
지금은 '이론'이라는 말대신 어떤 모델이라고 말한다. 진실 자체라기 보다는 편의주의가 자리를 대체하고 있는 셈이다. 현상을 설명할 모델들이 있다면 단순성, 유익성과 같은 기준으로 선택한다. 이 둘 모두 그 이전의 수학적 경험으로부터 유도되었다.
대부분의 과학자들은 어느 한 편에 서지 않고 모두 믿는 경향이 있다.
덧셈
알고리듬적 양상, 조작과 규칙의 관계
법칙 : 교환 결합..
응용 : 언제 더할 수 있나? : 앞의 두개는 쉽지만, 이것이 어렵다. 초등 학교에서 덧셈을 알고 있어도 언제 써야할지 모르는 경우가 많다. 왜냐하면 '수'의 세계가 실제의 '더하기'와 다르곤 한다. (물에 우유를 더한다. 과자 한봉지는 100원 두 봉지 150인 경우 잦다) 예전에 1파운드 고기 1kg 은 빨간 화폐 대용으로, 설탕 1kg 은 파란 화폐 대용 : '방향 마다 다른 정도의' vector 적 가격. 덧셈도 vector 적일 수 밖에.
행성운동의 두 주장
프톨레미의 체계 : 지구 고정. 태양과 다른 행성등 원 운동. 예를들어 화성의 이동 설명 안되는 것 - 기본 원운동에 작은 반지름과 지름 갖는 이심원 운동 추가, 화성 운동 설명. 더 정확히 하려면 더 작은 원과 주기 갖는 원 추가. 개별 행성 설명은 되었지만 행성과 행성 사이의 통일성 없었다. 원이라는 '기성품'으로 표현한다.
뉴튼 체계 : 17-18세기. 어떤 교황 " 신이 뉴튼아 있어라, 하자 모든 것이 밝아졌다." 라고. 질량, 가속도, 운동법칙, 인력 같은 새로운 요소 등장, '움직임'을 설명하며, 통일적이고 보편적 체계. 미방이라는 융통성있는 언어로 표현 . 그런데 미방으로 화성의 태양 공전 운동을 계산하면 약간의 차이. 이유는? 아마 목성 힘 고려 안한 듯, 변수로 추가, 더 맞지만 여전히 오차. 한없이 많은 힘이 작용하고 있는지 모른다. 어떤 힘이 존재하며 어떤 힘을 고려해야만 하는지를 선험적으로 알려주는 체계적인 방법은 없다
수학적 모형
뉴튼의 행성 운동 이론은 최초의 현대적 모델 중 하나. : 물리학적 분석과 수학적 해석의 위대한 승리. 완벽하게 강력한 힘을 부여. 서로 작용하는 힘이 많아지면 미방 방정식 복잡해져.
물리 현상을 설명하고, 다른 실험/관찰에 영향을 주고, 개념의 진전과 이해를 촉진시키고, 물리적 상황의 공리화를 지원하고, 수학과 수학적 모델의 제작기술을 촉진시키는 것이다.
모델을 '참' 또는 '거짓'이라고 하지 않고 유용성으로 판단하는 경향
유용성
수학 용도의 다양성
수학에 대한 수학의 유용성 : 이론 a 에 이론 b 를 응용 함: 이론 a 의 소재와 구조에 대한 직관력 얻기 위해 b 의 통찰력 기법 구조 소재 도움 받아. . (예 : 대수적 ideal 이론이 패르마 정리나 전화교환 이론에 응용된다. ) 시간이 지나면서 유용성의 방향이 거꾸로 되기도 (대수 기본정리 최초 증명 때 토폴로지는 유아단계, 그 뒤 토폴로지적 방법으로 증명)
엄청난 정리와 증명들 속에서 유용한 결과에 대해 관심갖기도. 하지만, 이것은 지나친 듯.
과학 기술에 대한 수학의 유용성 : * 편미방 - 탄성이론 - 이론 공학 - 실용 공학 - 응력 분석 - 자동차 ... 무엇이 무엇에 유용한가 아닌가? "자동차는 무엇에 유용한가?" "통근에 유용하다" 그렇다면 "통근은 유용한가"
사람들이 보통 느끼는 유용성을 공공 유용성이라고 한다면 수학의 어떤 응용이 공공 유용성을 갖는가?
순수 수학과 응용수학 : 정신이 물질보다 우위라고 하는 것의 연장 - 순수 수학의 우위 (예: "나는 '유용한' 어떤 것도 연구한 적이 없다"고 했던 하디 " 나와 나같은 의미의 수학자의 인생의 가치는 다음과 같다. 나는 지식에 무언가를 보탰고 다른 사람들이 더 더할 수 있도록 도왔다. 그리고 이같은 것들은 예술적 창조물들과 다르지 않고 정도의 차이만 있는 가치를 갖는다" - 예술작품으로 남기를 원한다는 말...
최근에는 응용 수학이 유행 : 일자리 수요와 연관.
정신의 우위를 추구하는 경향은 수학사 저술에도 영향
모택동 집권 중 일정 기간 과학은 실용적인 연구만 하도록 한 시기 있었다. (토폴로지 포기해야했다.) 기하학의 출발도 실용이었다. 데카르트도 해석기하만 연구한 것이 아니라, 피스톤과 선반 분석 했다. 뉴튼은 "모든 이론의 기초는 사회적 실천이다"라고 했다. 사람들이 동의하는 아름다움의 이론은 없다. 누구는 이것이 아름답고 누구는 저것이 아름답다. 사회주의 건설은 아름답고 노동자를 돕고 수학이 실용적인 문제를 해결하는 것도.
수학적 경험 으로