Th Fund Algebra

자연수를 너머 로 돌아가기

대수의 기본 정리

어떤 실수 계수 1차 대수방정식

$ax^{2}+bx+c=0$

은 계수 a, b, c로부터 다음과 같이 근을 찾을 수 있다는 것을 보이는 것은 어렵지 않다.

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

이는 그 방정식의 근을 찾는 알고리듬이 이미 알려졌다는 것을 말한다. 3,4차 방정식의 근을 구하는 일반적인 알고리듬에 대해서는 3차 방정식의 근을 구하는 알고리듬을 보라. 오래 전부터, 방정식의 근을 구하는 알고리듬을 찾기 위한 노력은 계속되고 있었다.한 계수 $a_{n}\not =0,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots ,a_{1},\ a_{0}$가 실수 인 다항

$p(x):=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}$

이 0 이 되도록 하는, 다시 쓰면

$\exists x\ p(x)=0$

이 되는 실수 를 찾는 문제에 뜻있는 발걸음을 한 것은 16세기 중반으로 알려진다. 타르갈리아(Targalia), 카르다노(Cardano) 비롯해 여럿의 이름이 연관되어 복잡한 사연들이 전해져 내려온다. 어찌 되었건, 지금의 용어로 하면 3차 실수 방정식인

$x^{3}+ax=b$

와 4차식의 근을 찾는 일반적인 알고리듬을 찾은 것이다. 그후 그보다 큰 방정식의 근을 구하는 일반적인 알고리듬을 찾는 사람들이 많았으리라 짐작하는 건 어려운 일이 아니다. 17세기에 이르러 2 차 방정식의 근처럼 기초적인 대수의 연산으로 근을 찾는 문제는, 근이 있음 을 보이는 것으로 조금 물러난 형태로 나타난다. 그 역사를 간략히 훑어보면 이렇다.

• 1608년, 로쓰(Rothe)는 그 근이 구체적으로 어떤 형태인지 밝히지는 않았지만, $n$ 차 방정식에는 $n$개의 해가 있을 것이라고 주장했다.
• 1630년 전후로, 프랑스의 지라르(A.Girard), 데카르트(R.Descartes) 같은 이들이 위의 사실을 증명한다. 지라르는 위의 방정식에서 $a_{n}$ 이 아닌 다른 계수가 0 인 경우에도 근이 $n$ 개라고 밝힌다.
• 그 후 오일러와 다른 이들이 식과 증명을 다듬는다 : 모든 실수 계수 $n$차 다항은 실수 계수 1차 다항과 2차 다항의 곱으로 쪼개질 수 있음을 보였다.
• 그런데, 18체기 초 라이프니쯔는 $x^{4}+a^{4}$을, 베르눌리(N.Bernoulli)는 $x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+4$ 가 1차와 2차 다향의 곱으로 나뉠 수 없다고 주장하였다.
• 그러나 오일러는 베르눌리에게 편지를 보내 아래의 2차항으로 나뉠 수 있다는 것을 보여 반박했다.  :$(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha )(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha ),\,$

여기서 $\alpha$는 $4+2{\sqrt {7}}$의 제곱근이다. 또

$x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a{\sqrt {2}}x+a^{2})(x^{2}-a{\sqrt {2}}x+a^{2}).\,$

이다.

• 18세기 중반 부터 대수의 기본정리에 대한 증명들이 나온다. 유난히 거인들이 많았던 시대 18세기, 달람베르, 오일러, 라플라스, 라그랑쥐 같은 기라성들이 이 여정에 참여하였다. 이 증명들은 모두 증명과정에서 지라르가 했던 것처럼 어떤 신비한 근 이 있다고 가정하고 증명한 다음, 그 중 최소 하나는 복소수라고 증명하는 방법을 택했다.
• 18세기가 끝나가기 직전 J.우드와 가우스가 위의 가정을 하지 않고 증명을 하지만 부족한 부분이 있었다.
• 19세기기 시작되어 책방주인이던 Jean Argand가 엄밀한 증명을 해냈다. 그는 복소수를 '좌표축에 나타내 보이는' 기하학적 모델을 내기도 했는데, 실수 계수 뿐만 아니라 복소수 계수일 때도 대수의 기본법칙이 성립함을 보였다.
• 가우스는 처음 증명 후 약 20년 뒤에 새로운 증명을, 세상을 뜨기 몇 해전, 그러니까, 처음 증명 이후 50 여년이 흘러 다시 증명을 냈다.

