Natual Number Intro

자연수 세계 - 서론과 이야기거리 로 돌아가기

자연수 세계

'수’(number)가 무엇일까? 1, 2, 3, ... 들, ${\frac {1}{2}},{\frac {3}{43}},{\sqrt {2}},\pi$ 들이 수의 예다. 그 각각의 것은 엄격하게 정의가 될 수 있지만 ‘수 전체’에 대하여 정의를 내릴 수는 없다. 마치 기하학에서 점, 선 같은 개념이, 집합에서 원소나 집합의 개념이 그런 것과 마찬가지다. 우리는 그것에 대한 직관적 개념을 가지거나 어떤 성질을 갖도록 하는, 곧 어떤 공리들을 만족하는 대상들을 수, 점, 집합 같은 개념으로 받아들인다.

우리는 ‘수’에 대한 이야기를 이런 '직관적 이해'와 '받아들임'으로 첫발을 대디딜 것이다. 구체적인 수의 모임인 자연수에서부터 이야기를 풀어가려고 한다. 자연수란 무엇인가? 자연수에 대해서도 여러 방법으로 이해할 수 있다. ‘자연수란 주어진 것이다.’라고 하는 입장을 가질 수 있다. 그것이 사과 하나 이건, 붉은 장미 하나, 주사위 하나이건, 점 한 개 이건, 유일하게 존재하는 것에 대해 ‘하나’라고 받아들인다. 그 대상들마다 가지고 있는 독특한 성질은 고려하지 않고 '하나'라는 지극히 추상적인 성질로 우리는 '하나'를 수로 받아들인다. 그리고 거기에 '하나'가 더해진 경우 이를 '둘', 거기서 또 하나가 더해지면 그 '수'를 '셋' .... 이런 과정을 거쳐 얻게 되는 수를 자연수라고 하자. 예를들어 12499848482848592940019298884000 이라는 큰(?) '수'가 있다고 해도 우리는 그것이 자연수라는 것을 이제는 받아들일 수 있다.

자연수 세계는 기초 대상인 자연수와 주어진 자연수들로 새 자연수를 만들어내는 연산, 어떤 자연수들의 어떤 관계에 있는지 말해주는 논리적관계로 구성되어 있다. 산술 이란 자연수 또는 양의 정수들과 그 연산(operation), 관계(relation)에 대해 탐구하는 아주 오래된 수학의 분야다. 우리는 앞에서 말했듯 자연수와 덧셈과 곱셈은 주어진 것으로 우리가 보통 직관적으로 이해하는 바, 그를 따르기로 한다. 또 같음을 나타내는 의미와 그것을 나나태는 기호 ' = ' 도 주어진 것으로 하자. 모든 자연수를 모아놓은 것을 $\mathbb {N}$라 한다면, 그 안에는, 10진법 아라비아숫자로 표시한다면, 1, 2, 3, 4, 5, ...들이 있을 것이다. 이를 기호로 나타내면

$\mathbb {N} :=\{1,2,3,4,5,\cdots \}$

덧셈과 곱셈 연산, 같음 관계에 대한 기초성질

덧셈과 곱셈, 같음 관계가 도대체 어떤 성질을 가질까?

논리적 관계 '같다' (=) 의 기초성질

우리 앞에 사과가 세 개 있다고 해보자. 그렇다면 가장 기본적으로 어떤 것이 큰지, 색깔은 다른지, 어떤 것이 더 맛있는지와 같은 아주 기초적인 흥미가 생길 수 있다. 자연수가 주어졌을 때도 마찬가지다. 그 가장 기초적인 것으로 ‘비교’라는 수학적 행위가 있다. 더 구체적으로 말하면 ‘같은지 다른지’ 논리적인 비교를 해볼 수 있다. 어떤 자연수 a와 b가 ‘같다’는 수학적 개념을 이끌어 받아들이는 것이다. 그리고 그 개념에 대응하는 기호로 우리가 쓰는 것은 ‘=’ 이다. 우리가 보통 “ 하나와 하나는 같다.” 라고 하는 것을 기호로

$1=1$

또 “어떤 자연수 a와 어떤 자연수 b가 같다.” 라고 할 때 그것을 기호로 나타내면 ‘$a=b$’다. 쓰기에 아주 간편해진 것이다. 그렇다면 우리는 다음을 쉽게 이해할 수 있다.

