Quadric Dioph Fermat-Euler: 두 판 사이의 차이

2007년 11월 16일 (금) 17:05 기준 최신판

이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

유명한 세 증명 중 라그랑쥐 증명만 담아 두었습니다. 나중에(?) 나머지 두 증명도 정리하고 그 증명들을 비교해보겠습니다.

3세기 경, 그리스^[1]의 디오판테스는 13권의 "산술(Arithmetic)" 을 저술하였다고 전한다. ^[2] 그 중 6권이 전하는데 2번째 권 8번째 문제는 다음과 같다.

주어진 제곱수는 두 개의 제곱수로 쪼갤 수 있다. ^[3]

일반적인 경우가 아닌 특수한 경우에 대해 그 풀이과정을 보이고 있다. 위의 문장 다음에 이어지는 문장은 다음과 같다.

16을 두개의 제곱수로 쪼개야 한다고 하자.

현대적 용어로 하면

x^{2}+y^{2}=16

인 경우에 대해 어떻게 유리수 x, y를 찾아간다. 이 부분을 읽던 Fermat가 '페르마 대정리'라고 불리는 그 유명한 메모를 남긴 것이다. (페르마의 위대한 정리 (또는 '페르마 마지막 정리') 라고 부른다. )

위의 경우는 이 후 디오판테스 방정식 의 특수한 예다. 디오판테스 방정식은 이후 지금까지 수론과 대수 분야에서 중요한 연구 분야다. 특수한 디오판테스 방정식이면서 위의 일반적인 경우가 되는 방정식은

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2}

인데, 그 방정식의 모든 정수해들의 집합

\{(x_{1},x_{2},x_{3})\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2}\ ;\ x_{i}\in \mathbb {Z} \ \}

을 보통 피타고라스 세쌍수 라고 부른다.

이를 해석해보면

어떤 정수의 제곱이 되는 수는 다른 정수들의 제곱으로 표현될 수 있다는 말이다.

기하학적으로 해석해볼 수도 있다. 1단위로 된 정사각형들을 모아서 다른 정사각형을 만든다고 해보자. 1단위들을 모아서 정사각형 모양을 만들었을 때, 그 중 어떤 정사각형들에서는 더 작은 두 개의 정사각형을 만들 수 있다는 것을 뜻한다.

이와 형태가 닮은 매우 흥미로운 문제가 있다. 두 정수의 제곱으로 표현된 모든 수들의 집합은 어떤 성질을 가지고 있을까? 그 중 소수들이 되는 수들이 있다면 그들을 모두 모은 집합은 어떤 특성이 있을까? 이 흥미로운 문제에 대해 처음으로 신비를 벗긴 사람은 위대한 페르마다. 1640 년 크리스마스 때 페르마가 쓴 편지에 다음과 같은 구절이 있었다.

" 4 로 나누어 나머지가 1 인 꼴의 모든 소수들은 단 한가지 방식으로 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다. "

그것에 대한 증명 밑그림은 1659 년 편지에서 발견되었다고 한다.

4 로 나누어 나머지가 1 인 꼴의 어떤 소수 중 두 제곱수의 합으로 표현 안되는 수 P 가 있다고 하자.

그렇다면, P 보다 작은 그 꼴의 소수에 대해서도 마찬가지라는 것을 보일 수 있다.

그렇게 내려오다보면 그런 꼴의 가장 작은 수인 5 도 안되야 한다.

그런데

5=1^{2}+2^{2}

이다. 따라서 그런 수 P 는 없다.

1740 년대 중반 오일러가 이 밑그림으로 증명한 것이 남아있다. 다음으로 유명한 증명들은 라그랑쥐, 민꼽스끼가 한 것들이다. 우리는 세 증명을 여기서 모두 보자.

Fermat-Euler 정리

2차 디오판테스 방정식에 대한 페르마-오일러 정리. 여기서 $x_{i}$ 는 정수

Fermat-Euler 정리 :

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=N

이고 N 이 소수

\Leftrightarrow \

N은 4n + 1 꼴의 소수

오일러 증명

라그랑쥐 증명

페르마 소정리 는 수론의 탄생과 발전 역사에서 매우 중요한 자리를 차지한다. 그로부터 새로운 수학의 가지가 뻗어나가게 되었다. 페르마의 이 정리를 응용한 윌슨 정리는 아주 재미있는 사실을 말하고 있다.

윌슨 정리 : p가 소수면 (p-1)! + 1 은 p로 나뉜다. 그 역도 참이다.

다시 말해 이는 어떤 주어진 수가 '소수' 인지 아닌지 알아볼 수 있는 알고리듬 중 하나라고 할 수 있다. (페르마 소정리의 윌슨 정리 를 참고하라.) 위의 식을 기호적으로 다시 써보자.

(p-1)!\ \equiv _{p}\ -1\ \Leftrightarrow \ p\in {\mbox{Prime}}

이 사실로 부터 다음의 보조 정리를 끌어 낼 수 있다.

보조정리 : p 가

4n+1

꼴이면

((2n)!)^{2}+1

도 p 로 나뉜다. ( 왜 그런가?)

이제 라그랑쥐의 증명틀 안으로 들어가자. 기호 $[\ z\ ]$ 를 확인하고 넘어가자. 함수 $[z]$ 은 실수에서 정수로 대응하는 함수인데, z 보다 크지 않은 최대 정수, 또는 z 의 소수 부분을 빼낸 정수 부분을 뜻한다.

다음 집합을 생각해보자.

\{(m,n)\ |\ 0\leq m\leq [\ {\sqrt {q}}\ ],\ 0\leq n\leq [\ {\sqrt {q}}\ ]\ ;\ m,n\in \mathbb {Z} \}

그 집합의 원소의 개수는 p 보다 크다. ( 왜 그런가?)
어떤 정수 k 에 대해 $m_{1}+kn_{1},m_{2}+kn_{2}$ 인 두 수를 p로 나눈 나머지가 같은 '서로 다른 두 원소'가 있을 수 밖에 없다. (그런 k 를 $(2n)!$ 라 하자.)
위의 두 수의 차이는 p 로 나뉜다 : 두 수의 차이는 $(m_{1}-m_{2})+k(n_{1}-n_{2})$ 이다.
$(m_{1}-m_{2})^{2}-k^{2}(n_{1}-n_{2})^{2}$ 도 p 로 나뉜다.
$(m_{1}-m_{2})^{2}+(n_{1}-n_{2})^{2}$ 도 p 로 나뉜다.
$(m_{1}-m_{2})^{2}+(n_{1}-n_{2})^{2}=pq$ 인데, 우리의 construction에 따라 q 는 1 일 수 밖에 없다. ( 왜 그런가?)