Natural logarithm

밑이 $e$ 인 로그를 '자연스러운 로그(natural logarithm)'라고 할까?

밑을 $e$ 로 하는 로그를 보통 자연스러운 로그, 또는 간편하게 번역해서, 자연 로그라고 부른다. 오일러가 그 중요성을 전면에 띄운 이래 지금은 수학에서 가장 중요한 상수(constant) 로 여긴다. 오일러 수 $e$ 는 간단한 수가 결코 아니다. 이 수는 무리수이며, 그 중에서도 초월수 다. 이렇게 복잡한 수를 밑으로 한 이유가 무엇일까? 더군다나 그것을 '자연스러운' 로그라고 하는 이유는 ?

물론 수학, 공학, 물리, 천체 연구에서 상수 $e$ 나 그 함수 $e^{x}$ 는 매우 중요하게 여겨진다. 그리고 미분적분을 할 때도

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\,$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\,$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|\leq 1\,$ (테일러 시리즈)

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,$

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$ (Hyperbolic function)

의 등식들이 말해주듯 미적분 계산에 특별하게 간단한 성질이 있고, 삼각함수나 hyperbolic function 과도 깊이 연관되어 있다. 하지만, 이렇게 '결과적으로' 많이 쓰이고 중요하기 때문에 자연스럽다고 말하기는 이르다. 도대체 어떤 '자연스러움'이 있을까?

로가리듬(logarithm ) 이란 무엇일까로 돌아가 원점에서 생각해보는 것이 열쇠인 것 같다.

우리가 실수를 연산할 때, 가장 기초적인 연산으로 4대 연산을 꼽는다.

더하기, 곱하기, 빼기, 나누기 ( $a+b,\ a\cdot b,\ a-b,\ a:b$ )

여기에 추가하여

n 제곱근 찾기(제곱근 연산), n 제곱하기(지수연산) (${\sqrt[{n}]{a}},\ a^{n}$)

를 보탠다. 하나 더 보태는데, 이를 로가리듬이라 한다. 이것은

어떤 주어진 두 수 a, b 에 대해 a 에서 몇제곱을 해야 b 가 되는가. 로가리듬 찾기.$\log _{a}b$(로그 연산)

하는 그 몇제곱에 해당하는 지수를 찾는 연산이다. 지수 연산의 역이라고 볼 수 있으니, a 를 밑이라고 부르는 것은 자연스럽다. 여기까지를 보통 7 대 연산이라고 부른다.

로그 연산을 다룰 때, 우리나라 학교에서는 보통 밑이 10인 경우를 다룬다. 그것을 상용로그라고 불리는데, 그때 왜 그것을 '상용'이라고 부르는지는 알 수 없다. 이것은 수학적으로도 그 정의로도 별로 중요한 개념이 아니다.

밑은 어떤 것이든 가능할까? 그렇지 않다.

• 밑 a 이 음수라면 지수 x 를 쓰기가 실수 안에서는 자연스럽지 않다.
• 밑 a 이 1 이라면 그것은 어떤 x 에 대해서도 항상 1 이므로 실수들 사이의 연산으로서의 의미도 없다.

그렇다면 밑이, 학교에서 보통 하듯이, 10 이라면 어떨까? 밑이 10이라 하자.

$10^{0}=1,\ 10^{1}=10,\ 10^{2}=100,\ 10^{3}=1000,\ \dots$

보다시피 지수를 자연수로 해서 하나하나 늘려갈 때마다 결과인 수들이 껑충껑충 뛴다. 그래서 a 와 b 사이의 관계가 긴밀하지 못하고, 가능한 모든 a, b 에 대해서 x 를 찾을 때 지나치게 문제가 어려워진다. a 가 10 이라하고, b 가 3 또는 13, 17, 21 ... 이라고 해보라. 그래서 밑을 작게 잡아 놓으면 괜찮아 보인다. 1 다음의 자연수인 2 라고 해보자.

$2^{0}=1$

$2^{1}=2$

$2^{2}=4$

$2^{3}=8$

$\dots$

이제 밑을 2로 했으니 '간격'이 훨씬 촘촘하다. 밑이 2 일때 3을 찾아볼까? 먼저, 2와 4 의 사이이므로, 그 지수인 1 과 2의 중간을 잡아보자.

$2^{\frac {3}{2}}$

는 어떤 수일까?

$(2^{\frac {3}{2}})^{2}=2^{3}=8$

으로 제곱해서 8이 나오는 수, 다시 말해 ${\sqrt {8}}$ 이다. 이 수는 2.8284271247461900976033774484194에 가까운수다. 간단히 2.8로 써보자. 그렇다면 이 수는 3에 훨씬 가까와 졌지만, 여전히 3은 아니다. 사실, 밑을 2로 할때, 유리수로 된 지수를 해서는 3이 나올 수 없다. 매우 근사적으로만 얻을 수 있다. (지수가 무리수 일때는 얻을 수 있다.)

