Topology

이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

점점 일반화, 추상화 되어가는 기하학

토폴로지는 상대적으로 젊은 분야다. 공간에 대한 탐구라고 할 수 있는 기하학에서 탄생하였지만, 거기에 머물지 않았다. 젊지만 워낙 추상적인 개념이라 그 자체의 흥미와 함께 여러분야에 응용되기도 한다. 막강하다.

공간에 대한 탐구는 유클리드 이래 절대적인 무엇으로 여겨졌다. 고대로 부터 기하학하면 중요한 개념들은, 길이, 넓이, 부피와 같은 개념들이었다. 하지만, 기하학에서 연산 정도로 여겼던 변환과 유클리드 기하학의 공리들에 대해 깊이 탐구해면서 공간에 대한 개념은 유클리드적인 것에 갇혀있을 수 없었다.

Euclid Geometry

유클리드 기하학에서는 어떤 도형 F 와 G 이 같고 다르고의 문제는 각, 길이, 넓이 들처럼 '측정해서 나온 결과값들이 같을 때' 를 말했다. 길이, 넓이와 같은 개념들은 딱딱한(rigid) 변환으로는 변하지 않는다. 그런 딱딱한 변환의 예로는 대칭, 회전, 평행이동 같은 것들이 있다. 직관적으로 그런 이동을 한 다음 겹치게 할 수 있드면 그런 도형들은 같은 도형이라고 보았던 것이다. 그렇지 않고 그런 요소 중 하나라도 다르게 되면 그것들은 같은 도형이 아니다. 예를들어 여기서는 정삼각형과 정삼각형이 아닌 삼각형은 비록 넓이가 같다고 해도 같을 수 없다. 여기 더 다르게 쓸 수 도있다. 크기들이 다른 도형에 대해서도, 예를들어, Affine 적으로 같다라고 말할 수 있게 된다. 아핀 기하의 기초적인 성질들을 보자.

• 물론, 정의에 따라, 아핀 변환을 해도 평행 관계는 변하지 않는다.
• 모든 삼각형은 아핀적으로 같다 : 어떤 두 삼각형에 대해서도 하나의 삼각형에서 다른 삼각형으로 Affine 변환할 수 있다. 그 방법은 유일하다.
• 아핀 변환을 했다고 해도 평행선들의 길이 관계도 변하지 않는다. 하나의 선분 l 과 다른 선분 m 이 있고 그것이 아핀 변환해서 선분 l' 과 m' 이 된다면, 그리고 D(x) 가 선분 x 의 길이를 나타내는 기호고 k 가 상수라면, D(l) : D(m) = D(l') : D(m) 다 다시말해, 어떤 삼각형 ABC에 대해서도

$D(A,B):D(B,C)=k$

• 어떤 도형의 넓이의 관계는 항상 같다 : S(F) 는 도형 F 의 넓이를 나타내는 기호라면, S(F) : S(F') = k

Affine 변환을 해도 변하지 않는 도형들의 성질을 연구하는 분야를 Affine 기하학이라 부르기도 한다. 위의 성질들 때문에 Affine 기하에서는 어떤 삼각형의 성질을 알고 싶으면 우리가 다루기 좋은 삼각형(예를들면 정삼각형)으로 아핀적으로 바꾸어 성질을 확인하면 충분하다. 이 기하학에서는 더이상 '길이'라는 개념은 중요하지 않다.

Projective Geometry

한발 더 일반화. 한 도형 F를 이제 Projection 해보자. Projection은 여러가지 방법으로 정의할 수 있다. 간단히, 직선을 직선으로 바꾸는 변환을 projection 이라고 한다. 그런데 이것이 진짜 '변환'이 되기 위해서는 유클리드 평면 가지고는 안되는 경우가 생긴다. 그래서 유클리드 평면에 Ideal point 를 추가한다. 그리고 그런 'ideal point들을 잇는 직선을 ideal straight line이라 하자. 이런 평면을 projective 평면이 된다. 이 평면의 도형들의 성질을 살피는 기하, projection 해도 변하지 않은 성질을 연구하는 것이 Projective Geometry 다. 이 평면에서는 신기하게도 이런 성질을 가진다.

• 어떤 두 사각형도 projective 적으로 같다. 다시 말해 사각형 F 는 항상 다른 사각형 F' 로 projection 할 수 있다. 그 방법은 유일하다.

