Transcendental Number

자연수를 너머 로 돌아가기

대수적 수와 초월수(Transcendental Number)

수학이 탄생하면서 수천년 동안 사람들은 '이러저러한 이유로' 방정식의 해를 구하는 일반적인 방법을 찾아왔다. 일차식, 이차식, 삼차식, 사차식

$ax+b=0,\ ax^{2}+bx+c=0,\ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\ ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

에 대해서는 계수만 알면 곧바로 위의 식이 참이되는 x 를 '항상' 찾을 수 있다. 예를들어 학교에서는 일반적으로 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에 대해 그 계수들 $a,b,c$ 만 안다면 바로 0 을 만드는 '근'을 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 근호셈이라는 대수의 기본 셈을 통해 찾을 수 있다.

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

보다 일반적으로 어떤 다항

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

이 0 이 되도록 하는 근 $x$를 찾는 문제가 방정식인데, 그때, $n$ 이 커질수록 일반해는 찾는 것은 급격하게 복잡해진다. 하지만 $n$ 이 2 일때, 3일 때.. 근을 찾으러 탐험하는 동안 그 이전에는 생각하지 못했던 놀라운 세계를 발견해가곤 하였다. 자연수의 세계에서 복소수의 세계로 수를 확장해가면서 '비현실적'으로 보였던, 음수나, 무리수, 허수는 순수하게 수학적인 아름다움을 주는 것 말고도 '현실적'으로도 매우 유용하다는 것을 알게 되었다. 여기서 유리수에서 실수로 넘어가면서 신비로운 수들이 등장하여 유리수가 다 못채운 직선의 점들을 가득 메운다. 그 신비로운 수들을 무리수라고 부르는데 이 무리수는 두가지 형태로 나뉜다.

앞에서 나온 대수적인 방정식이란 대수적 연산으로 표현할 수 있는 모든 수들이다. 이 안에는 빽빽한 성질을 갖는 유리수와 우리가 학교에서 만나는 '거의' 모든 실수들이 이 안에 있다. 이 수들은 직선의 모든 점들을 다 메꿀 수 있을까? 다 못메운다면 어떤 수들로 그것을 메울 수 있고 그 수들은 도대체 어떻게 표현할 수 있단 말인가? 대수 방정식로 나타낼 수 없는 수라니, 도대체 어떤 수일까, 그 수들은 ? 17세기 후반 라이프니쯔는 대수적인 방정식의 근을 탐구하면서 '신비로운 수들' 이 있고, 그 가치가 특별하여 탐구를 더 깊게 해야한다는 것을 알아차렸다. 오일러는 대수방정식의 근이 안되는 수를 일컬어 "대수적 방법의 힘을 넘어서는 (...transcend the power of algebraic methods"(WIM p.104)라고 하였다.

이런 '초월적인 수'가 있다는 것을 보인 것은 고작 150여년 전의 일이다. 19세기 초 루이빌처럼 구체적으로 어떤 수들인지 밝혀내기도 하고 칸토르처럼 실수인 대수적 수와 실수전체 사이에는 엄청나게 많은 수들이 있다는 것을 보이기도 했다. 이로서 직선의 점들을 실수로 대응할 때 충분히 빽빽한 유리수에 다시 그보다 훨씬 많은 수인 대수적 수를 보태도 직선을 연속적으로 나타내기에는 턱없이 부족하다는 것을 알게 된다. 부족한 부분을 메꿔 마침내 연속하도록 하는 것이 초월수다. 칸토르가 밝혀낸 대로 해석해보면 '대부분의 실수는 초월수'인 셈이다.

정의와 기본 성질

정의 : 대수적 수  : 다음의 대수적 방정식이 참이되도록 하는 수 x 를 대수적 수(algebraic number)라 한다.

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

이때 n 은 1 보다 크거나 같고, $a_{n}$ 는 0 이 아니고 모든 계수는 정수다. (유리수라 해도 상관없다. 최소공배수를 곱해버리면 정수가 되니까.) 우리는 대수적 수들을 모두 모아놓은 집합을 $\mathbb {A}$라고 쓰기로 한다.

어떤 수가 이 집합에 있을까? 유리수는 $qx-r=0$ 꼴이므로 대수적 수에 포함된다. 유리수가 아닌 ${\sqrt {2}}$ 같은 수도 이 안에 들어있을 것이다. 왜냐하면 $x^{2}-2=0$인 대수 방정식의 근이니까. 그런데 ${\sqrt {2}}$ 는 어떤 경우라도 1차인 $qx-r=0$ 꼴인 대수 방정식의 근일 수는 없다. 이와 같은 개념을 확장하면 어떤 정해진 $n-1$ 차수까지 대수적 방정식의 근이 아니면서 $n$ 차수 대수방정식의 근인 원소들이 있을 것이다. 따라서 집합 $\mathbb {A}$ 을 여러 클래스로 나눠볼 수 있을텐데, 아래 루이빌 정리의 증명을 위해 다음과 같이 위의 집합을 쪼개어 생각해보자.