지금 우리의 관심은, 밑을 어떤 것으로 할 때 가장 자연스러운 선택이 될까? 하는 것이다. 이에 대해 합리적으로 답을 하기 위해서는 로가리듬 찾기 연산을 끌어들인 본질에 맞는 조건이 무엇일까? 를 생각해보지 않을 수 없다. 로가리듬 찾기가 천문학의 발전과 그 계산문제와 깊이 연관되어 있다는 것은 주지의 사실이다. 어떤 주어진 두 실수 a, b 가 주어지면 바로 x 를 찾기 위해서는 계산하기 편하거나 또는 매번 계산하기 보다는 a , b 에 따라 적당한 표가 만들어질 수 있으면 매우 편리했을 것이다. 이렇게 하기 위해서는 a 가 충분히 작아서 b 에 어떤 실수가 오더라도 x 가 복잡하지 않게 구할 수 있으면 좋을 것이다. 그렇다고 a 가 마냥 작은 것도 문제다. 왜냐하면 x 와 a, b 의 관계가 매우 불투명해지고 계산하기가 까다로와질 수 있기 때문이다. 그 안에서 조화로운 어떤 관계를 마련할 수 있는 a 를 찾아야 비로소 '자연스럽다' 말할 수 있다.

이제 2보다 더 작게 잡아보자. 지금은 양수만 생각하기로 하고, 1은 이미 후보에서 탈락했으므로 좋은 후보로 1보다 살짝 큰 수인 1.1 을 보: 파스칼 삼각형으로 어렵지 않게 찾을 수 있다.

$1.1^{0}=1$

$1.1^{1}=1.1$

$1.1^{2}=1.21$

$1.1^{3}=1.331$

$\dots$

1에서 2 까지 가기 위해서도 자연수인 지수들만 해도 여러 개 있어야 한다. (7제곱이면 1,95정도, 8제곱이면 2.14 정도다). 충분히 촘촘해졌다. 하지만, a , b, c 사이에 연관성이 적고, 아직 더 촘촘히 할 여유도 남았다. 조금만 더 촘촘히 해보자. (이것도 파스칼 삼각형으로..)

$1.001^{0}=1$

$1.001^{1}=1.001$

$1.001^{2}=1.002001$

$1.001^{3}=1.003003001$

$\dots$

아주 촘촘해졌다. 그런데 이것의 문제는 $a^{x}=b$ 꼴에서 x 가 주어진 a, b 를 연결하여 관계를 나타내는데 이것들 사이의 관계가 선명하지 않다는 것이다. 이 대신, 이 수가 1 에 1000분의 1을 더한 값을 밑 a 으로 삼은 터라, 조금 변형해주면 더 자연스러운 관계가 드러날 수 있다. 바로 우리의 밑에 1000 제곱을 하는 것이다. 그렇다면 x 는 매우 촘촘해지고, a, b, x 의 관계는 더 분명해지면서 표로 만들기가 아주 쉬우진다.

$(1.001^{1000})^{0}=1$

$(1.001^{1000})^{0.001}=1+0.001$

$(1.001^{1000})^{0.002}=1+0.002001$

$(1.001^{1000})^{0.003}=1+0.003003001$

$\dots$

여기서 만족하고 멈출 이유가 없다. 앞의 방식을 계속 연장해보는 것이다. 밑을 더 '크게' 해보자.

$(1.0001^{10000})^{0}=1$

$(1.0001^{10000})^{0.0001}=1.0001$

$(1.0001^{10000})^{0.0002}=1.00020001$

$(1.0001^{10000})^{0.0003}=1.000300030001$

$\dots$

보기도 좋고, 표로 만들기도 아주 좋아졌다. 이런 식으로 밑 a 을

$1.0001^{10000},1.00001^{100000},1.000001^{1000000},\dots$

로 해간다. 이렇게 밑을

$(1+{\frac {1}{n}})^{n}$

의 형태로 하고 n 을 아주 크게 할수록 관계들이 조화를 이루면서도 더 촘촘히 수를 만들고 따라서 표를 구하기 쉬워진다. n 이 커지면 커질수록 이 전체가 무작정 커지는 것이 아니다. 이 수는 '수렴'한다.

오일러는 이 수가 이것이 2보다는 크고 3을 넘지 않을 것이라는 알았고, 소수점 아래 22째자리까지 구하고 $e$ 라고 꼬리표를 달아주었다. 이 수가 정말로 어떤 상수(constant)로 수렴할까. 오일러 당시에는 '수렴' 에 대한 개념이 발달하지 않았다. 이는 나중에 보다 엄격하게 밝혀진다. 베이에르쉬트라스 정리에 따르면, 어떤 실수열 $x_{n}$ 이 다음의 두 조건을 만족하면 어떤 수 x 로 수렴한다.

• $\forall n\ (x_{n}<x_{n+1})$
• $\forall n\exists c\ (x_{n}<c)$

첫번째 조건은 수열이 커질 때, 점점 수가 커진다는 성질(Monotonicity) 이고 다음은 아무리 커져도 어떤 상수보다는 작다는 성질(boundedness) 이다.

Note

Math : Math글쓰기 | Math번역 | MathBoard | Math&Culture | MathMoim
OnLineMathCenter | MathCamp | SoftMathJournal | MathBook | CyberAcademia | Academia