Math Humor

수학과 유머

• 영어 원제목 : Mathematics and Humor
• 지은이 : John Allen Paulos (Temple Univ. 수학과 교수)
• 번역 : 박영훈
• 출판 : 경문사,

Ch.1. 수학과 유머

• "유머가 깃들인 예를 들면서 수업을 시작하라" 고 탈무드는 말한다.
• "속독 과정을 배우고 있다니, 지금쯤 이 편지를 다 읽었겠구나." (편지 중간 쯤)
• 웃음에 대한 고대 그리스부터 근대까지의 해석들 나열 : 예) Darwin 또한 웃음의 심리적 기반에 관한 견해를 피력하였는데, 불필요하게 생성된 에너지가 웃음으로 배출된다는 그의 생각이 후세의 여러 이론가들, 특히 프로이트에게 영향을 주었다.
• 이 책의 핵심 : 논리, 형태, 규칙, 구조, 이 모든 것들이, 물론 각각 강조하는 점은 다르지만, 수학과 유머에서 모두 필수적이다. 유머에서는 논리가 되집히고 형태는 왜곡되며, 규칙들은 잘못 이해되고, 구조는 혼동된다. 그러나 마구잡이식으로 이루어지는 거이 아니라 어떤 단계에서는 반드시 의미를 가지며 이루어진다. '제대로 된' 논리와 형태, 규칙 구조를 이해하는 것은 농담을 이해하는데 필수적이다.
• 수학과 유머는 둘 다 경제적이고 명쾌하다 따라서 수학적 증명의 아름다움은 많은 부분 그 우아함과 간명함에 달려 있다.
• 그것의 예 : 피타고라스 정리의 쉬운 증명. 가우스의 1 부터 100까지 덧셈 , 체스판 덮기, 소수의 무한성에 대한 유클리드 증명.
• 체스판 덮기  : 64개 체스판에서 대각선 가장자리 한칸 씩 두쪽을 떼어낸 62개 칸. (체스판은 흰색과 검은 색으로 표시되어 있으니, 같은 색이 떨어져 나갔을 것이다.) 이것을 직사각형 모양(2*1) 두 칸씩 덮을 수 있는 판으로 덮는다고 하자. 가능할까? 직접 해보면? 너무 장황, 2*1판은 항상 검은색 하나 흰색하나를 덮을 수 밖에 없다. 떨어져 나간 부분은 색이 같은 것 두 개. 그래서 불가능.
• 수수께끼, 속임수 담긴 문제, 패러독스, brain tasers 들이 수학과 유머를 연결하는 다리 구실을 하는 것 같다.

Ch.2. 공리, 수준, 반복

• 이런 공리가 있다고 하자.

- (ax1)$\forall a,b\ [R(b,a)\rightarrow \neg R(a,b)]$

- (ax2) $\forall a\exists b\ R(b,a)$

- (ax3) $\forall a\exists b\ R(a,b)$

- (ax4) $\forall a,b,c\ [R(b,a)\And R(c,b)\rightarrow R(c,a)]$

- (ax5) $\forall a,b\exists c\ [R(b,a)\rightarrow R(c,a)\And R(b,c)]$

• 이것에 무엇에 대한 것이건 이 구조만 가지고도 우리는 '정리'를 뽑아낼 수 있다.
• (정리 1) 어떤 a 에 대해 $R(x,a)$ 가 되는 x 는 끝없이 만다.

- 최소한 하나는 있다. (by ax 2) 그것을 b 라 하자.

- 이제 그 b 에 대해 또 다른 게 최소한 하나는 있다. (by ax 2) 그것을 c 라 하자.

- 이 c 는 $R(c,a)$ 다. (by ax 4).

- 반복하면(over and over again), $R(x,a)$ 인 새로운 x 들이 있다.

• (정리 2) $\forall a,b\exists x\ (R(a,b)\rightarrow R(a,x)\And R(x,b))$ . 그래서 그런 c 는 끝없이 많다.

- $R(a,b)$ 면, 그 '중간' c 가 있다. (by ax 5)

- 그 '중간의 중간'도 있다. (bx ax 4,5) 반복하면(over and over again), 끝없이 많다.