$\mathbb {A} _{n}$:= { n -1 차수까지 대수적 방정식의 근이 아니면서 n 차수 대수방정식의 근 }

예를들어

${\sqrt {2}}\in \ \mathbb {A} _{2},\quad {\sqrt[{3}]{5}}\notin \ \mathbb {A} _{2},\quad {\sqrt[{5}]{{\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt {10}}}}\in \ \mathbb {A} _{5},\quad$

성질과 주요결과 : $\pi ,e$ 는 초월수다.

가장 기본적인 성질은 지금까지 우리에게 알려진 수들과의 비교일 것이다. 유리수와의 비교는 명확하다.

$\mathbb {Q} \ =\mathbb {A} _{1}$

그런데 대수적 수는 모든 실수를 포함할까? 또는 모든 실수는 대수적 수를 포함할까?

$\mathbb {R} \ \not \subset \ \mathbb {A} ,\ \mathbb {A} \ \not \subset \ \mathbb {R}$

대수적 수와 실수는 서로 포함관계가 아니라는 뜻이다. 첫번째 사실은 칸토르가 밝혀낸 사실로부터 믿을 수 있다. 칸토르는 자연수 전체와 대수적 수 전체가 일대일로 대응할 수 있다는 것을 보였다 ! 그러나 자연수 집합과 실수 집합은 일대일로 대응하지 않는다 ! (이에 대해서 집합의 세계 에서 집합의 크기 부분을 참고하라.) 대수적 수에 근호를 수십, 수백 겹으로 복잡하게 쓰는 괴물같은 수들과 복소수들까지 일부 포함하고 있다는 것을 생각하면 이 사실을 무덤덤하게 받아들이기는 쉽지 않다. 실제로 칸토르의 이 성과는 19세기 수학계를 놀라게 했다. 다음, 대수적 수가 실수 집합을 포함하지 않는 이유는 대수적 수에 허수가 포함되어 있기 때문이다. $x^{2}+1=0$ 을 참이게 하는 수가 바로 허수다.

• $\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$ 꼴의 수는 초월수다. 최초로 초월수를 '보인' 역사적 사건이다.
• $e$ 는 초월수다. 프랑스의 샤를 에르미뜨가 1873년에 증명하였다.
• $\pi$는 초월수다.1882년 린더만이 증명하였다.
• $2^{\sqrt {2}}$ 는 초월수다. 힐버트 문제들의 일곱번째 문제였다. 일반화한 결과는 이렇다.

$a\in \mathbb {A} ,\ b\in \mathbb {A} _{k\geq 2}$ 이면, $a^{b}\$ 는 초월수다.

(이때, 당연히, a는 0 이나 1 이 아니다.) 다시 말해, 무리수인 대수적 수를 지수로, 대수적 수를 밑으로 하는 수는 모두 초월수라는 것을 증명한 것이다. 러시아의 겔폰드도 증명하고 독립적으로 독일의 쉬나이더도 증명했다. 모두 1934년의 일이다.

• $x$가 0 아닌 유리수면, $\sin(x),\ \cos(x),\ \tan(x)$ 도 초월수다.
• $a$가 1이 아닌 양의 유리수면, $\ln(a)$ 는 초월수다. 린더만-바이에르쉬트라스 정리.
• $e^{\pi }$는 초월수. 겔폰드 정리를 이용하여 증명하는 것이 알려졌음.

지금도 계속 새로운 초월수를 찾아내고 있고 초월수가 디오판테스 방정식을 푸는 중요한 영향을 끼친다는 결과들도 나왔다.

Liouvill, 초월수를 보이다

먼저 다음 기초정리를 보자.

기초정리 : $z\in \mathbb {A} _{n>1}$ 에 대해서, 다음의 조건이 만족한다. 모든 정수 $p$ 와 양의 정수 $q$ 에 대해,

$|\ z-{\frac {p}{q}}\ |>{\frac {1}{q^{n+1}}}$

이로부터 우리는 다음의 정리를 얻을 수 있다.

정리  : 다음 수 $t$은 위의 기초정리의 성질을 갖지 않는다. 다시 말해 초월수다.

$t:=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-1!}+10^{-2!}+10^{-3!}+\cdots +10^{-m!}+10^{-(m+1)!}+\cdots$

$=0.110001000000000000000001000\ldots$

정의 : 위의 수를 Liouville constant라 부른다. 그리고 보다 일반화해서, 다음과 같은 조건이 참인 '실수' $x$를 Liouville number라고 부른다.

" 어떤 정수 $p$, 양의 정수 $q$에 대하여

$0\ <\ |x-{\frac {p}{q}}\ |\ <{\frac {1}{q^{n}}}$

이 수는, 보통의 대수적 수와 다르게, 유리수와 매우 근사적인 수다.