따라서 아핀 기하학에서 그랬듯, 여기서는 어떤 도형의 성질을 알고 싶을 때, 사각형의 도움을 받아야 한다면, 기왕이면 우리가 써먹을 정사각형처럼 편리한 사각형이 되도록 주어진 도형을 projection 하여 탐구하면 된다. 물론 여기서는 projection 변환하여 평행까지 깨질 수 있기 때문에 각에 대한 성질들 까지 별의미가 없어진다. 주로 도형들의 '만남'이 관심을 받는다. 어떤 점들이 한 직선위에 있는지(collinear), 어떤 직선들이 한점에서 만나는지(concurrent) 의 성질. projection geometry 에서 선구적인 정리를 보자.

• (데자르그 정리) 어떤 삼각형 ABC와 A'B'C'가 있다고 하자. 대응하는 꼭지점을 잇는 세직선 AA', BB', CC' 가 한 점에서 만나면(concurrent) 대응하는 변들의 세 교차점들( AB 와 A'B' 의 교차점, BC와 B'C'의 교차점, CA와 C'A'의 교차점) 은 한 직선에 있다. (collinear)

이 정리 어디에도 길이나 넓이, 각의 개념은 씻겨 나갔다. concurrent 한 경우들과 collinear 의 기준조차 논리적으로 등가가 된다.(Duality) Projection 해도 변하지 않은 어떤 성질이 있을까? 물론 있다. 어떤 직선 l 에 네 점 A, B, C, D 가 있다면 이 점들에 대한 다음의 관계는 projection 한 다음에도 변함이 없다.

$(D(A,C):D(B,C)):(D(A,D):D(B,D))=k$

아핀 변환에서 변하지 않은 '관계'와 비교해보라. 여기서는 관계 자체는 변해도, 관계들의 관계는 변하지 않는다. 따라서 이것을 이중 관계 또는 Cross-ratio 라고 부른다. 그리고 직선들로 이루어진 어떤 도형이 곡선으로 이루어진 도형으로 될 리 없다.Projective Geometry는 '길이'나 '각'으로부터 완전히 자유로와 졌는가? 어찌보면 그렇지만 어찌보면 그렇지 않다. 변하지 않은 성질은 Cross-Ratio 의 경우도 길이는 변하지만, 길이들의 관계의 관계들은 안변한다. 이것은 어쨌던 길이 개념을 지고 가고 있다.

Topological Geometry

한발 더 나가자. 직선들로 이루어진 도형이 곡선들로 이루어진 도형은 언뜻 보면 어떤 개념을 들이대도 같다고 말할 수 없을 것 같다. 그런 세계는 절대적인 세계, 또는 상대적으로 절대적인 세계라 할 수 있다. 토폴로지는 이 경계마저 허문다. 직선들의 교차, 점들이 한 직선에 있는 성질들보다 더 기초적인 기하학적 성질들이 있다. 기하학의 기초에 기초까지 내려가 보면 우리가 직관적으로 다르게 보고 있는 도형들도 어떤 의미에서는 같게 된다. 예를들어 정사각형과 원은 공통점이 하나도 없어보인다. 하지만 이것들은 아주 중요한 공통점이 있다. 둘다 단일 폐곡선이다! 이것은 이 도형으로 평면이 '안'과 '밖', 둘로 나뉘는 것이다 ! 뿐만 아니다. 모든 Simple 한 도형들은 그런 성질을 갖는다. 그렇다면 그것을 일반화할 수 있는 어떤 수단이 있을까?

앞에서 처럼 우리는 '변환'의 개념으로 이해해보자. 자세한 이야기는 나중에 하기로 하고 직관적인 수준에서 먼저 보도록 하자. 도형 F 의 '연결된 구조'를 흐뜨러뜨리지 않고 도형 F'로 바꾸는 것을 토폴로지 변환이라고 부르고 그때의 F 와 F' 는 토폴로지적으로 등가라 한다. 원을 늘려서 곡선을 직선으로 펴고 네 점이 만나는 부분을 모두 직각이 되도록 바꾼다면(deformation) 이것은 분명 토폴로지 변환이다. 따라서 원과 사각형은 토폴로지적으로 같다. 한국어 철자에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 들도 토폴로지적으로는 모두 같다. 공간에서 '공'과 '사과'도 다를 게 없다.

최초의 의미있는 토폴로지 세계에 발을 디딘 사람은 오일러다. 그의 유명한 쾨니흐베르크 7개 다리 문제 에서 다리의 각, 길이, 연결 부분이 곧은지 휘어있는지 중요하지 않다. 여기서 중요한 것은 섬들이 어떻게 '연결(connection)' 되었는가하는 연결 구조에 대한 탐구였을 뿐이다 ! 오일러가 탐구하여 해결한 이 문제는 토폴로지와 그래프 이론(graph theory)의 출발 지점이 되었다.

