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문자로 나타내는 것들은 미리 정한 '어떤 수'를 대신해서 하는 것이기 때문에, 그 수라면 통할만한 성질은 고스란히 그대로 문자에도 적용해서 쓸 수 있단다. 예를 들어

$(2+5)(3+7)=2(3+7)+5(3+7)=2\cdot 3+2\cdot 7+5\cdot 3+5\cdot 7$

$(5+(-1))(7+(-2))=5(7+(-2))+(-1)(7+(-2))=5\cdot 7+5\cdot (-2)+(-1)\cdot 7+(-1)\cdot (-2)$

$({\frac {3}{11}}+{\frac {11}{17}})(51+121)={\frac {3}{11}}(51+121)+{\frac {11}{17}}(51+121)=51\cdot {\frac {3}{11}}+121\cdot {\frac {3}{11}}+51\cdot {\frac {11}{17}}+121\cdot {\frac {11}{17}}$

이것들은 모두 분배 법칙을 적용한 거야. 계산을 잘 끝내기 위해서는 셈하는 수의 순서나 셈의 순서를 바꾸어도 된다는 교환이나 결합의 성질도 쓰긴, 여기서 핵심적인 역할을 하는 성질은 바로 분배법칙 이야. 우리는 자연수들일 때, 그런 성질이 통한다는 것을 보았잖아. 그림으로 보면서' 음.. 그럴만해도 되겠다'라고 여기게 되었던 거야. 다시 써볼께.

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

그런데 두 번째 예를 보자꾸나. '분배 법칙을 쓰면'

$(5+(-1))(7+(-2))=5\cdot 7+5\cdot (-2)+(-1)\cdot 7+(-1)\cdot (-2)$

가 되지? 자연수에서 통했던 교환 법칙의 성질이 정수에 대해서도 통할 것이라고 받아들이기로 했으니,

$5\cdot (-2)=(-2)\cdot 5=-10$

일테니 앞의 셈을 다시 쓰면, $35+(-10)+(-7)+(-1)(-2)$ 가 돼. 문제는$(-1)(-2)$ 지. 이런 무얼까? 양수가 될까? 음수가 될까? 불과 몇 백년 전 만해도, 뛰어난 수학자들 중에서조차,

- " 음, 그건 의미 없는 것이예요. 없는 것보다 작은 수가 어떻게 있을 수 있단 말입니까? 그러니 도대체 그런 셈을 한다는 게 무슨 엉뚱한 짓이란 말입니까?"

- "그래요. 그런 수가 있다고 합시다. 없는 것보다 작은 수라니, 내가 진 빚이라고 생각할 수도 있겠군요. 그렇다면 덧셈은 문제가 없는데, 곱셈이 문제군요. 0 보다 작은 수에 0 보다 작은 수를 곱한다... 아, 제 생각에는 그건 그냥 자연수들만 곱한 것일 수도 있고, 아니면 그것이 아닐 수도 있겠네요. " (도대체 무슨 말이야?)

지금 생각하면 참 소박하고 귀여운 논쟁이라고 생각할 수도 있는데, 당시 분위기로서는 제법 심각했단다. 어쨌든, 우리는 마지막으로 음수 곱하기 음수에 대해 다시 점검해보기로 하자.

만약 음수 곱하기 음수가 음수라고 하자. 그렇다면 위의 셈은

$35+(-10)+(-7)+(-2)$

다. 그래서 결과적으로 +16 이 돼. 그런데 이 셈의 첫단추가 뭐였니? $(5+(-1))(7+(-2))$ 였잖아. 괄호 안부터 셈을 해볼까?

$(5+(-1))(7+(-2))=4\cdot 5=20$

이야. 결국

$20=16$

이라는 말도 안되는 소리가 되버리지? 처음에 $(5+(-1))(7+(-2))$ 의 괄호 안부터 직접 셈할 때는 20 이었는데, 분배법칙을 적용해서 푼 다음 셈을 하면' 16이 나왔어. 이 말은 무슨 뜻이니?

그렇지 !! 역시 똑똑해. 자연수에서 통할 것이라고 자연스럽게 받아들였던 분배법칙이 안된다는 말이잖아. 정수로 수의 세계가 넓어지면서 갑자기 분배법칙을 받아들이지 않겠다는, 분배법칙을 거부한다는 말이야. 이건 자연스럽지 못해. 틀렸다라고 말하기는 조금 어려워. 다만, 자연스럽지 못하다고 말하는게 더 옳을 거야.

우리의 수학은 정수에 대해서도 유리수에 대해서도 분배 법칙이 통하는 그런 수학이야.

누군가,

- "아뇨, 그걸 전 받아들일 수 없어요. 전 분배법칙이 싫단 말예요. 자연수에서는 그림을 보니까 어쩔 수 받아들이겠지만, 음의 정수에서는 받아들이기 힘들어요."

라고 한다면, 그는 '그의 수학을 하게 되겠지? 아마 우주의 다른 별에 어떤 생명체는 정수에서는 분배법칙이 통하지 않는 수학을 하고 있을지도 몰라. 하지만, 그 댓가를 톡톡히 치르고 있을걸? 왜냐하면 분배 법칙이 안통하면 셈하기가 매우 어려울거야. 수가 직접 나오면 모를까, 문자 식에서는 훨씬 더 그렇지. 앞의 $(a+b)(c+d)$ 도 더 이상 뭘 어떻게 해볼 수가 없어. 그대로 두고 봐야지.

이건 지난번에도 말했던 건데 회상하는 뜻에서 다시 해 본 것이란다.

그렇다면 문자로 계산하는데 가장 많이 쓰이는 것들만 골라 볼까? 이것들을 바로 앞에서 했던 것 처럼 분배해주면 어떻게 될까?

어디서부터 왔을까? 그것을 따져보는 건 상당히 복잡한 과정일 것 같다. 작도(construction)라는 것을 들어 보았니? 자와 컴퍼스로만 어떤 도형을 그릴 수 있느냐 하는 거야. 그런데 조심 조심 또 조심해야할 건 바로 '자'라는 건 눈금 표시도 안되었고 할 수도 없다는 제한이 있는 그런 묘한 자야. 게다가 이건 '끝없이 연장할 수도 있어. 상상 속의 자. 컴퍼스도 그래. 각을 재거나 정해진 것만큼 길이를 재서 옮겨갈 수도 없어. 이 기구는 다만 어떤 점에서 어느 정도 떨어진 거리만큼, 다시 말해 정해진 반지름 만큼 원을 그릴 수 있을 뿐이야. 순수한 직선과 순수한 원만 그릴 수 있는 두 도구로 그려보는 것이 바로 작도야. 이건 새로운 주제인데, 이것을 길게 말하면 말이 무척 길어지거든. 재미 있긴 하지만. 이건 조금 뒤에 다시 들여다보기로 하자. 어쨌든, 이것은 알고 넘어가기로 하자.

상상속의 자와 컴퍼스로 어떤 선분 둘을 찾았다면, 그것의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 그리고 근호셈을 할 수 있다.

헉 이건 방정식이네... 이건 좀 뒤로 해야겠군.

"아니 잠깐만요. 지금 거기서 말하는 그 수는 어떤 수인데요?"

라고 말야. 크게 말해줄수록 좋아.