리우빌 정리는 무엇을 말하고 있나?

우리는 앞에서 이야기하였듯, 무리수는 유리수들의 구간을 아무리 작게 해도 그 안에 있게 되고 ${\sqrt {2}}$에서 볼 수 있듯이 충분히 구간을 좁혀가면서 수렴하는 값이라고 말할 수 있다.

$1^{2}=1<2<2^{2}=4$ $(1.4)^{2}=1.96<2<(1.5)^{2}=2.25$ $(1.41)^{2}=1.9881<2<(1.42)^{2}=2.0264$ $(1.414)^{2}=1.999396<2<(1.415)^{2}=2.002225$ $(1.4142)^{2}=1.99996164<2<(1.4143)^{2}=2.00024449$ $\ldots$

그런데 기초정리에서 말하기를, 무리수 중 대수적 수 $z\in \mathbb {A} _{n>1}$는 유리수들에 근사적으로 다가가기는 하지만, '매우 심하게 근사적으로는 다가가지 않음'을 말하고 있다. $z$ 가 $\mathbb {A} _{n}$ 에서 등장한다면, 아무리 근사적인 유리수 ${\frac {p}{q}}$ 에 대해서도 그 $n$ 과 유리수의 분모 $q$로 이루어진 '정해진' 어떤 구간 ${\frac {1}{q^{n+1}}}$ 보다 더 근사적으로 다가갈 수는 없다는 것을 말한다. 근사적으로 다가가더라도 상대적으로 천천히 다가간다고도 볼 수 있다.

그런데 리우빌 정리의 증명을 보면 초월수는 그렇지 않다. 만약 그렇게 '매우 심하게 근사적으로 다가간다고 가정하면' 모순적인 사실을 내고 만다. 실제로 다가가는 구간을 조금 더 넓게 잡아도 무리수인 대수적 수는 근사적으로 다가가는 데 한계를 가지고 있다는 것이 밝혀졌다. ${\frac {1}{q^{n+1}}}$ 대신 ${\frac {1}{q^{{\frac {n}{2}}+1}}}$ 을 잡아도 된다는 것일 밝혀졌고, 더 나아가 ${\frac {1}{q^{2{\sqrt {n}}}}}$ 을 잡아도 기초정리는 성립한다는 것이 밝혀졌다. 일반적으로 기초정리는 다음과 같이 다듬어진다.

충분히 큰 $n$ 에 대해 어떤 무리수인 대수적 수 $z\in$에 대해서도 다음의 조건을 만족하는 양의 실수 R 가 항상 존재한다.

$|\ z-{\frac {p}{q}}\ |\ >\ {\frac {R}{q^{n}}}$

따라서 이 사실로부터도 초월수가 무리수보다도 더 많음을 어렴풋이 짐작해볼 수 있는 것이다. 자, 증명을 보자.

리우빌 정리의 증명

앞에서 말한 수에서 $10^{-m!}$ 항까지만으로 정의하는 유리수 $t_{m}$ 를 보자.

$t_{m}:=\sum _{j=1}^{m}10^{-j!}=10^{-1!}+10^{-2!}+10^{-3!}+\cdots +10^{-m!}$

루이빌 상수와 그것과 유사한 유리수의 차이는

$|\ t-t_{m}\ |<10\cdot 10^{-(m+1)!}$

인 관계가 성립한다. 만약 이 루이빌 상수 t 가 대수적 수라면 어떤 n 차 대수적 방정식의 근일 것이다. 그러면 기초정리에 따라 , $t\in \mathbb {A} _{n}$ 에 대하여

$|\ t-{\frac {p}{q}}\ |>{\frac {1}{q^{n+1}}}$

인 것은 분명하다. 이 때 유리수 ${\frac {p}{q}}$ 는 $t_{m}$ 과 같게 잡을 수 있다. 다시 말해, 충분히 큰 m 에 대해, $t_{m}:={\frac {p}{10m!}}$ 이게 잡는다. 어떤 정수 p 에 대해서도 성립하므로 q 가 $10m!$ 인 경우 알맞은 p 가 있을 것이다. 그렇다면 다음 관계가 성립한다.

$|\ t-t_{m}\ |>{\frac {1}{10^{(n+1)m!}}}$

앞에서 나온 두 부등식을 종합하면, 결과적으로

${\frac {1}{10^{(n+1)m!}}}\ <\ |\ t-t_{m}\ |\ <{\frac {10}{10^{(m+1)!}}}={\frac {1}{10^{(m+1)!-1}}}$

이다. 이는,

$(m+1)!-1<(n+1)m!$

라는 것을 뜻한다. 그런데 그런 경우도 있겠지만, 만약 $n<m$인 경우도 있기 마련이다. 명백히 잘못이다.

리우빌 기초 정리의 증명

아이구 지쳐... WIM 참고하세요. 다른 증명들도 여럿있지만, 그게 가장 elementary 한 것 같습니다....

Note

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