• $a\ =\ a$
• $a\ =\ b\ \Rightarrow b\ =\ a$
• $a\ =\ b,\ b\ =\ c\ \Rightarrow a\ =\ c$

우리는 이제 자연수 $\mathbb {N}$과 위의 기본 성질을 갖는 같음 관계 '=' 가 있는 이런 세계를 만나게 되었다.

$<\mathbb {N} ,=>$

덧셈과 곱셈 연산의 기초성질

아직까지 우리가 만난 세계$<\mathbb {N} ,=>$는 대단히 고요하다. 정적만 흐른다. 여기에 활기를 불어넣는 개념이 등장한다. 바로 '연산'이다. 어떤 자연수와 다른 자연수를 '연산'하면 다른 자연수를 생성한다 ! 그 중 가장 기초적인 연산은 덧셈과 곱셈이다. 우리는 앞에서 말했던 것처럼 이에 대하여 따로 말하지 않고 우리에게 익숙한 그대로의 덧셈 곱셈으로 받아들이고 그 기초적인 성질을 알아보자.

조삼모사(朝三暮四)라는 옛날 이야기를 들어본 적이 있는지? 중국 송나라의 저공(狙公)이라는 사람이 원숭이들에게 먹이를 아침에 세 개, 저녁에 네 개씩 주겠다고 하였다. 그랬더니 원숭이들이 적다고 화를 냈다. 그래서 이 사람이 이번에는 아침에 네 개, 저녁에 세 개씩 주겠다는 말을 하자 원숭이가 좋아하였다고 한 데서 유래하였다. 간사한 꾀로 남을 속여 희롱함을 빗대어 말할 때 인용하곤 흔히 나오는 이야기다. 여러분은 어떤가? 어렸을 때 산수를 배운 사람이라면 누구나

3 + 4

4 + 3

이 두 수는 7라는 것을 알고 따라서

3 + 4 = 4 + 3

라고 받아들일 것이다. 이는 여러분이 3라는 수를 생각할 때 복숭아 세 개, 4라는 수를 생각할 때 복숭아 네 개를 생각해보면 물어보는게 무아해질 지경이다. 왜냐하면 세 개를 세고 나서 다음 넷을 세어보나 넷을 세고 다음 셋을 세나, 조삼모사의 원숭이가 아니고서야 답은 모두 7로 뻔하기 때문이다. 복숭아 대신 점을 생각해도 된다.

$\bullet \bullet \bullet \oplus \bullet \bullet \bullet \bullet =\bullet \bullet \bullet \bullet \oplus \bullet \bullet \bullet$

곱셈에서도 마찬가지다.

3 * 4 = 4 * 3

이것을 이해하기 위해 실생활의 예(모델)를 생각해볼 수 있다 : 구슬이 든 주머니, 직사각형 안에든 점의 갯수.

그렇다면 다음의 두 예에서 등장하는 수학적 문장은 참이라고 말할 수 있을까?

34567 + 76543 = 76543 + 34567

34567 * 76543 = 76543 * 34567

위에서 했듯이 '복숭아 모델'이나 '직사각형 안의 점 모델'을 하면 이를 확인해보기는 벌써 쉽지 않다.

따라서 우리는 덧셈과 곱셈의 항을 바꾸어 계산해도 값이 같다는 것을 증명한다기보다 그것을 '법칙'(laws)으로 받아들이는 것이 옳다.

이를 일상에서 쓰는 말로 풀어서 쓰면 말이 길어지니, 간단하게 어떤 자연수든 좋으니 그것을 a와 b라고 하고,

$a+b=b+a$

$a*b=b*a$

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a*b)*c=a*(b*c)$

$a*(b+c)=a*b+b*c$

앞의 둘을 자연수에서 덧셈(곱셈)에 대한 교환 법칙이라고 부르고 다음 둘을 결합 법칙, 그리고 마지막을 분배 법칙이라고 부른다. 그리고 (a+b)+c 라는 것은 먼저 괄호 안의 셈을 하고 그 결과와 나머지를 연산한다는 뜻이다. 그리고 만약 (a+(b+c))+d 와 같은 꼴의 연산은 가장 ‘깊이 들어있는’ b+c를 셈하고 다음 그 결과와 a를 셈하고 마지막으로 그 결과값과 d를 덧셈한다는 뜻이다. 이제 우리가 만난 세계는 더 풍요롭다. 자연수 세계란

$<\mathbb {N} ,=,+,*>$

로 나타내 볼 수 있다.

