Geom Construction

작도 가능 으로

작도가능 문제 (총론)

'기하적 작도(Geometrical Construction) 가능' 문제란 보통

" 자와 컴퍼스를 써서 도형 그리기 "

로 받아들이곤 하는데 이는 사실과 많이 다르고 지나치게 모호하다. 왜 꼭 자와 컴퍼스이어야 할까? 그건 그렇다쳐도 자는 무엇이고 컴퍼스는 또 도대체 무엇일까? 자는 눈금 표시가 되어 있다는 것인가? 삼각자를 말하는가? 얼마나 긴 자인가? 컴퍼스는 중심에서 얼마나 벌려 그릴 수 있는 것일까? 그리고 '그린다'는 또 무언가? 연필로 그려 보여준다는 것인가? 어디다 얼마나 정확하게 그린다는 것일까? 가우스가 정17 각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능하다고 밝힐 때, 실제로 이렇게 이렇게 그린다고 보여주지는 않았는데 그렇다면 정 17각형을 그리지 않았으니 해결 안되었다고 할까? 그릴 수 있다를 보엿다고 하는데 그것은 또 무슨 말인가?

이런 모호한 부분들을 분명하게 해줄 필요가 있다. 현대의 용어로 바꾸어가면서 말해보자. 우선 도형을 보다 정확하게 정의해주자. 도형이란 '어떤 성질을 가진 점들의 집합'이다. 예를들어 원은 '중심으로부터 정해진 길이만큼 떨어진 점들의 집합'이다. 그리고 일상에서 만날 수 있는 수만가지 자와 컴퍼스를 머리 속에서 잠시 뒷전에 두고 모호하긴 해도 '어떤 도구'라고 바꿔 말해보자. 또 '그린다'라는 말을 '조건에서 요구한 점들의 집합을 찾는다.'로 바꾼 다음 다시 살펴보자. 그렇게 바꾸고 나면 작도가능 문제란,

• 주어진 점들의 집합으로부터
• 어떤 도구를 써서
• 몇 단계를 거쳐
• 주어진 조건을 만족하는 점들의 집합을

찾아낼 수 있나'의 문제를 일컫는 것이다.

처음보다 눈에 띄게 나아졌다. 하지만 여전히 문제는 남는다. 보다 엄밀하게 따지고 정해줄 필요가 있다. 그래야만'작도가능' 문제의 본질을 제대로 이해할 수 있다. 앞에서 말한 부분에서 가장 중요한 문제는 '주어진 점들이란 ?' , ' 어떤 도구란 ? ' ,' 몇단계를 거친다란 ? ' ,' 찾아낸다란 ?' 를 분명히 정하는데 있다.

작도 가능의 개념을 바로 하기 위해 짚고 넘어가야 할 것들

어떤 도구란?

가장 먼저 결정해야할 것이 바로 '어떤 도구'다. 기하적 작도가능 문제의 출발점이 '자와 컴퍼스'였고 여전히 작도가능 문제의 표준은 '자와 컴퍼스'이므로 여기서도 '자와 컴퍼스'를 표준으로 받아들인다. 그런데 자와 컴퍼스라니? 자는 삼각자를 말하는지, 자의 길이와 폭은 얼마나 되는지, 눈금은 어떻게 되어 있는지, 컴퍼스란 도대체 무엇인지. 모호하기 때문에 이를 분명히 정해야 한다. 우리는 여기서 자와 컴퍼스라고 하면

눈금이 표시되지 않았고 표시할 수 없고 폭이 없고 직선의 길이가 끝이 없는 상상 속의 자

를 떠올리기로 한다. 다시 말해

주어진 두 점이 있으면 두 점을 이어 직선을 그리는 도구

를 마음 속에 두기로 하자. 실제의 세계에서는 점을 찍는 순간 점이 아니고 직선을 그리는 순간 직선이 아니게 된다. 우리가 아무리 작은 점을 찍고 아무리 가는 선을 그린다해도 배율이 큰 현미경으로 보면 점도 아니고 선도 아니다. 따라서 점이나 직선은 상상 속에 존재한다. 따라서 그것을 그리는 '자' 는 상상 속의 '이상적인 자'가 되는 셈이다. 마찬가지로 원을 그리는 도구인 컴퍼스라고 할 때도

두 점 중 하나는 중심, 다른 하나는 반지름을 결정하여 원을 그리는 도구

라는 '이상적인 컴퍼스'를 마음에 두기로 하자. 원은 중심에서 반지름만큼 거리가 같은 점들의 집합이기 때문에 어떤 원을 결정하는 것은 두 점, 다시 말해 중심과 원위의 한 점이면 충분하다.

