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증명을 단계별로 적어놓았습니다. 한꺼번에 다 읽으려하지 말고 한 단계별 본 다음 그 다음 단계로 넘어가기 전에 멈추고 자기 나름대로 다음 단계를 생각하다가 막히면 다음 단계를 보면서 넘어가보기 바랍니다.

단계1

2, 3, 4, 5, 6, … 을 하나 둘 씩 보면 우리가 검토해본 수들에 대해서는 소수들만의 곱으로 나타내는 방법은 하나밖에 없다는 것을 쉽게 알 수 있다. 그런데 만약, 순서를 고려하지 않고, 소수들만의 곱으로 나타내는 방법이 둘 이상인 자연수들이 있다고 해보자. 그렇다면 그런 자연수 들 중 가장 작은 수, 곧 검토해보다가 처음으로 소수들만의 곱으로 나타내는 방법이 둘 이상인 수가 나타날 것이다. 그 수를 n 이라고 해보자.

단계2

n에 대해 두 개의 소수 모임 ${p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}}$ 과 ${q_{1},q_{2},\cdots ,q_{k}}$ 가 있어서

n=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}=q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}

이다. 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하고 이 소수들의 개수는 유한개 이므로 이것들을 작은 것부터 차례대로 다시 배열했다고 하고 두 모임에서 가장 작은 것을 $p_{1}$ 와 $q_{1}$ 라고 하자.

단계3

$p_{1}$ 와 $q_{1}$ 는 같을 수 없다. 만약에 같다면, 곧 $p_{1}=q_{1}$ 이 참이라면 왼쪽과 오른 쪽 항에서 이 수를 모두 나누었을 때 새로운 n'를 얻게 되고

n'=p_{2}\cdots p_{r}=q_{2}\cdots q_{k}

이 되어 서로 다른 소수로 표현된 수가 n 보다 작은 수가 있다는 뜻이다. 이것은 우리가 n에 대해 가정한 것과 충돌한다. 따라서 둘 중 하나는 더 클 것이다. 여기서는 $q_{1}$ 이 크다고 하자.

단계4

새로운 수 m을 하나 만들어보자.

m:=p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}

그리고 n에서 m을 빼서 같은 항을 묶어 소수들의 곱으로 나타낸 다음 다시 보면

n-m=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}-p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}=p1\cdot (p_{2}\cdots p_{r}-q_{2}\cdots q_{k})

이고 동시에

n-m=q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}-p_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{k}=(q_{1}-p_{1})\cdot q_{2}\cdots q_{k}

이다. 새로운 수 n-m을 c 라고 해보면, c < n 이기 때문에, c는 양수이고 유일한 방법으로 소수의 곱으로 표현할 수 있다.

단계5

유일한 방법으로 나누어지므로, 앞의 n-m에 따라, $p_{1}$ 은 c를 나눈다. 곧 $p_{1}$ 은 n-m의 두번째 수식 어딘가에 들어있을 것이다. 하지만 $q_{1}$ 은 $q_{2}$ 보다 작고 $q_{3}$ 보다 작고... 모든 $q_{k}$ 보다 작다. 따라서 $p_{1}$ 은 $q_{1}-p_{1}$ 의 약수일 수밖에 없다. 다시 말하면 어떤 자연수 t 가 있어서

q_{1}-p_{1}=p_{1}\cdot t

따라서

q_{1}=p_{1}\cdot (t+1)

이다. 이는 $q_{1}$ 이 1과 그 자신 외에도 $p_{1}$ 과 $t+1$ 로도 나누어진다는 것을 뜻한다.

단계6

그러므로 우리가 가정을 세우고 각 단계에서 논리적으로 아무 모순이 없이 우리의 사고를 전개해 왔는데 모순에 맞닥뜨리게 된 것이다. 다시 말해 우리의 가정이 잘못된 것이다. 그런 n은 존재하지 않는다. 증명 끝.

증명이 끝났다. 이 증명은 언뜻 보면 특별한 새로운 개념을 필요로 하지 않고 증명한 것처럼 보인다. 여러분들은 위의 증명이 만족스러운가? 다시말하면 위의 증명을 보고 어떤 의구심이 들지 않고 명쾌하게 이해가 되는가? 다른 증명들을 보도록 한다. 그 다음 우리는 다시 돌아와 각 증명에 대해 이야기해 볼 것이다. 여러분들은 다음 증명으로 넘어가기 전에 여기서 멈추어서 위의 증명을 하기 위해 어떤 수학적 도구나 개념이 쓰이고 있는지, 어떤 논리적 흐름으로 증명을 하였는지 숨을 찬찬히 쉬면서 들여다보고 곰곰이 생각하기 바란다.