연산의 교환과 결합 법칙에 대해

자연수 공간에서는 기초 연산인 덧셈과 곱셈이 아주 안정적이라는 것을 앞에서 보았다. 기초 연산으로부터 새로운 연산을 정의할 수도 있는데, 그 중 계산이 복잡한 연산이 뺄셈과 나눗셈을 정의해주는 것은 아래로 미루고 여기서는 덧셈과 곱셈 연산으로 새 연산 하나를 예로들어 정의해보자.

어떤 자연수 a, b 에 대하여 덧셈과 곱셈을 이용하여 정의해볼 수 있다.

$a\circ b:=(a+b)*a$

라고 해보자. 곧 $a\circ b$ 셈은 처음에 들어온 수에 뒤에 들어온 수 b를 더한 다음 그 결과에 다시 a 만큼 곱하는 셈이다. 이 새로운 연산에 대해 교환법칙, 결합법칙이 성립할까? 교환 법칙이 성립하지 않다는 것은 분명하다. 그렇다면 결합법칙은?

$a\ \circ \ (b\ \circ \ c)\ =\ a\ \circ \ (b\cdot b+b\cdot c)\ =\ a\cdot a+a\cdot b\cdot b+a\cdot b\cdot c$

$(a\ \circ \ b)\ \circ \ c\ =\ (a\cdot a+a\cdot b)\circ \ c\ =\ (a\cdot a+a\cdot b+c)\cdot (a\cdot a+a\cdot b)$

덧셈과 곱셈을 합성해서 만든 새로운 연산은 가장 기초적인 성질이라고 볼 수 있는 교환법칙도 결합법칙도 성립하지 않는다. 따라서 우리가 이 연산을 하는 것은 덧셈과 곱셈보다 상당히 복잡한 일이고 조심스러워야 한다는 것을 암시해부고 있다.

그런데 왜 결합법칙이니 교환법칙이니 하는 것을 살펴보는 걸까? 결합법칙이 성립하지 않는다면 해보자. 다음의 예를 보자.

$7+27+31+99+121$

이 연산이 어떤 결과를 낼 것인지 간단한 것처럼 보일 것이다. 하지만 이것은 아직 연산할 수 없다. 왜냐하면 이어서 여럿의 수를 연산하는 것에 대해서 우리는 아직 정의하지 않았고 덧셈은 두 수에 대하여 셈을 하는 것이므로 예에서처럼 한꺼번에 여럿을 쓸 수 없다. 따라서 괄호를 이용하여, 예를들면, 다음과 같은 순서로 연산을 하다고 하자.

$((7+(27+31))+99))+121$

이와 같은 식에서 결합법칙이 성립한다는 것을 우리는 알기 때문에 괄호가 어디에 있건 상관없이 우리는 앞에서 둘 씩 덧셈을 해가면 된다. 그래서 덧셈만으로 이루어진 셈은 괄호 없이 썼을 때 ‘처음부터 둘 씩 더해간다.’라고 받아들이면 되는 것이다.

뺄셈은 아래 정의하겠지만, 우리가 보통 알고 있는 그대로 받아들여, 다른 예를 보자.

$((7+(27-31))+99))+121$

이와 같은 셈을 우리는 할 수 없다. 27-31 셈을 하고 나서 우리는 자연수에서 어떤 수도 찾을 수 없으므로 셈의 결과가 없다. 셈의 결과가 없으므로 그 다음 연산을 해나갈 수 없는 것이다. 만약, 위의 식이 뺄셈에 대하여도 결합법칙이 성립했다면

$(((7+27)-31)+99)+121=223$

로 표현할 수 있고 우리는 그 연산의 결과를 찾을 수 있었을 것이다.

또 위의 예

$((2+5)+((27+31)+99))+121$

의 연산을 컴퓨터가 한다고 해보자. 컴퓨터는 정해진 프로그램에 따라 셈의 순서가 이미 정해졌을 것이고 프로그래머는 자연스럽게 가장 ‘깊은’ 괄호를 찾아서 메모리에 저장하고 그것과 ‘다음 깊은’ 연산의 결과 값을 찾아 셈하는 과정을 해나갈 수 있는 프로그램을 짜야한다. 수학적으로 교환법칙이 성립하는 연산에 대해서는 훨씬 여러 가지 점에서 문제가 간단하다는 것이 분명하다. 따라서 어떤 연산이 주어졌을 때 결합법칙이 성립하는가 하지 않는가는 기초적으로 중요한 문제이다.

