원 안에 꺽인 선분이 원의 넓이를 이등분한다. 이 선분은 어떤 선분이라도 지름을 지나는 선분보다 길이가 길다는 것을 보여라.
삼각형 ABC 가 있다. 변 AC 와 변 BC 의 밖에 ACMN, BCPQ 라는 두 정사각형을 세운다. 이 때 삼각형 MCP 의 중선 CK 는 변 AB 에 수직이라는 것을 보여라. 또 그 길이는 선분 AB 의 길이의 반이라는 것을 보여라.
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원의 넓이를 반으로 나눈다는 꺽인 선부터 보자. 그 꺽인 선의 끝인 원의 점을 A , B 라 하겠다. 그리고 원의 또 다른 두 점 A' , B' 를 생각하겠는데 이것은 꺽인 선 AB 를 원의 중심에 대칭이동한 꺽인 선의 두 끝 점이다. 이 두 '꺽인 선'은 반드시 두 점에서 만날 수 밖에 없다. 꺽인 선 AB 에서 A 에서 점 B로 간다고 할 때, 첫번째 만나는 점을 M 이라 하고 그 점과 중심에 대칭인 점을 M' 라 하자. 이제 AM 과 M'B 중 짧은 쪽을 AM 이라 하자. (M'B 이라 해도 전체 풀이의 틀은 깨지지 않는다.) 그렇다면 AM, M'A' 선분들과 꺽인 선 MM' 들이 이루는 꺽인 선 AMM'A' 는 처음의 꺽인 선 AB 보다 짧을 수 밖에 없다. 그러나 지름이 되는 AA' 보다는 길 수밖에 없다.
