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작도가능 으로 돌아가기

작도 가능의 축소와 확대

이미 작도 가능 문제(총론) 에서 표준적인 작도 가능의 뜻은 어느정도 정의를 했다. 그렇다면 이 표준을 바꾸면 어떻게 될까? 작도 가능의 정의에서 등장한 조건들을 '확대하거나 축소한' 가정이나 조건으로 작도한다면 그 결과는 어떻게 될까? 먼저, 작도 가능 문제를 정의할 때 등장한 조건들을 $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ 라는 문장들을 나열해보자. 정의에 따르면

• $C_{1}:$ 주어진 유한개 점의 집합으로부터
• $C_{2}:$ 분명히 정해진 기능을 하는 도구를 사용하여 작도하면서 (표준적으로는 '자와 컴퍼스')
• $C_{3}:$ 단계마다 새로운 점을 추가하면서 (앞서 작도한 직선과 원들의 교점, 또는 그 위의 임의의 점)
• $C_{4}:$ 유한번 단계를 거쳐
• $C_{5}:$ 마침내 목표로 하는 유한개 점들을 찾아낸다.

여기에 드러내지는 않았지만 암묵적으로 가정하고 있는 아래 부분을 추가하자.

• $C_{6}:$ 어떤 두 점을 지나 직선을 작도하는 자는 끝없이 연장할 수 있다.
• $C_{7}:$ 작도하는 평면은 끝이 없다.

이상적인 자와 종이를 현실적인 자와 종이로 : ($C_{6}',C_{7}'$)

가정 $C_{6},C_{7}$ 는 현실적으로 가능하지 않다. 그래서 마음 속에서 상상의 작도를 한 셈이다. 예를 들어 어떤 네 점 A, B, C, D 가 있다고 할 때, ( $C_{1}$)

• (이상적인) 자로 A와 B 를 잇는 직선 AB 과, C와 D를 잇는 직선을 작도한다. ( $C_{2}$)
• 이 두 직선 AB , CD 가 평행하지 않다면 항상 교점 E 를 얻을 수 있다. ($C_{3}$)

라는 사실은 우리가 했던 가정에 따르면 당연해보인다. 그런데 현실적으로는 끝없이 연장할 수 있는 자도 없고 그것을 그릴 평면도 끝없이 넓을 수 없다. 그 가정들을 축소해서 다음과 같이 더 현실적으로 바꾸었다고 하자.

• $C_{6}':$ 정해진 길이 a 보다 작은 거리에 있는 어떤 두 점이 있다면 이를 잇는 직선을 작도할 수 있다. 다시 말해 자의 길이가 a로 정해졌다고 하자.
• $C_{7}':$ 우리의 평면은 끝이 있다. 다시 말해 공책 크기 종이에 작도를 한다고 하자.

앞의 예에서 새로 얻을' 점 E 는 새롭게 가정한 우리의 평면 밖에 위치할 수 있다. 그리고 점 A 와 B 사이의 거리가 a 보다 클 수도 있다. 그래서 AB, CD 를 연장해서 점 E 를 작도할 수 있을까? 물론 작도할 수 없다. 연장하면 있겠구나 짐작할 수는 있지만 그것을 '눈에 보이게' 나타낼 수는 없어 보인다. 그렇다고 이것이 '작도 가능'이 본질적으로 축소되었다고 할 수는 없다. 왜냐하면, 첫째, 작도가능이란 눈으로 직접 보이는 것이 아니라, 그 점을 찾을 수 있는 방법(알고리듬)을 구체적으로 드러내어 그 방법에 따라 찾을 수 있다는 것이 의심할 수 없으면(그 점이 문제의 조건을 충족한다고 증명하면) 그것으로 충분하기 때문이다. 결론적으로, 모든 의미있는 작도 가능한 기하학적 문제는 현실적인 자와 평면에서도 작도 가능하다. 어떻게 그것을 보일까?

어떤 거리로 제한된 자

어떤 자의 길이가 제한되어 있다 하더라도 표준적이고 이상적인 자를 썼을 때와 견주어보아도 작도 가능이 본질적으로 축소되지는 않는다. 정말 그럴까? 여기에 쓰이는 정리는 다음과 같다. (스스로 증명해보라.)

정리 : 각 MAN 과 그 반직선에 없는 점 Q가 주어졌다하자. 점 Q을 지나는 세 직선을 그어 만나는 점을 $E_{1},E_{2},E_{3}$ 와 $D_{1},D_{2},D_{3}$라 하자. 그럴 때, $E_{1}D_{2}$와 $E_{2}D_{1}$의 교점을 B라 하고 $E_{2}D_{3}$와 $E_{3}D_{2}$의 교점을 C라 하면, 점 A, B, C는 한 직선에 속한다. (오른쪽 그림)

그러면 다음 사실을 보일 수 있다.

