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자연수 세계 - 서론과 이야기거리 로 돌아가기

나눗셈과 나뉨관계

자연수와 정수 세계에 대해 수천년 탐구해오는 동안 그 가장 중심에 있어 왔던 것은 역시 나눗셈 연산과 연관되어 있다. 다시 말해 어떤 주어진 정수를 다른 수로 나눌 수 있는가 하는 문제였다. 왜 그럴까? 우선 나눗셈은 두 자연수를 연산하여 자연수 아닌 수를 낼 수 있다. 이는 자연수에 대해 4칙 연산에서 뺄셈도 마찬가지지만, 수를 정수까지 확장해도 나눗셈만 여전히 이런 '복잡한' 성격을 가진다. 따라서 자연스럽게 주어진 두 정수에 대하여

과연 어떤 조건에서 나눗셈을 할 때 그 결과가 정수일 수 있을까

하는 문제가 중심에 설 수 밖에 없다. 이른바 '나뉘다(가분성)'이라고 하는 '관계'를 탐구하는 문제가 바로 그것이다. 산술(정수론)에서 대표적인 문제들이 결국 이와 연관된 문제들인 것이다. 대표적으로 최대공약수,최소공배수, 소수, '서로 소'와 같은 문제들이다. 이 문제들은 초등학교 때부터 등장할 만큼 직관적으로 간단해보이는 문제인 것 처럼 보인다. 그렇지만 나눗셈은 마냥 쉽게 자기의 모습을 드러내지 않는다. 나눗셈 연산을 이해하는 것은 자연수 세계를 이해하는 열쇠 역할을 한다. 다루는 대상들이 자연수, 정수라 '자연스러워' 보이고 따라서 나눗셈이나 소수가 들어가는 정리도 언뜻 보면 쉽게 이해되는 문장으로 표현된다. 그런데 그 정리를 증명하는데도 수학의 다른 분야에서 빌어온 현란하고 복잡한 수학적 기법이 필요하기도 하다. 그 예로

어떤 등차수열 속에서도 소수는 무한하다.

라는 디리흘레 정리를 볼 수 있다. 이 정리는 아주 간단해 보이는 문장이지만, 이 증명을 이해하는데 고난도의 수학적 지식과 훈련이 필요하다. ^[1] 그런가 하면 수학의 다른 영역의 도움을 받아 증명된 정리를 순수하게 자연수 세계의 성질과 논리로 다시 증명하기도 한다.

어쨌든 자연수 세계는 수학의 기초다. 이 세계에서부터 수는 확장되어간다. 자연수 세계에 대한 정리는 명쾌하게 드러나곤 하지만, 증명은 고도의 논리적 집중을 요구하는 경우가 잦다. 신비롭고 아름다운 법칙들이 드러나곤 한다. 이 때문에 현대에 이르기까지 기라성같은 수학자들이라면 누구나 자연수 세계 탐구에 발을 디뎠을 것이다. 그래서 가우스는 '정수론'을 수학의 여왕으로 꼽았는지 모른다.

나눗셈은 무엇인가?

처음 나눗셈을 배울 때부터 우리는 나눗셈을 실생활의 예로부터 받아들여왔다. '사과 한 개를 두 쪽으로 나눈다'라는 개념으로 1:2 를 이해하곤 했다. 또는 사탕이 다섯개 있을 때, 이것을 일곱명에 고루 나눠 주려면 5:7 로 말하곤 한다. 하지만 이는 나눗셈 자체에 대해 말하는 것이 아니다. 나눗셈을 이해할 설명 도구, 다시 말해 '모델'로 빗대어 표현한 것일 뿐이다. 그 모델을 고수하고 있어서서는 나중에 정수, 유리수, 실수로 수를 확장해갈 때 번번이 어려움에 부딪힌다. 2:3을 3:2로 나누는 예를 생각해보라. 그나마 그것은 가능하다고 해도, 무리수까지 가면 '모델' 찾기는 사실상 불가능해진다.

