Fermat Last

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디오판테스는 13권의 "산술(Arithmetic)" 을 저술하였다고 한다. 그 중 6권이 전하는데 이 책을 읽던 페르마가 제 2 권 8 번 문제 옆에 다음과 같은 메모를 남겼다.

세제곱수는 두 개의 세제곱수로 쪼갤 수 없고, 
네제곱수도 두 개의 네제곱수로 쪼갤 수 없고, 
2보다 크고 끝없이 큰 차수의 수는 같은 차수의 두 개의 수로 쪼갤 수 없다. 
정말로 놀라운 발견을 생각해냈는데 여기 쓰기엔 여백이 너무 부족하다.

4차 일 때에 대해서는 페르마가 남긴 증명이 발견되었다. 그리고 3차 일 때에 대해 1768 년 오일러가 증명했다. 다음으로 100보다 작은 소수 중 37, 59, 97을 뺀 나머지 차수들에 대해서 증명이 되었다. 20세기에 이르러 10만 보다 작은 모든 소수에 대해 증명되었다. 최종적으로 2보다 큰 모든 n 차수에 대한 일반적인 해답은 1993 년 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)가 증명했다. (Wiles의 증명 小史 참고)

이 식을 보다 형식적으로 쓰면 다음과 같다.

\forall n>2\ \exists x,y,z\in \mathbb {Z'} (x^{2}+y^{2}=z^{2})

다시 말해 0 이 아닌 정수 x,y,z을 찾는 문제다. 이 문제는 다음과 같은 형태의 문제다. ^[1]

\forall u\exists v\ (f(u)=v)

^[2]

Note

↑ 이런 유형의 문제의 '복잡성 정도' 는 매우 높다. 다시 말해 해결하기 아주 어려운 문제다... 회귀 함수 이론(recurtion theory), 복잡성 이론(complexity theory)
↑ ('위대한 페르마정리'또는 큰 페르마정리, 페르마 大정리) : 피타고라스 정리의 식과 닮았다. 그렇지만 의미는 다르다. 피타고라스 정리는 다음을 이야기하고 있다. 곧, x, y, z이 삼각형의 세변의 길이고 그 중 z이 가장 긴 변, 빗변의 길이라고 하자. 그럴 때 “그 삼각형의 짧은 변 둘을 각각 제곱해서 더하면 가장 긴 변의 제곱과 같아진다.” $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 라는 문장과 “그 삼각형은 z을 마주보는 각이 직각이다.” 라는 문장이 논리적으로 같은 힘을 가진다. 첫 문장은 삼각형의 요소 중 변의 길이 대한 대수적 연산 개념이 들어가 있는 문장이고 둘째 문장은 순수하게 기하학적인 문장이었다. 위대한 페르마 정리는 다음과 같다. 모든 실수 주어진 정수의 세 쌍 (x,y,z)에 대해 n이 2보다 큰 경우, $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 인 그런 자연수가 존재하지 않는다. 어떤 특수한 형태를 갖는 대수적 방정식이 특수한(여기서는 정수) 해를 갖는가? 하는 대수적인 문제다. 이 문제를 풀기 위해 기라성 같은 수학자들이 증명을 시도하고 특수한 경우에 대하여 증명했지만, n이라는 일반적인 경우에 대해서는 20세기 말까지 풀리지 않았다. 결국 1990년대 중후반 풀린 것으로 공인되었는데 여기에는 온갖 현란한 현대수학기법들이 쓰였다. 그렇다면 과연 페르마는 당시 디오판테스 '산술'을 읽으면서 책의 여백에 써두었던대로 '간단한 증명을 찾아내었'을까?

[1] 이런 유형의 문제의 '복잡성 정도' 는 매우 높다. 다시 말해 해결하기 아주 어려운 문제다... 회귀 함수 이론(recurtion theory), 복잡성 이론(complexity theory)

[2] ('위대한 페르마정리'또는 큰 페르마정리, 페르마 大정리) : 피타고라스 정리의 식과 닮았다. 그렇지만 의미는 다르다. 피타고라스 정리는 다음을 이야기하고 있다. 곧, x, y, z이 삼각형의 세변의 길이고 그 중 z이 가장 긴 변, 빗변의 길이라고 하자. 그럴 때 “그 삼각형의 짧은 변 둘을 각각 제곱해서 더하면 가장 긴 변의 제곱과 같아진다.” $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 라는 문장과 “그 삼각형은 z을 마주보는 각이 직각이다.” 라는 문장이 논리적으로 같은 힘을 가진다. 첫 문장은 삼각형의 요소 중 변의 길이 대한 대수적 연산 개념이 들어가 있는 문장이고 둘째 문장은 순수하게 기하학적인 문장이었다. 위대한 페르마 정리는 다음과 같다. 모든 실수 주어진 정수의 세 쌍 (x,y,z)에 대해 n이 2보다 큰 경우, $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 인 그런 자연수가 존재하지 않는다. 어떤 특수한 형태를 갖는 대수적 방정식이 특수한(여기서는 정수) 해를 갖는가? 하는 대수적인 문제다. 이 문제를 풀기 위해 기라성 같은 수학자들이 증명을 시도하고 특수한 경우에 대하여 증명했지만, n이라는 일반적인 경우에 대해서는 20세기 말까지 풀리지 않았다. 결국 1990년대 중후반 풀린 것으로 공인되었는데 여기에는 온갖 현란한 현대수학기법들이 쓰였다. 그렇다면 과연 페르마는 당시 디오판테스 '산술'을 읽으면서 책의 여백에 써두었던대로 '간단한 증명을 찾아내었'을까?

[1]

[2]