Proof arithfundth3

기초 정리 0 의 증명

(a,b)=1인 두 수 a, b에 대하여 다음 수들의 집합을 생각해보자.

$\{m|\ m=a\cdot y-b\cdot x\}$

이때 x,y 는 모두 정수고 m 은 자연수다. 가능한 m 들에서 가장 작은 수를 골라내 d 라 하자.

• d는 a와 b를 모두 나눈다는 것을 보일 것이다. a 에 대해서만 보인다. b는 a에 대해서 보인 것과 다를 것이 없다.

d 가 a 를 나누지 않는다고 해보자.

$a=d\cdot q+r$

인 q와 $0<r<d$인 r을 항상 찾을 수 있다. d는 위의 집합에 한 원소이므로,

$d=a\cdot k-b\cdot l$

인 정수 k, l이 있다.

$a-d\cdot q=r$ 이므로

$r=a-d\cdot q=a-q\cdot a\cdot k-q\cdot b\cdot l=a\cdot (1-qk)-b\cdot (ql)$

이므로 r 도 위의 집합에 있다는 말이다. 그런데 0 < r < d 고 d가 그 집합의 최소 원소라 했으므로 이는 말이 안되는 소리다. a는 d로 나뉜다.

• a와 b가 모두 d로 나뉘므로 d는 공약수여야 한다. 그런데 문제의 조건에서 (a,d)=1이라 했으므로 공약수는 1밖에 없다. 다시 말해 $a\cdot y-b\cdot x=1$인 정수 x, y가 존재한다.

기초 정리 1의 증명

주어진 a, b에 대하여 소수 p가 a를 나누지 않는다면, 앞의 (기초 정리 0) 에 따라

$1=ka+lp$

인 k, l을 찾을 수 있고, 따라서

$b=kab+lpb$

그리고 조건에서 p는 ab를 나눈다고 했기 때문에 mp = ab인 어떤 수 m이 있다. 따라서 위의 식을 다시 쓰면

$b=kmp+lpb=p(km+lb)$

이기 때문에 p는 b를 나눈다. 만약 소수 p가 b를 나누지 않는다면, 앞의 과정과 마찬가지로 p가 a를 나눈다는 것을 보일 수 있다. 증명 끝.

기초 정리 2 의 증명

수학적 귀납의 원칙을 써서 증명할 수 있다. (증명해보라.)

산술의 기본정리 로 돌아가기.

Note

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