어떤 두 점 A, B의 거리가 주어진 자의 길이 a 보다 크다고 해도 직선 AB를 작도할 수 있다.

• 자를 반복해서 써서(어떻게 작도할까?), 점 B 에 '충분히 가까이' 있고 A 를 지나는 직선 $l_{1},l_{2}$ 를 작도한다. 여기서 주어진 길이의 선분을 연장하는 작도는 컴퍼스만 써도 된다. 오른쪽 그림에서처럼 선분 a 를 결정하는 두 점이 O 와 A 라 하고 이를 컴퍼스만 써서 연장해보자.
  • 점 O 에서 A로 원을 작도 하고 점 A에서 |OA|를 반지름으로 하는 원을 작도하여 만나는 점을 P라 한다.
  • 점 P를 중심으로 하고 마찬가지 방법으로 원을 작도하여 점 Q를 얻는다.
  • 점 Q를 중심으로 하고 마찬가지 방법으로 원을 작도하여 점 C를 얻는다.
  • 이때 선분 AC는 선분 AO의 두배가 되고 하나의 직선위에 있는 점이다. 이 과정을 반복한다.
• 점 B 를 지나는 서로 다른 두 선분 $m_{1},m_{2}$ 을 작도하여, 선분 $m_{1},m_{2}$ 들이 직선 $l_{1}$ 과 만나는 점을 $E_{1},E_{2}$ 로 하고 직선 $l_{2}$ 과 만나는 점을 $D_{1},D_{2}$ 로 한다.
• 선분 $E_{1}D_{1}$와 $E_{2}D_{2}$의 교점을 Q라 한다.
• 점 Q를 지나는 직선을 그어 직선 $l_{1}$ 과 만나는 점을$E_{3}$, 직선 $l_{2}$ 와의 교점을 $D_{3}$ 로 한다.
• 선분 $E_{2}D_{3}$와 $E_{3}D_{2}$의 교점을 C라 한다.
• 그럴 때, 점 A, B, C 는 한 직선에 있다. 따라서 B와 C를 잇는 직선이 우리가 찾던 직선이다.

제한된 평면

닮음-축소

처음부터 암묵적으로 끝없이 펼쳐지는 평면이라고 가정했지만, 실제로 작도하는 평면이 A4 용지처럼 어떤 크기의 평평한 종이라고 해보자. 이 현실적인 평면을 평면을 P 라 하자. 이제 이 평면 P 에 있는 어떤 점 B 에서 이 평면 '밖에' 있는 점 A 로 직선을 작도할 수 있다는 사실만 보이면 충분하다. 방법은 최소한 두가지다.

(방법 1) 앞의 '자의 제한'에서 처럼 A, B의 직선을 앞의 작도에서 BC 직선과 같으므로 마찬가지 방법으로 하면 된다.

(방법 2) 축소된 닮음 변환을 씀

• 점 B 에 '충분히 가까이' 있고 A 를 지날 직선 $l_{1},l_{2}$ 를 작도한다.
• 평면 P 에 축소할 때, 축소하는 정도를 알 수 있는 기준이 되는 점 O를 찍어 O 에서 축소 닮음 변환을 한다. 직선 $l_{1},l_{2}$는 $l_{1}',l_{2}'$로 '짧고 평행하게' 옮겨지고 점 B는 B'에 대응한다.
• 직선 $l_{1}',l_{2}'$이 만나는 점을 A'로 놓는다.( 직선 A'B'는 AB 에 평행하다)
• 직선 A'B'에 평행하고 점 B를 지나는 직선을 작도하면 이 직선이 작도하고자 했던 직선이다.

축소된 평면에서 얻은 직선은 그것을 연장하면 결국 무한히 뻗어 있는 평면에서 두 점을 잇는 것과 다를바 없다. 위와 같이 평면 전체를 축소해야할 경우 뿐만 아니라, 평면에 구멍이 뚫려 있어서 두 점사이를 직접 이을 수 없는 경우도 앞에서 했던 축소 닮음 방법으로 방법으로 극복할 수 있다. A 지점에서 B 지점으로 직선을 측량하는데 그 중간에 산이 가로 막고 있거나 연못이 놓여 있을 경우를 상상해보라.

무한개의 점이 주어질 수 있다면 ( $C_{1}'$)

유한 개의 점이 주어진 것이 아니라 무한 점이 주어질 수 있다면 어떻게 될까? 예를 들어 주어진 점들의 집합을 좌표축에서

$\{(x,y)\ |\ y=x^{3}\ \}$

라고 한다면 우리가 풀 수 있는 문제는 근본적으로 확장할 수 있을까? 이 경우는 작도 가능의 범위가 본질적으로 확장된다. 예를들어 위의 집합이 주어졌다고 하자.(설명의 편리를 위해 좌표를 알 수 있다고 하자) 그렇다면 x 좌표를 이루는 직선에 평행하고 거리가 2 만큼 떨어진 직선

$y=\ 2$

를 자와 컴퍼스로 작도하고 원래 주어진 점들의 집합과 새로 만들어진 도형의 교점(${\sqrt[{3}]{2}},2$)으로 '어떤 큐빅의 두 배인 부피의 큐빅'의 한변의 길이의 예가 되는 선분 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 을 작도할 수 있게 된다.