'대수의 기본정리'에 대한 대부분의 증명은 어떤 형태로든 실수와 복소수의 '위상학적' 성질을 쓰고 있다. 그리고 어쨌건 해석학적인 도움을 받아야 한다는 점에서 '대수의 기본정리'라고 불리는 것이 '대수의' 기본 정리라고 하는 것에 썩 내켜하지 않는 수학자들이 있다.

대수의 기본 정리

여기서는 실질적으로 대수의 기본정리를 내포하고 있는 기초정리를 보고 그로부터 대수의 기본정리를 유도한다. 이 기초정리의 증명은 앞에서 말했듯 수학의 다른 분야의 도움을 많이 받아야 가능하다. 여기서는 다루지 않는다.

정리 (가우스 정리) : $n$차 복소수 계수 대수 방정식은 복소수 필드(場)에서 최소한 하나의 해를 갖는다.

이를 다시 식으로 써보면,

$\forall a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {C} \ \exists \alpha \in \mathbb {C} \ (p(\alpha )=0)$

여기서 다항 $p(x)$는 앞에서와 같고, $a_{n}\not =0$이다. 이로부터 다음을 보이는 것은 어렵지 않다.

대수의 기본 정리 : $n$차 복소수 계수 다항(polynomial) $p(x)$은 정확히 $n$ 개의 1차항으로 분해할 수 있고 1차항의 상수들은 $p(x)=0$인 방정식의 근이다.

이는 $p(x)=0$이도록 하는 근들로만 구성된 1차항으로 분해되고 그 외의 근은 없음을 말한다. 식으로 다시 써보면,

$\forall a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {C} \ \exists \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}\in \mathbb {C} \ (\forall i\ \in \{1,2,\cdots ,n\}p(\alpha _{i})=0\ \Leftrightarrow \ p(\alpha )=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n}))$

이때, 근들은 같을 수 있다. 예를 들면,

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)=(x-1)(x-{\frac {1-{\sqrt {3}}i}{2}})(x-{\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}})$

$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$

$x^{5}+ix^{4}-x-i=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)(x+i)$

증명

• 증명하기 전에 아래의 사실을 쓸 것이다. (확인해보라)

$(a^{n}-b^{n})=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+\cdots b^{n-2}a^{2}+b^{n-1}a+b^{n})$

• 먼저 근들로 된 1차항으로 쪼개진다는 것을 보이자.

증명을 간단히 하기 위해 $x^{n}$의 계수가 1 이라고 하자. 아니면 그 수로 나눠주면 될 것이다. 그렇다면, 위의 가우스 정리에 따라, 복소수 해가 반드시 존재하므로, 그 해를 $\alpha _{1}$ 라고 하면,

$p(\alpha _{1})=\alpha _{1}^{n}+a_{n-1}\alpha _{1}^{n-1}+a_{n-2}\alpha _{1}^{n-2}+\cdots +a_{1}\alpha _{1}^{1}+a_{0}=0$

따라서

$p(x)=p(x)-0=p(x)-p(\alpha _{1})=(x^{n}-\alpha _{1}^{n})+a_{n-1}(x^{n-1}-\alpha _{1}^{n})+a_{n-2}(x^{n-2}-\alpha _{1}^{n})+\cdots +a_{1}(x^{1}-\alpha _{1}^{n})$

이다. 위의 등식에 따라 이 식을 분해해보면, 반드시 $(x-\alpha _{1})$을 담고 있을 것이다. 다시 말해

$(x-\alpha _{1})q(x)$

인 $n-1$차인 다항 $q(x)$을 찾을 수 있다. 이때 새로운 다항 $q(x)$는 계산을 하여 찾은 $b_{n-2},b_{n-3},\cdots ,b_{1},b_{0}$ 를 계수로 갖는 아래의 꼴이 될 것이다.