또 가우스의 천재성을 이야기할 때 흔히 등장하는 예를들어보아도 우리는 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 연산이 얼마나 계산을 편하게 해주는지 알 수 있다.

$1+2+3+\cdots +98+99+100$

의 연산을 하는 문제를 풀 때 어린 가우는 다음과 같이 '교환 법칙'과 '결합 법칙'을 적용한 결과로 계산량을 엄청나게 줄여서 셈을 하였던 것이다.

$(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots$

관계와 연산, 그리고 자연수의 확장

앞에서 썼듯 우리가 놀고 있는, 또는 탐구하고 있는 세상은

$<\mathbb {N} ,=,+,*>$

이다. 여기에 앞으로 기호를 편하게 쓰기 위해서 우리의 세계를 조금더 넓혀보자.

'크다' 관계의 도입

그 첫번째가 관계. 우리에게는 같음의 관계만을 지금까지 보았다. 그런데 우리의 자연수 세계에서 '2 = 3' 은 참이라고 말할 수 없다. 즉 같지 않음에 대한 관계를 자연스럽게 생각해볼 수 있다. 그 중에서도 어떤 자연수 a 에 어떤 자연수 c를 더해서 b 가 나온다면 그때 'b는 a 보다 크다'에서 크다관계가 나오게 된다. 이를 기호로 다음과 같이 쓰기로 하자.

$a<b$

이 관계의 성질은 앞의 같은 관계와 같을까?

• a < a
• a < b $\Rightarrow$ b > a
• a < b , b < c $\Rightarrow$ a < c

세번째만 말이 되고 처음 둘은 말이 안된다. 따라서 부등호를 '조심스럽게' 다루어야 한다는 것을 알 수 있다. 아울러 어떤 두 자연수 a, b 가 같거나 크다라는 관계를 도입하고

$a\leq b$

로 쓸 수 있다.

뺄셈과 나눗셈의 도입

만약 자연수 a, b가 주어졌고, $a<b$ 일 때, 'a에 어떤 자연수 c를 더해서 b가 나온다면 이 c를 찾는 연산은

$b-a$

라고 쓰고 이를 뺄셈이라고 부르자. 마찬가지로 만약 자연수 a, b가 주어졌고, 'a에 어떤 자연수 c를 곱해서 b가 나온다면 이 c를 찾는 연산은

$b:a$

라고 쓰고 이를 나눗셈이라고 부르자. 뺄셈과 나눗셈은 교환과 결합법칙이 성립하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다. 다시 말해 이 두 연산은 덧셈과 곱셈에 비해 불편한' 연산이다. 아니나 다를까, 특히 나눗셈은 계산이 아주 복잡한 연산이다.

0의 도입

역사적인 수 '0'을 도입할 때가 되었다. 어떤 자연수 a에 대해서건

$a-a$

를 나타내는 수, 다시 말해, 뺄셈의 정의로 돌아가보면, a에 어떤 자연수 c를 더해서 a가 나오는 수 c, 이런 수가 자연수에 있는가? 우리가 알고 있는 자연수에는 없다. 즉 더해도 아무런 영향을 주지 않는 수, 다시 되집어 올라가보면, '없음'을 나타내는 수를 도입할 때가 된 것이다. '없음'을 나타내는 수가 '자연스럽지 않은' 수로 받아들일 수 있지만, 우리는 이를 우리의 $\mathbb {N}$를 확장하여 포함시키기로 하고 이를 $\mathbb {N} _{0}$이라고 쓰자. 그리고 이 수 0의 자연스런 법칙 을 추가하기로 한다.

$a+0=a$

$a*0=0$

이제 우리는 다음과 같이 조금 더 확장된 세계에서 수학을 할 수 있게 되었다.

$<\mathbb {N} _{0},=,<,+,*,-,:>$

뺄셈이나 나눗셈에서 괄호의 역할이 중요하다는 것을 알았기 때문에 엄밀하게 말하면

$<\mathbb {N} _{0},=,<,+,*,-,:,(,)>$

로 쓰는게 옳다.

자연수 세계 - 서론과 이야기거리 로 돌아가기

Note

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