이의 그 이전까지의 공간에 대한 새로운 이해를 도왔다. 이제 도형은 고도로 추상화된다. 여기서는 각이니 길이니 하는 것은 중요하게 대접받지 못한다. 여기서 가장 중요한 개념은 '연속성'이다. 이어졌느냐, 끊어졌느냐 하는 문제다. (이것은 평면을 둘로 나누느냐 아니냐의 다른 표현이다.) 이전의 기하학이 어쨌든 도형들의 길이, 넓이, 직선성과 같이 절대적 성질이나 절대적 성질들 사이의 관계에 관심을 보였다면, 토폴로지는 이제 그 도형들의 깊고 깊은 성질, 고도로 근본적이고 추상적인 공통 성질만 본다. 거기서는 도형을 이루는 가장 기본이라 할 수 있는 성질(연결구조)만 볼 뿐이다.

Topology

역사

• 오일러 1736년 쾨니흐베르크 7개 다리 문제에 대한 풀이에서 : 최초의 토폴로지 관련 성질
• 19세기 중반 68세 이던 뫼비우스(1790-1868) : '한 면만 있는 표면(one-sided surface)' 제출
• 19세기 중반 독일 괴팅겐의 Listing(1808-1882) : 뫼비우스와 비슷한 발견. 가우스 추천으로 소책자 Vorstudien zur Topologie 발표. 이후 리만이 괴팅겐 대학에 진학해서 배울 때, 이 '새로운 기하학'의 기운을 받음. 리만은 이 새로운 기하학이 복소수를 변수로 갖는 analytic function들의 성질과 깊은 연관성 있음을 짐작, 연구 발전시킴. 리만의 함수론(함수론의 리만 구조??)은 토폴로지 연구 분야의 발전에 혁혁한 공을 세움.
• 19세기 중반 칸토르가 기초한 set theory 용어와 성질로 풀어 내면서 현대 토폴로지로 발전 : 유클리드 공간(Euclid space)를 점들의 '집합'으로 해석함.
• 푸앙카레(1895논문) : '절대적이고 고정된 기하적 도형'을 너머 보다 유연하고 자유로운 직관으로 도형을 다시 봄. homotopy, homolog 개념. 이후 대수적 토폴로지 발전
• metric space(1904) - Hausdorff space(1914) - topological space(1922) 로 점점 개념이 일반화 해 가면서 정립.
• 브라우어 같은 수학자 이후 토폴로지를 수학 전체로 확대하여 탐구.

토폴로지 변환

그렇다면 토폴로지에서의 가장 기초적인 성질은 무엇일까? (아마도, 연결방식 또는 '기초' 구조) 토폴로지적 변환을 해도 변하지 않은 성질들이 바로 가장 중요한 성질일 것. 그렇다면 토폴로지 변환이란?

정의  : 어떤 도형 F 를 F' 로 그리고 F' 에서 F 로도 변환할 때, 아래와 같은 조건을 만족하는 변환을 토폴로지 변환 이라 한다.

F 의 모든 점이 F' 의 모든 점과 1 : 1 대응. 그 역도 성립.

F 의 어떤 점 p 이라도 그 근방 O(p)은 O(p')와 대응. 그 역도 성립

이런 예로 변형(deformation)이 있다. 예를들어 늘이거나 줄이거나 휘거나 펴거나와 같이 형태를 바꾸어가는 것을 말한다. 그렇다면 원은 사각형으로 변형될 수 있고, 구는 접시로, 도넛은 머그컵으로 변형될 수 있다. 물론 변형이 아닌 토폴로지 변환도 있다. 예로들어 끊어서 형태를 바꾼 다음 원래 끊었던 부분을 붙인다고 상상해보면 위의 토폴로지 변환을 만족한다. (예. 꼬인 끈을 끊어서 편 다음 다시 이어붙였을 때. 또는 WIM 그림 134.)

이와같이 토폴로지적 변환으로 변하지 않는 성질들이 바로 토폴로지이다.