$q(x)=x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

다시 가우스 정리에 따라 어떤 해 $\alpha _{2}$ 가 반드시 있게 되고, 따라서

$q(x)=(x-\alpha _{2})r(x)$

로 $n-2$차 다항 $r(x)$과 일차항의 곱, 다시 반복하면 $n-3$차 다항과 일차항의 곱... 이 반복되어 기껏해야 $n-1$ 번 반복하면, 결국 일차항끼리의 곱만 남는다.

• 이것들 말고는 다른 근이 없음을 보이자.

만약 복소수 공간에 다른 근 $\beta$ 가 있다고 하면

$p(\beta )=(\beta -\alpha _{1})(\beta -\alpha _{2})\cdots (\beta -\alpha _{n-1})(\beta -\alpha _{n})=0$

이다. 그런데 복소수 공간에서도 실수공간처럼 다음의 성질이 유효하다. (왜 그런가?)

$z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \ (\ z_{1}\cdot z_{2}=0)\ \Leftrightarrow \ z_{1}=0\lor z_{2}=0$

이를 수학적 귀납에 따라 확장해보면 $\beta$ 은 반드시 $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ 들 중 하나와 같게 된다. 증명 끝.

'대수의 기본정리'를 돌아보기

대수의 기본 정리는 $n$ 차 복소수 계수 대수 방정식이 일차항으로 쪼개져서 $n$ 개 이하의 복소수 해를 갖는다는 것을 말해주고 있다. 복소수에서는 해가 반드시 있다는 것이다. 그런데 과연 그 해를 찾는 알고리듬은 어떻게 되는가? 우리는 지금까지 이르는 동안 이런 예를 몇 번 보았다. 자연수 공간에서도, 산술의 기본정리에 따라 어떤 자연수든 소수들의 곱으로 쪼갤 수 있다는 것을 보았다. 대신 자연수가 주어지면 바로 그것으로부터 소수들의 곱으로 나타낼 알고리듬은 찾지 못하고 있다. 주어진 자연수를 소수들로 쪼개는 것은 세계에 존재하는 모든 알고리듬 중 가장 어려운 알고리듬이라고 알려진다. 따라서 어떤 시스템을 암호화하는데 응용하고 있다는 사실도 이미 말해왔다.

자연수의 공간이 아니라 수의 공간은 우리에게 드넓게 확장되었고 자연수가 아니라 대수식을 대상으로하는 문제를 볼 때, 위와 똑같은 질문을 던질 수 있다. 주어진 대수 방정식에 대해 항상 그것을 일차항의 곱으로 나타낼 수 있는 알고리듬이 과연 있을까? 다시 말해 주어진$n$ 차 대수방정식의 근을 구할 수 있는 일반적인 알고리듬이 과연 있을까? 이미 4차 대수방정식에 대해서는, 그 식에서 드러내는 정보인 계수들 만으로 근을 구할 알고리듬이 있다는 것을 보였다. 5차 대수 방정식에 대해서도 수많은 사람들이 그 일반적인 해를 찾기 위해 힘을 기울였다. 그러나 최종적으로 1826년 노르웨이의 24세 젊은 수학자 아벨(N.Abel)이 5차 이상의 대수방정식에 대해서는 근을 구할 일반적인 알고리듬이 없다는 것을 증명했다.

이에 대해 우리는 앞으로 다시 만나게 될 것이다.

Note

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