Transformation
Transformation, 보통 '변환'으로 번역이 된다. '말그대로 하면 '꼴바꿈' 정도로 하면 되겠다.
어떤 도형이 있다. 있다. 그대로 거기 있다. 변하지 않은 채. 그래서? 멎어 있는 세상, 아무것도 할 수 없는 세상. 그런 세상 대신 도형들 사이를 비교하고 옮기고 크기도 바꾸고 형태도 바꾸어 가는 세상도 있다. 아주 역동적이고 생기발랄한 세상이다. 세상의 존재하는 모든 것은 나름대로 형태를 가진다. 그 형태들을 단순화시키고 추상화시켜 다시 보면 기하학적인 기본 도형을 변형한 것이라고 볼 수 있다. 예를들어 해는 원을, 수평선은 직선을, 산은 삼각형을 생각하게 한다. 또는 그 반대일 수 있다. 원을 보고 해나, 보름달을, 동전을, 병의 입를 생각할 수 있다. 복잡한 형태는 단순한 것들을 조합해서 만들어낼 수 있다. 긴 직사각형이 서 있고 그 위에 밑이 넓게 삼각형을 붙이면 나무를 상상할 수 있다. 더 복잡한 것들도 상상할 수 있다. 그 '삼각형+사각형'의 나무에 해가 비춰 땅에 그늘이 지면 형태는 달라진다. 가을이 되면 홀쭉해졌다가 여름이 되면 삼각형은 더 부풀어 오른다. 해가 갈수록 직사각형은 더 아름드리 커간다. 이렇듯 세계도 변하고 따라서 기하학도 바뀌는 도형들을 생각하게 될 수 밖에 없다.
어떤 도형이 있을 때, 그 도형의 위치나 형태를 바꾸어가는 것을 직관적으로 떠올릴 수 있다. 도형에 대한 것이므로 기하학의 언어였다. 좌표법의 등장과 함께 점들의 위치는 수의 쌍으로 대응시켜 생각할 수 있었기 때문에 실수 세계의 성질을 다루는 해석학이나 대수의 언어로 표현하게 되었다. 아울러 현대에 접어들면서 도형도 고도의 추상 용어인 집합의 개념으로 이해하기에 이른다. 따라서 도형이 어떤 규칙으로 꼴을 바꾸는 것을 하나의 집헙에서 다른 집합으로 '대응'하는 함수로 간단히 나타낼 수 있다. 이제 연산으로서의 변환은 Group (群) 과 같은 현대 대수학의 개념으로 '그 자체'의 성질을 볼 수 있게 된 것이다. 변환에 대한 탐구도 Vector, Matrix 와 같은 언어로 분명하게 표현하면서 '눈으로 볼 수 있는 기하'에서 '그림없이' 기하의 세계를 탐구할 수 있게 된다. 이제 덕분에 평면이나 공간에 대해 시각적 직관이 가진 한계를 너머 더 추상적이고 자유롭게 쓰고 말할 수 있게 된 것이다. [1] 고대 그리스 이래 수학이 그 엄격한 논리적 기초하려는 의지(본성) 때문인 것으로 보인다.
이렇듯 변환은 수학 세계의 진화하는 동안 이렇듯 관심을 듬뿍 받아오면서 논리적이고 추상적이 되어가고 있다. 대신 잃어버린 것도 있다. 벡터니 함수니 행렬이니 하는 언어의 규칙까지 잘 깨달아야 제대로 이해할 수 있었고 '수학적 기술'은 난해해졌다. 자, 우리가 여기서 변환의 속성을 탐구할 때, 어느 수준에서 다뤄야 할까. Elementary 한 접근법, 그 정도로 이해할 수 있는 수박한 수준으로 수학과 만나는 게 목표이기 때문에 여기서는 지나치게 추상적인 수준까지는 나아가지 않을 것이다. 게다가 차원도 2차원에 머물 것이다. 다시 말해 평면 기하의 영역 안에서 기본적인 정의와 기초 성질을 탐구하는 정도에서 머무를 것이다. 그러면서도 변환에 대해 어느정도 체계적으로 이해할 수 있을 것이다. 그리고 이것은 기하의 세계에 대한 이해를 깊게 해줄 것이다. 기하학의 다양한 양상에 대해서 이해하면서 기하학은 하나이면서도 하나가 아니라는 사실을... 아울러 변환이 기하의 성질을 탐구하는데 얼마나 막강한 도구인지 이해하게 된다.