• 이 때 우리는 '어떤 관계 $R$ ' 이 무엇인지 말하지 않고도 충분히 '정리들'을 이끌어 낼 수 있다. 이 관계를 어떨 때는 직선에서 점들의 '오른쪽' 이라고 볼 수도 있고, '크다'라고 봐도 된다. 공리가 되는 해석을 하면 되는 것이다. (공리 1)은 b 는 a 의 오른쪽에 있으면 a 는 b 의 오른쪽에 있을 수 없다로, (공리 2) 와 (공리 3) 은 오늘쪽 왼쪽으로 끝이 없다는 것을 말한다. (공리 4) 는 transitiveness 를, (공리 5)는 '조밀성'을 뜻한다. 따라서 그것들이 되도록, 직선에 점들을 찍어가는 것으로 '모델' 삼을 수 있다.
• 공리는 미스테리 사건의 단서로, 모델은 범죄를 구성해보는 여러 가능한 시나리오로 볼 수 있다.
• 공리로 증명된 정리들은 모델에도 적용될 것이다.
• 앞의 공리들이 성립하는 다른 모델도 가능하다. 원소들을 평면의 원들로, $R$ 을 ' 그 안에 포함된' 이라고 해석할 수 있다. 그렇다면 (공리 1)은 한 원 b 가 원 a 에 포함된다면, 그 역은 되지 않는다는 조건을 말하고 있다. 그리고 원들은 계속 그 안에 또 그 밖에 포함하는 원이 있기 마련이고 조밀하다. 물론, 증명된 정리들은 이 모델에서도 참일 것이다.
• $\forall a\exists b\ (R(b,a)\And R(a,b))$ 를 보자. 이때, a 와 b 는 다르다고 가정하다. 이 문장은 첫째 '직선' 모델에서는 거짓이다. 오른쪽에 있지도 않고, 왼쪽에도 있지 않은 b 가 있다는 말이니까. 하지만, '물방울' 모델에서는 참이다. 어떤 원은 a 에도 포함안되고 a 를 포함하지도 않는 원이 있을 수 있기 때문이다.(원을 걸친 경우). 따라서 이 문장은 공리들로 증명할 수 없다. 이런 명제를 '공리 체계 1-5 에 대해 독립적이다' 라고 말한다.
• 이야기나 농담들의 형식적 구조는 다음과 같다.

- 농담꾼 : "공리 1,2,3 은 어떤 모델에서 참이지?" 더러운 옷차림의 늙은이가 어리고 순진한 아가씨를 짓궂게 바라보며 말한다. "딱딱하고 마른 상태로 들어갔다가 부드럽고 젖은 상태가 되어 나오는 것은 뭘까?

- 듣는 사람 : "모델 M 에서. " 아가씨는 얼굴을 붉히며 더듬거린다. 글쎄요, 저... 음...

- 농담꾼 : " 아냐, 모델 M 이야. " 그 말에 그 늙은이는 '껌이지' 라고 짓궂데 대답한다.

• 컴퓨터 맞선에서 요구사ㅏㅇ을 입력한 젊은이의 이야기를 해보자. 그는 ' 수상스키를 즐기고', '정장을 즐겨 입고' , ' 누국가와 함께 하기를 원하는' , '편안한 성격의', '키 작은' 누군가를 원했다. 그러자 컴퓨터는 그에게 펭귄을 연결해 주었다.
• '온통 검고 하얗고 빨간 것은 무엇인가?'라는 수수께끼를 생각해보자. 물론 수수께끼가 한 가지 이상의 어긋나는 해석이 있는 일도 빈번하다. 배릭(1974) 은 위의 수수께끼에 대한 답으로 끔찍스럽게도 긴 목록을 모았는데, 상처나 피 흘리는 간호사, 당황한 얼룩말, 더러운 굴뚝을 타고 내려오는 산타 클로스, 기저기 발진이 있는 스컹크..
• 이와 같이 메타수준으로의 심리적 퇴행(또는 접근)이 필요하다는 지적은 어쩌면 유머를 감상하는 데 통찰력이 필요하다는 것을 의미하는 것이리라. 그것은 또한 독단론자, 관념론자, 편협한 마음의 소유자들이 왜 유머가 없는 것으로 악명이 높은지 설명해준다. (메모 : 사고의 유연 - 다양한 해석 - 상상 - 그와 동시에 규율, 긴장, 집중 )
• 유클리드 평행성 공준, 점과 직선은 무정의 용어이고 두 직선이 공통되는 점이 없다면 평행하다고 정의한다. .. 수세기 동안 이 공리를 증명하려고 모든 수단을 다 써봤지만, 증명하지 못했다. 이 실패가 유클리드 기하학에 어떤 절대성을 부여한 것 같았다. 칸트는 사람들이 공간에 대하여 오직 유클리드식으로만 생각한다고 주장할 정도였다. 19세기 초중반 가우스, 보야이, 로바체프스키 이후 '독립성' .
• 비유클리드 기하학의 푸앙카레 모델. 길이도 무정의 용어. 길이도 '정의'해주면 되니까, 중심에서 멀어질수록 유클리드적으로는 같아 보이지만, 점점 '긴' 것을 뜻하게 정의. 그렇게 되면, 선분 끝없이 확장할 수 있다 는 공리 만족. 원의 모양도 일그러 진 듯 보일 것. (오른쪽 그림들 참고.)