나눗셈에 대한 정의로 우리는 앞에서

(정의 : 나눗셈)자연수 a, b에 대하여, 'a 에 어떤 자연수 c를 곱해서 b가 나온다면 이 c를 찾는 셈을 나눗셈이라 한다.

고 했다. 나눗셈에 대한 '모델'은 어디에도 없고, 다만 곱셈으로부터 논리적으로 정의해낸 것이다. 나눗셈은 어떤 자연수 a , b 에 대하여 새로운 c 를 찾는 연산이다. 기호로

b:a

로 쓰기로 했다. 우리가 수를 확장하여 0 을 자연수로 생각하거나, a, b 가 정수까지 확장된다면, 위의 표현에서 a 는 0 이 아니어야 한다. 만약 0 이라해보자.

b:0

이고 b 는 0이 아닌 경우라면, 나눗셈의 정의에 따라,

0\cdot c=b

인 c 가 있다는 말인데, 이런 정수 c가 있는가? 없다. 말이 안된다. 만약 b가 0 이라면

0\cdot c=0

이고 c는 아무거나 가능하여 '어떤 특정한 수'라고 말할 수 없다. 나눗셈이라는 '함수적' 관계가 성립하지 않는다. 결국 a가 0인 경우는 말이 안되거나 말할 수 없게 되고 만다. ^[2]

나눗셈은 어려운 연산이다

우리는 나눗셈이 곱셈의 역연산이라는 뜻으로 받아들일 때 언뜻 나눗셈과 곱셈이 계산할 때 별로 다르지 않은 연산이라고 받아들이기 쉽지만 전혀 그렇지 않다. 두 자연수 a,b를 곱하는 알고리듬은 비교적 간단한다. 그러나 나눗셈 알고리듬은 알고리듬 중 가장 복잡한 알고리듬으로 알려져 있다. '모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현할 수 있고 그 방법은 유일하다'라는 산술의 기본정리 나 수론의 다른 분야에서 이에 대하여 몇 번 더 이야기하게 될 것이다.

'나뉘다' 관계

어떤 두 자연수를 비교하는 관계에 대하여 같다 (=), 크다 (<)는 익숙하다. 같다라는 기호는 어떤 연산에 대해서도 아주 자유로운 연산이고, '크다'라는 연산은 덧셈-뺄셈 연산을 고려하였다. 곱셉-나눗셈 연산을 고려해서 새로운 비교 관계를 정의해 볼 수 있다.

' a는 b로 나뉜다' 의 정의

정의 : 나뉘다 : 주어진 어떤 자연수 a, b 에 대하여

a=b\cdot k

인 자연수 k가 하나를 정할 수 있으면 'a는 b로 나뉜다'고 한다. 이것을 기호로

a\ |\ b

로 쓰기로 하자.

나뉨관계의 기본 성질

두 자연수를 비교할 새로운 관계가 정의 되었으니 기본적인 성질들이 무엇인지 확인하자. (정말 그런가?)

(reflexive) $a\ |\ a$
(transitive) $a\ |\ b$ 이고 $b\ |\ c$ 이면, $a\ |\ c$

등호와 비슷하다. 그러나 대칭성이라는 성질을 갖고 있지 않다는 점은 다르다.

(antisymmetry) $a\ |\ b$ 이고 $b\ |\ a$ 이면 $a\ =\ b$

크기 관계인 $\leq$ 와 비슷한 성질이다.

아울러 다음과 같은 성질들이 있다. 직접 증명해보라.

$a\mid c$ 이고 $b\mid c$ 이면, $a\pm b\mid c$
$a\mid c$ 이고 $b\mid d$ 이면, $a\cdot b\mid c\cdot d$
$a\mid b$ 이면, $a^{n}\mid b^{n}$

이어서 아래를 증명해보자. ^[3]

$a^{n}\mid b^{n}$ 이면, $a\mid b$
$a\mid b$ 이고 $a\mid c$ 이면, $a\mid b\cdot c$