변환에 대해 우리가 함께 공부할 주제는 다음과 같다. (이번 공부할 기회에 얼마나 할 수 있을지는 ... )
- Trnasformation 의 기초에 대해 짚고 넘어가자. 우리는 보통 도형을 종이 위에 그리면서 기하학 공부를 한다. 종이를 평면으로, 세 점을 자로 이으면 삼각형, 네 점을 엇갈리지 않게 자로 이으면 사각형, ... 물론, 이렇게 해도 흥미로운 기하학적 사실들을 발견해 갈 수 있다. 하지만, 미묘한 문제들이 생기면 질문이 꼬리를 물게 되고, 마침내 우리가 당연하게 받아들였던 것들을 다시 생각해야하는 경우가 생기고 만다. 여기서도 '변환' 에 관한 개념들이 정확히 잡히지 않으면 직관적으로 이해하면서 넘어가다가 벽에 부딪힐 수 있다. 그래서 기초적인 개념에 대해 먼저 알아본다. 추상적이고 논리적인 말로 되어 있어서 지루하거나 딱딱하게 느낄지 모른다. 다만 변환의 정의라든가 몇가지 성질 빼놓고 나머지는 처음 읽을 때 그냥 넘겨도 나머지를 이해하는데 크게 문제는 없을 것이다. 하지만 제대로, 또는 깊이 이해하기 위해서는, 피해갈 수는 없다.
변환의 일반적 정의와 기초 성질 : 변환의 정의, 기초성질.
- 먼저 위치만 바꾸는 경우를 보자. 위치만 바꾼다는 뜻은 직관적으로 분명하다. 조금 더 수학적으로 표현하면 우리에게 주어진 도형 F 가 F' 로 꼴바꿈을 하는데, F의 어떤 두 점 A, B 이 A' 와 B' 로 바뀌어도 그 거리는 바뀌지 않는 것을 말한다. 물론 넓이니 각도 변하지 않을 테니 형태는 바뀌지 않는다. 다만 위치만 변한 것으로 이해할 수 있다. 이렇게 두 점사이의 거리를 바꾸지 않는 변환도 그 양상에 따라 여러 방식이 가능하다. 평행이동, 회전, 대칭 같은 경우들이 있다. 이런 경우들의 예를 보고 그 연산들 사이의 관계를 볼 것이다.
- 앞에서 보았던 변환처럼 어떤 도형 F 가 F' 로 바뀔 때, 주어진 두 점과 대응하는 두 점사이의 거리가 변할 수 없다는 규제를 풀어보자. 대신 길이가 제멋대로 변하는 것이 아니라, 미리 정한 정도 만큼씩만 변하게 한다. 정사각형이 직사각형은 될 수 없다. 도형이 품고 있던 각은 변할 수 없는 것이다. 대신 점들 사이의 거리가 일정하게 '늘어나거나' '줄어' 든다. 정사각형은 정사각형으로 변하듯, 꼴은 안바뀌지만, 크거나 작아질 것이다. 대신 그 정도가 길이가 바뀐 정도에 따라 일정한 정도로 바뀌게 된다.
- 닮음 : 길이를 바꾸되 정해놓은 정도로만 바꿈.
- 사고를 더 자유롭게 하자. 점들사이의 길이를 꼭 일정하게 변할 수 있게 해야한다는 규제도 풀자. 대신 직선성과 평행성은 바뀌지 않는 수준으로 바꾸는 것이다. 이제 정사각형은 직사각형으로도 바뀔 수 있고, 평행사변형으로까지 변할 수 있다. 하지만, 일반적으로 사다리꼴로까지 확장할 수는 없다. 이런 것을 아핀(Affine[2]) 변환이라 한다. 어떤 삼각형은 다른 어떤 삼각형으로도 'affine 변환시킬 수 있다.
- Affine 변환 : 길이를 마음대로 바꿀 수 있지만, 평행성은 지켜지도록 바꿈.
- 더 일반화시킨다면 ? 그렇다. 이제 직선성조차 바꿀 수 있거나, 평행성도 바뀔 수 있다. 직선성은 보다 근본적인 성질이기 때문에 여기서는 평행성만 바꿔보자. 평행했던 두 직선이 여기서는 평행하지 않게 된다. 대신 직선성은 지켜주게 하자는 것이다. 삼각형 끼리는 물론이고 이제 사각형들도 얼만든지 서로 이런 바꾸기할 수 있다. Projection(투영, 사영, 쏴비추기) 이라는 연산으로 가능하다. 이런 세계에서는 정사각형은 어떤 사각형과도 서로 바꿀 수 있기 때문에 서로 비슷한 성질을 가진다. 길이나 평행성과 관련된 성질을 눈감아 버린다면, 이제 사각형들 끼리는 제법 달리 보였던 것들도 어떤 의미에서 같은 도형이 된다. 또한 점을 직선으로, 직선을 점으로 바꾸는 특수한 변환에 대해서도 볼 것이다.
- Projective 변환 (투영, 사영 변환) : 평행성 마저 바꿀 수 있되 직선성은 지키도록 바꿈.
- 이제는 직선성 마저 바꾸자. 우리는 흔히 원과 직선은 아주 다른 무엇으로 생각한다. 도저히 이 둘은 같을래야 같을 수 없을 것처럼 보인다. 하지만, 직선이 원으로 바뀌는 연산을 보게 될 것이다. 이런 변환을 'Inversion 뒤집기'이라 부른다. 그런데, 어떤 의미에서 직선이란 반지름이 무한인 원이라고 이해할 수도 있다. 따라서 직선이 원의 특수나 경우라고 받아들일 경우 Inversion으로 모든 원은 서로 바꿀 수 있다.
- 기타
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