물론 작도하는 도구를 우리는 축소하기도 하고 확대할 수 있다. 축소의 예를들어보면

길이가 정해진 자, 두 발의 폭이 한계가 있는 컴퍼스

처럼 주어진 도구에 한계를 둘 수 있고,

오로지 자만 써서, 오로지 컴퍼스만 써서

로 해서 작도하는 도구의 종류를 줄일 수도 있다. 반대로

평행한 두 직선을 그을 수 있는자 , 어떤 점을 표시할 수 있는 자

와 같이 도구에 어떤 새로운 기능을 넣을 수 있고

삼각자나 한글의 'ㄷ'자 모양의 자를 추가 , 회오리를 그릴 수 있는 도구 , 원이 회전해가면서 원의 한 점이 자국을 남기는 도구 (Cycloid를 그리는 도구)

와 같이 새로운 도구를 추가할 수도 있다.

표준을 축소하거나 확대하면 어떻게 될까? 이런 궁금증들이 생길 수 있다.

• 표준적이고 이상적인 도구에 한계를 주어 축소하는 효과를 낼 때, 과연 자와 컴퍼스 작도 문제로 풀릴 수 있는 모든 문제는 축소일 때도 풀릴 수 있을까?
• 새로운 기능을 더해서 도구를 확대하였을 때, 자와 컴퍼스로 풀지 못하는 어떤 문제를 풀 수 있을까? 풀 수 있다면 그 문제들은 어떤 성격을 가지고 있기 때문에 그렇게 되는 것일까?

앞으로 이런 문제들에 대해 짚어가볼 것이다 : 작도 가능의 축소와 확대

주어진 점들이란 ?

문제에서 조건을 명확히 보여준다면 거기서 출발해서 요구하는 점들을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는지 알아볼 수 있다. 조건으로 주어진 점들의 집합이 공집합이라해도 우리에게는 이상적인 자와 컴퍼스라는 도구가 있으므로 (마음 속에) 아무 직선이나 그을 수 있고 아무 원이나 그릴 수 있다. 하나의 직선을 그리고 나면 평행하지 않은 직선을 또 하나 긋고 만나는 점을 정할 수 있다. 그런 과정을 이어서 하면 우리는 아무 점이나 우리가 원하는 만큼 얻을 수 있다. 마찬가지로 원과 원, 직선과 원으로부터 어떤 새로운 점을 생성할 수 있다. 공집합이 아니라면 어떤 점들을 주게 된다. 삼각형이 주어지면 세 점이 주어진 것으로, 원이 주어지면 중심과 반지름을 알 수 있는 점이 주어진 것으로 보면 된다. 삼각형 '안으로' 직선이 지난다면 삼각형의 세 점과 만나는 두 점(왜 두 점이어야 할까?), 그래서 모두 다섯 개의 점이 주어진 것으로 보면 된다. 따라서, 작도 가능 문제라고 할 때 표준적인 형태는 어떤 점도 주지 않거나 어떤 유한개의 점들이라 하자.

'주어진 점들의 집합은 유한 집합이다.

이때, 어떤 점이 주어지면 이 점들은 자와 컴퍼스로 작도 가능한 점들이어야 한다. 그랬을때 비로소 그 문제가 작도가능한지 그렇지 않은지 해결하는 의미가 있다. 예를들어 타원이 주어졌다고 해보자. '타원'의 경우는 자와 컴퍼스로 그릴 수 없는 것으로 알려졌다. 그래서 타원이 주어졌다면 유한 개의 점이 주어졌다고 말하지 않는다. 포물선이나 쌍곡선도 마찬가지다. 그런 무한개의 점들이 특별하게 주어진다는 것은 엄청나게(!) 많은 것을 가지고 시작하는 것을 뜻하고 이는 고전적인 작도가능과 다른 개념이다. 이런 예는 앞으로 고전적 3 대 문제의 작도 가능성을 따질 때 볼 수 있다. 그런 도형들이 주어지거나 그릴 수 있다면 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없는 문제도 작도 가능하게 된다.

