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자연수 세계를 넘어 : 정수에서 복소수까지

자연수 세계는 더 깊어지고 더 넓어지고 있다. 그렇다고 그것에만 머물러 있을 수는 없다. 일상에서 우리가 '경험하는' 수의 세계만하더라도 이미 자연수보다 매우 넓다. 그 이전에는 수로 여기지 않았던 '것'들이 수로 받아들이는 역사적인 과정이 꾸준히 일어나고 있기 때문이다. 이는 인류 문명이 낳은 자연스러운 결과다. 그런 시간적이고 역사적인 관점으로 설명할 수도 있지만, 사실 수의 확장은 논리적으로도 필연적인 결과물이다. 자연수 세계에서 작용하는 기초적인 연산들의 결과가 항상 자연수를 낳는 것이 아니다.

수의 세계는 자연수의 세계에서 0 과 음수를 받아들여 마침내 정수의 세계를 이룬다. 정수의 세계는 덧셈, 곱셈, 뺄셈 어떤 연산에도 정수 아닌 수를 내지 않는다. 유리수는 음수 이전에도 이미 있어서 어떤 양의 부분을 뜻했다. 여기에 음수의 개념을 받아 확장되었다. 유리수는 빽빽하게 붙어 있다고 생각하지만, 그럼에도 직선에 연속으로 표시할 수는 없다. 그 한계를 극복한 것이 바로 실수다. 이렇게 수가 확장되어 가는 것은 방정식과 같은 대수학의 개념이 발달해가는 것과 불가분의 관계에 있다. 대수적 방정식의 해가 되는 모든 수들까지 확장했을 때 '대수적 수'로 확장하고 그래도 메꾸어지지 않은 틈을 '가득' 채우고 있는 것이 초월수다. 이로써 실수의 세계가 기초를 다지게 된다. 그런데 사람들은 거기에 머무르고 있을 수 없었다. 엉뚱하게도 그때까지의 법칙들을 허물어버릴 수도 있는 상상을 하면서 그 실제(real)의 세계를 넘어선다. 제곱해서 음수가 나오는 수의 세계가 바로 그것이다. 마치 자연수에서 0 이 수의 세계에 지각변동을 일으킨 것처럼 허수 i 도 최소한 그만한 파괴력으로 새로운 세계를 열어간다. 실수에다 허수 i 가 추가되는 세계가 바로 복소수의 세계다.

고도의 추상적 단계에서 공리와 집합의 개념으로 단박에 실수를 정의하고 그로 그 부분인 유리수니, 정수니 정의해 내려올 수도 있지만, 우리는 자연수부터 차근차근 넓혀가면서 실수까지 그리고 복소수까지 확장해가는 역사적인 발달과정을 따라 갈 것이다. 그렇지만 역사적인 증거들보다는 어느 정도의 논리적인 틀로 설명한다. 이를 통해 수들과 그 표현, 4대 기본 연산에 대해 더 깊이 있게 이해할 수 있다.



Note


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