  파일:Poincare Model circle.svg

$1,\ 2=1+1,\ 3=2+1,\ 4=3+1,\cdots$

• 이와 같이 자연수와 그에 대한 반복을, 푸앙카레는 모든 수학의 근본으로 여겼다. 유머에도 반복 자주 쓰인다.
• 덧셈과 곱셈도 반복 계산이라는 관점으로 정의할 수 있다.

파일:Recursion Add Mult.svg

따라서 $5+4=(((((5+0)+1)+1)+1)+1),\quad 5\times 4=(((((5\times 0)+5)+5)+5)+5)$

• 덧셈을 반복 계산으로 곱셈을 반복 덧셈으로 그래서 곱셈은 반복의 반복. (상당히 더 그럴 듯한 , 푸앙카레 진술의 변형인 Church's Thesis 가 있다')
• 이 방식이 갖는 위력을 기하학에서. 한 곡선이 주어진 선과 어디에서 교차하는가 하는 것인데, 연속되는 근접 반복으로 해답을 찾아 가는 것이 뉴튼 법

  파일:Newton Method.svg

  점 A 를 선택해서 거기서 접선 . 그 접선과 직선과 만나는 점 1. 1 에서 값 B . B 에서 접선, 반복 . 점 P 까지 원하는 만큼 가까이 접근할 수 있다.
• function 이란 대응되는 두 원소들 간의 규칙이다 (메모 : 이런 관점에서들 보는 것이 보통이다. 대응 자체냐, 규칙이냐? function 도 무정의 용어)
• 베르그송이 글에 썼듯 반복적, 기계적 행동은 그것들이 인간의 유연성과 정신성이라는 특질에 위배되기 때문에 유머의 본질이 되는 것이다. 챨리 채플린의 걸음걸이.
• 비평가인 Northrop Frye 는 비극적 사건 조차도 반복적으로 행해지면 우스워진다는 견해를 피력했다.

Ch. 3. 자기 모순과 패러독스

• 크레타 사람인 Epimenides 는 " 모든 크레타 섬사람은 다 거짓말쟁이다."
• 이발사 패러독스를 말할 때 그 이발사가 아홉 살이라는 조건은 문제를 어렵게 하기 위해 만든 쓸데없는 속임수에 지나지 않는다.
• 자기 시에 거주하지 않는 시장 모두를 한곳에 살도록 새 도시를 만들었다면 그 도시의 시장은 ?
• 이런 패러독스적인 명제들과 double bind 상황은 밀접한 관계가 있다. "자발적으로 행동하라" , " 장래 계획을 세우시오"라는 글이 가득한 책상, "정신 건강을 유지하라, 그렇지 않으면 죽일 것이다." "긴장을 푸시오" 라는 명제가 그러하다. " Saul Kripke 는 둘 혹은 그 이상의 비패러독스적 문장들이 한데 묶이면 거짓말쟁이 패러독스나 이중구속을 낳을 수 있음을 발견했다. 정신과 의사 R.D.Laing 에서 집합들을 그 유형이나 수준에 따라 분류하였다. 최하위 수준인 제1 유형의 집합에는 원소 하나하나가 존재한다. 그 다음 수준인 제 2 유형의 집합은 제 1 유형의 집합들을 원소로 하는 집합이다. ... 그런 식으로 하면, 어떤 집합이 그 자신의 구성요소가 되는 집합은 배제된다.
• 그 자신을 원소로 갖는 집합 : " 여기 쓴 모든 것의 집합" 은 여기에 써 있다. 일곱 개 이상의 원소로 된 모든 그런 집합들의 집합은 그 자체가 일곱 개 이상의 원소로 된 모든 집합들의 집합은 그 자체가 일곱개 이상의 원소를 포함하고 있다.
• 제 1 수준의 명제애 대한 참1, 제2 수준의 명제에 대한 참2 등에 대한 것이다. 참에 대한 이와 같은 개념은 A.Tarski (1936)에 의해 폭넓게 전개되었다.
• 영화에서 등장 인물이 진행되는 이야기 밖으로 나와서 전개되는 이야기에 관하여 논평을 하기도 하며, 메타 수준에서 상호 영향을 발휘하고는 다시 이야기 속으로 들어가는 장면들을 목격할 수 있다. 고대 그리스에서는 극장에서 코러스는 그 연극에 대한 대상 수준에서 또 한 필수적인 역할을 했던 제도화된 해설자(메타수준의) 였다.
• A. Turing 은 컴퓨터도 인식 세계를 보유하고 있는가에 관한 질문은 너무 막연하여 대답할 수 없는 문제라고 잘라 말했다 그는 그 질문을, 인간 스스로 컴퓨터가 아닌 다른 인간을 다루고 있다고 믿을 만큼 '속일 수 있을' 정도로 컴퓨터를 프로그램화할 수 있는지 여부를 묻는 더욱 구체적인 질문으로 대체할 것을 제안했다.
• 패러독스가 대부분의 유머 상황에 은연 중 깊이 스며들어 있음을 보여주었다.