주어진 점들에 따라 해결 가능한 문제의 범위가 얼마나 차이나는지 짐작할 수 있는 사례를 하나만 들어보자. 하나의 정리를 보면 그 뜻을 짐작할 수 있다. 스위스의 쉬타이너와 프랑스의 퐁셀레는 독립적으로 다음과 같은 정리를 증명하였다.

(쉬타이너-퐁셀레 정리)  : 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 문제는 중심과 반지름이 주어진 원 하나와 자만으로 작도할 수 있다.

이 정리는 원 하나만 분명하게 주어졌다면, 다시 말해, 컴퍼스를 한번만 쓸 수 있다면, 자와 컴퍼스를 얼마든지 써서 작도할 수 있는 것과 자만 써서 할 수 있는 것과 본질적으로 차이가 없다는 것을 말해준다.

'몇 단계를 거친다'란?

자와 컴퍼스를 쓴다는 것을 다시 말하면 이렇게 정리할 수 있다. 이것은 공리(axiom)와 같은 역할을 한다.

• 주어진 두 점으로부터 직선이나 원을 작도할 수 있다.
• 주어진 직선이나 원위의 (정해진 법칙이 없는, 따라서 작도의 결과에 영향을 주지 않는) 아무 점이나 얻을 수 있다.
• 직선과 원, 원과 원, 직선과 직선이 교차할 때 한 점을 정할 수 있다.

따라서 주어진 유한개의 점들의 집합으로부터 출발하여 위의 세가지 중 하나를 적용하여 새로운 점이나 도형을 생성해갈 수 있다. 앞에서 직선과 원, 다각형은 모두 유한개의 점으로 정할 수 있다고 말했기 때문에 간단히 말할 수 있다.

주어진 유한개의 점들로부터 위의 공리를 적용하여 새로운 점들을 정할 수 있다.

그렇게 새로운 점들 찾게 되는 과정을 '단계를 거친다'고 이해하면 된다. 여기서 단계마다 새로운 점이 생성되면 그 점은 '주어진 점들의 집합'에 포함된다. 처음 출발 지점에서 점들의 집합이 $A_{0}$ 였고, 한 단계를 거쳐 새로운 점들을 정하게 된다면 다음 단계의 주어진 점들의 집합은 $A_{0}$ 에 그 새 점들을 포함한 $A_{1}$ 이 될 것이다. 그렇다면 어떤 단계 i 에 대하여

$A_{i}\subset A_{i+1}$

이다.

고전적이고 표준적인 '작도 가능'을 이야기할 때, 단계는 끝도 없이 계속하는 것을 허용하지 않는다는 사실에 주의하라. 무한번 단계를 계속해간다면, 자와 컴퍼스로 '이상적으로' 정확히 작도할 수는 없더라도, 무한히 근사적으로 나타낼 수 있게 된다. 따라서 표준적인 작도 가능에서 해결할 수 없는 문제들도 무한히 근사한다라는 개념을 써서 작도할 수 있게 된다. 그런 가능성을 배제한 것이다. 실제로 $\pi$는 그 '초월성' 때문에 자와 컴퍼스로 작도 할 수 없지만, 매우 근사한 정도로는 작도할 수 있게 된다. '근사적으로 작도함'이라는 개념을 새롭게 정립해서 그 성질을 살펴 볼 수도 있을 테지만, 이는 본래 의미의 작도 가능 문제와 다른 새로운 주제라 할 수 있다.

'작도가능한 해를 찾을 수 있다' 란?

해를 찾을 수 있다는 것이 무엇인지 정해주면서 드디어 우리는 '작도가능' 문제의 표준적인 정의를 내리게 된다. 자와 컴퍼스로 '작도가능 문제의 해를 찾을 수 있다'는 것은

주어진 점들의 집합으로부터 유한번의 단계를 거쳐 문제의 조건을 만족하는 점들의 집합이 가능함을 보인다.

를 말한다. 앞에서 했듯이 말한다면 작도의 기본 공리를 적용하여

$A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\cdots ,\ A_{n-1}$

의 단계를 밟아가다가 문제의 조건을 만족하는 어떤 점들이 들어 있는 집합 $A_{n}$을 마침내 찾을 수 있다는 것이다.

