Math Mail memo

유리수의 합과 곱 정의

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}$

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}:={\frac {ac}{bd}}$

유리수들 p, q, r 이 교환, 결합, 분배 법칙이 통한다. $\rightarrow$ 유리수의 합과 곱의 정의는 위와 같이 된다...

일까 ? 유리수의 합과 곱을 위와 같이 정의하면 교환, 결합, 분배 법칙이 모두 통할 것이다. 덧셈과 곱셈으로만 되어 있기 때문에 검사해보는 것은 어렵지 않다. 그러면

• 위의 성질들이 모두 통하게 유리수를 정의해주는 방법은 그것 하나 뿐일까?
• 여러 개라 하더라도, '현실'적인 상황을 설명할 수 있는 것이 위의 상황이다.

그렇다면 현실적인 상황은 ? 유리수가 등장하게 된 것은 시점으로 가보자. (그게 언제일까?)

빵이 7개 있는데 여덟 명에게 나누어 주어야 하는 상황을 생각해보자. 조건이 하나 있다. '모두에게 똑같이' 나누어주어야 한다면?

• (방법 1) 그것을 빵 하나 마다 여덟 개로 쪼갠다. 그것을 하나에 대한 8 조각 으로 ${\frac {1}{8}}$ 한다. 한 사람을 그것을 7개 받을 것이다. 따라서,

$\underbrace {{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}} _{7}$

그래서 덧셈을 여러번 한 것을 곱셈으로 받아들일 수 있으므로

${\frac {1}{8}}\times 7$

• (방법 2) 빵 네 개를 반 씩 잘라, 하나씩 나눠 준다. 그렇게 하면 빵이 셋 남았다. 이제 빵 둘을 4조각 내어 하나씩 나눠 준다. 그러면 하나 남았다. 이제 빵 하나를 8조각 내서 하나씩 나눠 준다. 그러면 한 사람이 받는 빵은,

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}$

이다. 어떤 방법으로 나눠 주든, 7 개의 빵을 8 명에게 똑같이 나눠졌다는 것을 확신할 수 있다. 따라서,

${\frac {1}{8}}\times 7={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}$

둥근 빵 한 조각을 냉장고에 넣어 두었다. 학교를 다녀왔더니, 빵이 한조각 밖에 안 남았다. 바로 아래 동생이 반을 먹고 다시 넣어두었다고 했다. 그리고 그 아래 동생도 냉장고를 열어 빵의 반을 먹고 넣어두었다고 했다. 그렇다면 처음 원래의 빵 비해 얼마나 남은 것일까?

'유리수를 '측정' 개념으로 설명하는 예 보완할 것. '

덧셈을 혹시 이렇게 하면 어떨까?

${\frac {1}{4}}+{\frac {7}{8}}={\frac {1+7}{4+8}}$

이 방법의 장점은 무척 편하다는 사실이다. 그러면 정말 안되는 것일까?

• 이 값은 두 값의 중간 쯤 되는 것으로 '더한다'는 현실적인 뜻과 다르다.
• 현실적인 문제도 해결하지 못한다.
• 교환, 결합, 분배가 성립하지 않는다.