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보조 정리 1 증명

보조 정리 2 증명

보조정리 2 : 어떤 정수 a, b ,c 에 대해, 그리고, 2보다 큰 소수 p 에 대해 다음이 성립하는, p 보다 작은 m 을 찾을 수 있다. (왜 그런가?)

증명을 위해서

  • p의 배수인 어떤 수를 세 제곱항의 합으로 표현할 있어야 하고
  • 그 때 배수인 m 이 p 보다 반드시 작게 할 수 있다는 것을 보여야 한다.

세 제곱항을 만들 수 있는 수들을의 합이 p 의 배수이고 동시에 m 을 p보다 작게 할 수 있는 "충분히 작은 배수" 를 만들 수 있도록 하는 "세 제곱" 꼴이 있는가(또는 만들 수 있는가)가 관건이다.

이런 예로 다음 두 집합을 보자. 두 개의 그룹으로 나누어 생각했다.

위와 같이 만든 집합 A 의 원소들은 모두 제곱꼴 이고 B의 원소들은 제곱꼴의 합( )에 음수꼴이다. 이 두 집합에서 하나씩 뽑아 보면 이 중에는 반드시 p 로 나눈 나머지가 같은 쌍이 나올 수 밖에 없다는 것을 먼저 보이자.

사실 그렇다. 왜냐하면 어떤 p 에 대해 집합 A 의 원소의 개수와 집합 B의 원소의 개수는 같고 이 둘의 합으로 만들 수 있는 수의 개수는 p+1 이다. 따라서 그 중 어떤 쌍에는 반드시 p 로 나눈 나머지가 같은 수가 나올 수 밖에 없다. 다시 말해 집합 A에서 적당한 를 , 집합 B에서 적당한 를 뽑으면

다. 이런 \alpha, \beta 는 반드시 있을 수 밖에 없다.

그런데 이 가 어떤 꼴의 수들 이었던가? 다름아닌 제곱항과 두 제곱항의 합의 음수꼴 이었다.

따라서

이고

인 m 이 존재함을 뜻한다.

이제 m 이 p 보다 작다는 것만 보이면 끝난다. 우리가 만든 집합의 원소들의 성격 때문에, 다음은 명백하다.

따라서

이며 따라서

다. 증명 끝.

증명은 끝났는가? 위의 증명은 과연 완전한가?


본 증명의 나머지 부분 증명

우리는 p - X 가 0 이 아닐 수 없다는 것을 보일 것이다.

이고 보조정리 1에 따라 이 결과는

꼴로 바뀐다. 그래서

다. 그런데, 우리가 처음 나머지를 정할 때 이 되도록 했으므로

이고 따라서

그렇다면 이는 m 보다 작으면서 p-X와 곱해서 네 제곱수의 합으로 표현되는 수가 있다는 말이다. 이는 m 을 그런 성질을 갖는 최소라고 한 가정에 모순된다. 따라서 p-X 가 0 이 아니면 말도 안되는 말이된다. 증명 끝. 증명은 끝났는가? 위의 증명은 과연 완전한가?



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