연결성 : Connectivity

완전한 디스크와 구멍이 하나 있는 디스크를 생각해보자. 완전한 디스크 안에서는 어떤 폐곡선을 제아무리 변형해도 그 디스크를 벗어나지 않는다. 그에 비해 구멍이 하나 있는 디스크의 경우는 변형되는 폐곡선이 밖으로 빠져 나가게 되기도 한다. 따라서 이 두 도형은 토폴로지적으로 등가가 아니다. 앞의 경우를 단순하게 연결되었다. (simply connected) 라고 하고, 뒤의 경우를 이중으로 연결되었다. (doubly connected) 라고 부른다. 구멍이 두 개 뚫려 있다면 '삼중으로 연결되었다'고 부르면 될 것이다. 어떤 경우든, 우리는 '잘라내기'로 단순하게 연결된 형태의 도형으로 바꿀 수 있다. 만약 이중으로 연결되었으면 구멍 안과 디스크 밖을 연결하도록 '잘라내면' 될 것이다. 그리고 삼중으로 연결되었다면 구멍 사이를 잘라내면 이중으로 연결되고 되고, 이를 다시 앞에서처럼 잘라내면 단순하게 연결된 디스크가 될 것이다. 또는 구멍하나와 디스크 밖, 다른 구멍하나와 디스크 밖을 잘라내도 된다.

오일러 식

다면체는 면이 어떤 정해진 다각형으로 이루어진 도형. 구멍이 뚫려있지 않으면 단순(simple)하다고 말하고 따라서 단순 다면체(simple polyhedron)은 원과 토폴로지적으로 등가.

정리 (오일러 식) : V 는 꼭지점의 수, E는 변의 수, F 는 면의 수를 나타내는 다면체를 생각해보자.

만약 이 다면체가 단순다면체면, $V-E+F=2$

여기서 문제의 조건에서 '단순성'은 꼭 필요한 조건. 구멍이 뚫린 다면체에서는 성립하지 않는 예 : WIM p.238. 그림 121.

6면체를 예로들어 설명할 수 있음. 면을 '납작하게 폄' 이때, 면이 1 줄어 V - E + F = 1 이 됨. 네 '울타리'를 제거함. E 가 4, F 가 4 가 줄었으므로 식의 결과는 차이 없음. 여전히 V - E + F = 1. 귀퉁이에 삐죽 나와 있는 네 선분을 제거. V 가 4, E 가 4 줄었으므로 여전히 V - E + F = 1. 사각형 남음. '납작하게' 해서 결과가 1 이므로 원래 도형은 F 가 하나 더 있었음. 그래서 원래 도형에 대해서는 V - E + F = 2. 이를 보다 일반화해서 다른 면체에 대해서까지 증명하기 위해서는 '삼각형 만들기(triangulate)' 과정을 해가면 됨. 어떤 다각형에서 두 꼭지점을 이어 한 변을 내면, E 와 F 가 하나씩 증가하므로 V - E + F 라는 연산 결과에는 영향을 주지 않는다는 데 착안.

오일러 식의 응용 : 정 5면체는 존재할 수 없음을 보일 수 있음. (WIM p.240 참고.)

토폴로지적 성질 : 주요 정리들

Hairy Ball Th

직관적으로는 공 모양의 머리를 한 머리카락은 빗을 수 없다. 수학 용어로 하면

Any continuous tangent vector field on the sphere must have a point where the vector is zero.

여기서도 '공' 모양에서 구체적인 모양 자체는 중요하지 않다. 구멍이 뚫리지 않은 공과 topological 등가인 모든 도형에 대해 이 성질이 관통한다.

표면의 토폴로지적 분류

Genus

'정의 (Genus) : 어떤 표면을 떼어내지 않도록 그 표면에 그릴 수 있는 단순폐곡선의 최대수를 genus 라 한다.

도넛의 경우 두 개의 폐곡선으로 도넛을 두개의 조각으로 떼어낼 수 있다. 구멍이 둘 있는 경우 세개의 단순 폐곡선으로 조각낼 수 있다. 따라서 도넛의 genus 는 1, 구멍이 둘 있는 도형은 2 다. genus 가 같은 표현을 가진 도형들끼리는 변형될 수 있다. 예를들어 n 개의 구멍을 가진 도넛은 n 개 손잡이를 가진 구로 변형될 수 있다. 따라서 genus 는 표현을 토폴로지적으로 분류하는 기준치가 될 수 있다.

오일러 수

V - E +F = 2 - 2p

Memo

토폴로지 공간의 집합론적 정의

X가 어떤 집합이고 T 는 X 의 부분집합들의 어떤 모임이라고 하자. 그럴 때 다음의 조건을 충족하면 T 는 X 에 대한 토폴로지라 한다.

  1. $\emptyset \in T$ 이고 $X\in T$  
  2. $A_{i}\in T$ 이고 $A_{j}\in T$ 이면, $A_{i}\cup A_{j}\in T.$
  3. k 는 1, 2, ... , n 일 때, $A_{k}\in T$ 이면 $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\in T$

토폴로지의 발전

• 일반 토폴로지 핵심 개념 : connectedness, compactness, continuity
• 대수 토폴로지 : 추상 대수의 구조 : 토폴로지의 group

Note

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