Ch. 4. 유머, 문법 그리고 철학

• 비트겐쉬타인이 철학의 중대한 문제들은 모두 농담으로 구성될 수 있다고...
• 관계의 반전은 유머 상황을 낳는다. 루이 16세 때, 왕실 후작이 부신 침실에 갔는데 주교의 팔에 아내가 안겨 있는 것을 발견했다. 그는 조용히 창가로 걸아가 길가 사람들에게 축복을 내리는 시늉. "뭐하는 거예요?" " 저분이 나의 역할을 하니 나는 그의 역할을 하는거지" 또 착각을 유발하는 그림들.
• Ask not what your country can do for you. Ask rather what you can do for your country. 는 교차대구의 예다. 이런 예들에 있어 나타나는 기능의 치환과 병렬적인 구조들은 관계의 전환이나 동음이의어와 같은 말장난처럼 그 기능을 다하는데, 즉, 이것들은 거의 동시에 담화의 다양한 전체 모습을 마음 속에 떠올리게 한다. 게다가 그것들의 간결한 재치는 그 즐거움을 한결 더해준다.
• 비트겐쉬타인은, 어떤 사람이 신발을 신고 있고 발이 아프다고 했을 때 그는 신발이 아프다고 말하지 않는다는 사실을 우려했다. (괴로워했다.)

Ch. 5. 농담과 유머에 대한 카타스트로피 이론의 모델

파일:Catastrophe model.svg

Ch. 6. 잡동사니 그리고 종결

• 어린이의 기하학 개념의 발달은 피아제가 발견한 것 중의 한 예이다. 처음에는 위상 기하학의 성질(순서의 사이, 연결성) 을 익히고 그 다음 사영기하학의 성질 (삼각형, 원과 타원의 동일성) 을 배우며 마지막으로 측정의 성질(길이, 각)을 이해하게 된다. 어쩌면 초등학교에서 위상기하를 가르쳐야 할 것 같다. (메모 : 생뚱.. ) 촘스키와 피아제의 이론이 나온 후 중요한 연구들이 행해졌는데, 개념 형성, 장단기 기억, 정보의 내적 구조화, 문제 해결 기법 등에 대한 것이다.
• 과학혁명의 구조 에서 토마스 쿤은 서로 다른 과학 이론(프톨레마이오스 천동설, 코페르니쿠스 지동설, 뉴턴의 중력이론, 아인쉬타인 상대성 이론) 의 발달 방식이 점진적이거나 누적되는 방식이 아니었다는 주장을 펼친다. 이론은 점진적으로 수정 발전해간다. 그라다 점차 이론들이 서로 들어맞지 않게 되고 (프톨레마이오스나 뉴턴의 이론), 관찰된 것들이 변칙적이고 부조화스럽게 되어가고, 많은 설명들이 점점 신뢰할 수 없게 되면 임시 변동이 되어간다. 한동한 시간이 흐르고 나면 새로운 이론이 갑자기 나타난다. 새로운 아이디어가 떠오르고 옛날 용어들은 새로운 의미로 급진적으로 대체된다. 전에는 눈에 띄지 않던 관계들이 중요하게 떠오르는 것이다.

읽고 나서

"수학과 유머 사이에도 공통된 특성이 있다" 는 것을 구구절절 말했다. 다시 읽을 것 같지는 않은.