작도가능은 직접 그리는 것까지 요구하지 않고 '가능함'을 보이는 것으로 만족한다. 진짜 자나 컴퍼스 같은 도구를 써서 필요한 도형을 '실제로' 그리는 실용적 목적 보다, 이론적으로 그것이 가능한가 아닌가에 대한 수학적 사실을 밝히는 것에 관심을 집중한다는 것을 뜻한다. 따라서 '실제 그리는' 이라는 뜻이 많이 담긴 '작도'라는 말보다 보다 '작도가능'이라는 말을 쓰는 것이 보다 정확하다고 생각한다. 작도 가능할 때 비로소 '그렇다면 과연 어떻게 그것을 구현할까?' 하는 '작도 문제'로 넘어갈 수 있다.

다시, 작도 가능의 정의

위의 내용을 요약하여 '표준적인 작도 가능'을 다시 정의하자.

• 주어진 점들의 집합으로부터 : 점이 안주어져도 상관없지만, 주어진 점이 무한 집합은 아니라고 가정한다.
• 직선과 원을 그릴 수 있는 도구를 써서  : 그 도구의 작도 가능한 '선'의 특징을 파악할 수 있다고 가정한다.
• 매단계 새로운 점을 주어진 점들의 집합에 더해가면서  : 무한번 계속할 수는 없다고 가정한다.
• 주어진 조건을 만족하는 점들의 집합을 찾는다 : 단계를 유한번으로 제한하였으므로 목표로 하는 집합도 무한 집합은 아니라고 가정한다.

이런 기준에 맞추어 어떤 도형을 얻을 수 있으면 (표준적으로) '작도 가능하다' 고 한다.

'작도 가능'에 대해 우리는 무엇을 볼 것인가?

당연히 작도가능 문제는 그 자체로 아직 수학적인 의미를 아직 갖지 않는다. 왜냐하면 문제의 조건들이 아직 주어지지 않았기 때문이다. 구체적인 문제마다 주어진 것과 찾을 조건, 사용할 도구가 주어지면 그에 따라 작도가능한지 그렇지 않은지를 밝힐 수 있다. 그러나 이것이 일반적인 수학적 법칙을 낼 수 없음을 뜻하는 것이 아니다. 앞으로 우리가 보겠지만 '도구'와 '그 도구가 어떤 도형을 작도할 수 있는지' 하는 도구의 성격이 밝혀지면 그로부터

• 기하적으로 작도가능함을 대수적 언어로 옮겨, 어떤 도구 A로 작도 가능한 모든 문제의 필요조건이나 충분조건을 찾고
• 우리는 '도구 A 가 풀 수 있는 문제는 도구 B 가 풀 수 있다.'

와 같은 수학적 결실들을 얻게 된다.

우리가 앞으로 살펴볼 내용을 요약하면 아래와 같다.

• 표준형 작도 가능성 기본 : 유클리드 기하학의 기본 정리의 작도 가능성
• 기하의 연산 또는 변환(transformation)(예: 비례, 대칭, 뒤집기(Inversion), 아핀(affine) 변환 : 축소와 확대)들의 작도 가능
• 표준형 작도 가능성과 비표준형 작도가능성의 비교
  • 축소된 도구(컴퍼스 하나, 자 하나, 자 하나와 정해진 원하나)를 이용하면 할 수 있는 작도가 본질적으로 적어지는가?
  • 약간 확대된 도구 (예 : 삼각자)를 쓰면 본질적으로 더 많은 작도를 할 수 있나?
  • 제한된 도구(길이가 정해진 자, 끝없이 넓은 평면을 가정했던 것에서 제한된 평면을 가정했을 때... )
• 고전적 3 개 작도가능 문제의 해결 노력
• 표준형 작도 가능의 대수적 표현 : 작도 가능수(Constructible number)의 필드(field)
• 표준형 작도 가능성을 벗어난 작도 : 고전적 3 대 작도문제의 작도 불가능성
• 본질적으로 확대된 도구를 이용한 작도 가능 문제 : Quadratrix, Cycloid, Spiral
• 평면의 작도 가능과 공간에서의 작도가능의 비교

Note

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