Math Mail 19 More
- [Math_Mail_19| 수학 편지 19] 에서 더 나아가보자.
여기서 잠깐, 우리가 노는 수의 세계를 조금만 넓혀보자. 우리가 자연수 세계에서만 있다가 가끔 0 을 가져오는 것이 아니라, 우리가 어느 사이 눈을 감고 떴더니 정수의 세계 안에 있다고 해 보는 거야. 그럴 때 앞의 문장은 어떻게 말할 수 있을까? 이것에 대해 생각해보기 전에 조금 생각해야 할 것이 있어. 이때도 나머지는 0 이거나 자연수만 된다고 정해주자는 거야. 대신 a, q, d 는 자유롭게 정수까지 확장했다고 보는 거야. 물론 나누는 수 d 는 0 이어서는 안되겠지. 이런 조건을 만족하는 경우를 찾아보는 거야. 예를 들어 보면 이해가 쉬울 거야.
- 7 을 3 으로 나누고 나머지가 나누는 수 3 보다 작은 경우는 , 으로 몫과 나머지 쌍 (q ,r ) 은 (2 , 1 ) 로 여기서도 딱 하나 밖에 없어.
그런데 7 을 -3 으로 나누면? 어디 볼까?
만약, -7 을 -3 으로 나누면?
이니까, 이때, 나누는 수가 음의 정수면 '나누는 수보다 나머지가 작은 자연수다' 라고 하는 조건은 말도 안되는 것이 되버리잖아. 그렇다고 나머지 r 에 아무런 제약도 없어버리면 그것도 문제는 있지. 7 을 -3으로 나누는 경우를 보자, 만약, 몫 q 이 -1 이면 나머지는 4 가 될거야. 몫 q 가 0 이면, 나머지는 7 일 것이고, q 가 +1 이라면, 나머지는 10 이 되고... 그래서 가능한 (q,r) 의 쌍은 끝도 없이 많아지게 돼. 그래서 이 조건을 '적당히' 부드럽게 해주어야 문제가 흥미로와질 수 있어. 어떻게 할까? 정수 세계에 우리가 있다고 하고 다시 생각해보면서 문제를 조금 다듬어 주어야 하게 되었어. 이렇게 바꾸어 보는 거야. 두 방식으로 해볼께. 어쩔수 없이 나머지 r 에 대한 조건을 조금 바꾸면서 보는 거야.
아래 두 경우 중 어떤 것이 참일까? 또는 둘 다 참일까? 또는 둘 다 거짓일까? ( 아래에서 나누는 수 d 는 항상 0 이 아니 명심하거라. 0 이면 왜 안되는 것이길래?)
- a , d 는 정수다. 그럴 때, 인 몫과 나머지의 쌍 (q, r) 은 하나 밖에 없다. 이때, q ,r 은 모두 정수고 나머지 r 의 절대값은 나누는 수 d 보다 작다.
- a , d 는 정수다. 그럴 때, 인 몫과 나머지의 쌍 (q, r) 은 하나 밖에 없다. 이때, 몫 q 는 정수고 나머지 r 은 0 이거나 자연수며 나누는 수 d 의 절대값 보다 작다.
이 이 식은 앞으로 몇 번 더 쓰게 될거야. a 에 120 이나 110, 그리고 d 가 3 인 경우가 아니라 어떤 수에 대해서도 항상 성립할까? 모두 검사해볼 수는 없잖아. 자연수가 끝없이 많기 때문에. 그 '항상' 이라는 말에는 '끝없이 많은 자연수들 어떤 것을 하더라도' 라는 말이니까, 너무 엄청나지. 그건 문자식으로 밖에는 증명할 도리가 없어. 여기서는 증명하지 않을거야. 하지만, 충분히 이해할 수 있겠지?