Quadric Dioph Lagrange Other

보조 정리 1 증명

$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2})=.$

$=(ae\ +\ bf+cg+dh)^{2}+.$

$+\ (-af+be-ch+dg)^{2}+.$

$+\ (ag\ +\ ce-df+bh)^{2}+.$

$+\ (-ae+de-bg+cf)^{2}$

보조 정리 2 증명

보조정리 2 : 어떤 정수 a, b ,c 에 대해, 그리고, 2보다 큰 소수 p 에 대해 다음이 성립하는, p 보다 작은 m 을 찾을 수 있다. (왜 그런가?)

$mp=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

증명을 위해서

• p의 배수인 어떤 수를 세 제곱항의 합으로 표현할 있어야 하고
• 그 때 배수인 m 이 p 보다 반드시 작게 할 수 있다는 것을 보여야 한다.

세 제곱항을 만들 수 있는 수들을의 합이 p 의 배수이고 동시에 m 을 p보다 작게 할 수 있는 "충분히 작은 배수" 를 만들 수 있도록 하는 "세 제곱" 꼴이 있는가(또는 만들 수 있는가)가 관건이다.

이런 예로 다음 두 집합을 보자. 두 개의 그룹으로 나누어 생각했다.

$A:=\{0,\ 1,\ 4,\ 9,\ \dots ,\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}\}$

$B:=\{-1-0,\ -1-1,\ -1-4,\ -1-9,\ \dots ,\ -1-\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}\}$

위와 같이 만든 집합 A 의 원소들은 모두 제곱꼴$x_{i}^{2}$ 이고 B의 원소들은 제곱꼴의 합($1^{2}+x_{j}^{2}$ )에 음수꼴이다. 이 두 집합에서 하나씩 뽑아 보면 이 중에는 반드시 p 로 나눈 나머지가 같은 쌍이 나올 수 밖에 없다는 것을 먼저 보이자.

사실 그렇다. 왜냐하면 어떤 p 에 대해 집합 A 의 원소의 개수와 집합 B의 원소의 개수는 같고 이 둘의 합으로 만들 수 있는 수의 개수는 p+1 이다. 따라서 그 중 어떤 쌍에는 반드시 p 로 나눈 나머지가 같은 수가 나올 수 밖에 없다. 다시 말해 집합 A에서 적당한 $\alpha$ 를 , 집합 B에서 적당한 $\beta$ 를 뽑으면

$\alpha \equiv \beta {\pmod {p}}$

다. 이런 \alpha, \beta 는 반드시 있을 수 밖에 없다.

그런데 이 $\alpha ,\beta$ 가 어떤 꼴의 수들 이었던가? 다름아닌 제곱항과 두 제곱항의 합의 음수꼴 이었다.

$x_{i}^{2}\equiv -(1^{2}+x_{j}^{2}){\pmod {p}}$

따라서

$x_{i}^{2}+1^{2}+x_{j}^{2}\equiv 0{\pmod {p}}$

이고

$x_{i}^{2}+1^{2}+x_{j}^{2}=mp$

인 m 이 존재함을 뜻한다.

이제 m 이 p 보다 작다는 것만 보이면 끝난다. 우리가 만든 집합의 원소들의 성격 때문에, 다음은 명백하다.

$x_{i}<{\frac {p}{2}}$

따라서

$mp=x_{i}^{2}+1^{2}+x_{j}^{2}<{\frac {p^{2}}{4}}+1+{\frac {p^{2}}{4}}<p^{2}$

이며 따라서

$m\ <\ p$

다. 증명 끝.

증명은 끝났는가? 위의 증명은 과연 완전한가?

본 증명의 나머지 부분 증명

우리는 p - X 가 0 이 아닐 수 없다는 것을 보일 것이다.

$mpm(p-X)=p(p-X)m^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2})$

이고 보조정리 1에 따라 이 결과는

$e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}$

꼴로 바뀐다. 그래서

$p(p-X)=\left({\frac {e}{m}}\right)^{2}+\left({\frac {f}{m}}\right)^{2}+\left({\frac {g}{m}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{m}}\right)^{2}$

다. 그런데, 우리가 처음 나머지를 정할 때 $|\ r_{i}\ |<{\frac {m}{2}}$ 이 되도록 했으므로

$m(p-X)=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}<m^{2}$

이고 따라서

$(p-X)\ <\ m$

그렇다면 이는 m 보다 작으면서 p-X와 곱해서 네 제곱수의 합으로 표현되는 수가 있다는 말이다. 이는 m 을 그런 성질을 갖는 최소라고 한 가정에 모순된다. 따라서 p-X 가 0 이 아니면 말도 안되는 말이된다. 증명 끝. 증명은 끝났는가? 위의 증명은 과연 완전한가?

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