질문 : 무한 개의 점이 주어질수 있다는 가정을 하면 대표적인 작도 문제인 각의 삼등분, 원의 면적과 같은 정사각형 작도하기와 그 역, 정 다각형의 작도 문제들을 풀 수 있을까? 작도할 수 있는 경우, 어떤 무한점들을 가정하면 될까? 다양한 예를 찾아보시오.

자와 컴퍼스의 가정을 바꾼다면 ( $C_{2}'$)

원래 표준적인 정의에서는 '이상적인 자와 컴퍼스'를 쓰고 있는데 이의 가정을 바꾸어, 자만 쓰거나, 컴퍼스만 쓰거나, 자에 눈금이 표시된 자를 쓰거나, 직각을 작도할 수 있는 자를 쓰거나, 아니면 자와 컴퍼스보다 더 복잡한 도구를 써서 작도한다면 그때 $\mathbb {S}$ 는 근본적으로 축소되거나 확장될까?

컴퍼스만 쓸 경우

작도 가능의 기초 첫부분 예제를 다시보라. 여기서 주어진 문제에 대해 두가지 작도 알고리듬을 제시했다. 이 두가지의 방법의 근본적인 차이는 하나는 직선을 그릴 수 있는 '자'를 쓸 수 있었다는 것이다. 이 직선 위에 있는 점들에 대해 '직선 위에 있다(collinear)' 하다는 것은 굳이 밝히지 않았도 되었다. 하지만, 두번째 방법은 자 없이 컴퍼스만으로 작도한 것이라, 원을 여러개 그려 서로 만나는 점들을 얻었다고 해도, 그 새로 얻은 점들이 '정말로 한 직선 위에 있는지' 밝혀주어야 했다. 이처럼 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 문제를 컴퍼스만 써서 작도할 경우 그 알고리듬도 복잡해지고 증명은 더 까다로와 질 수 밖에 없다.

예제 1: 직선 AB 와 어떤 점 C 를 중심으로 하는 원의 두 점에서 교차한다고 하자. 두 교차점을 작도하라. 점 C 를 중심으로 하는 원의 반지름을 r 이라 하자.

자와 컴퍼스가 모두 있을 때는 이것은 '공리'인 셈이다. 하지만, 컴퍼스만 있다고 할 때 이 문제는 벌써 공리가 아니고 증명해야한다. 다음의 알고리듬이 가능하다.

• 점 A 를 중심으로 하고 점 C 까지를 반지름으로 하는 원을 작도
• 점 B 를 중심으로 하고 점 C 까지를 반지름으로 하는 원을 작도
• 두 원의 교점 중 C 가 아닌 점을 C' 라 하자. C 에서 r 을 반지름으로 하는 원을 작도하고 C '에서도 마찬가지.
• 이 때 만나는 두 점이 D 와 E 다.

이 문제의 증명의 핵심은 위의 알고리듬으로 얻은 두 점 D, E 가 정말로 A, B 와 collinear 하냐는 것을 보이는 데 있다. CC'는 직선 AB 와 직각이고 동시에 직선 DE 와도 직각이다. 따라서 두 직선 AB 와 DE 는 평행하거나 겹친다. 그런데 C , C' 에서 A 또는 B 까지 떨어진 거리는 r 로 같다.

그런데 여기서 C 가 아무데나 가능한가 ? 만약 C 가 A 와 겹친다면?

예제 2 : 주어진 두 선분 AB 와 DE 가 있다고 하자. 그리고 점 C 가 점 A와 B 사이를 m : n 으로 나눈다고 하자. 그럴 때, 두 점 D 와 E 사이에도 m : n 으로 나누는 점 F 를 찾을 수 있다. 컴퍼스 만 써서 작도해보라.

• 점 D 와 점 E 를 중심으로 하고 반지름을 AB 로 하는 두 원을 그려 교차점을 얻는다. 이 점 중 하나를 G 라 하자.
• 점 G 에서 BC 를 반지름으로 하는 원을, 점 D 에서 AC를 반지름으로 하는 원을 작도. 만나는 한점을 H 라 하자.
• 점 D와 H 에서 AC 를 반지름으로 하는 원을 그려 만나 새로 얻은 점이 바로 F 다.

여기서도 마찬가지로 DFE가 collinear 하다는 사실과, 문제의 비례 관계가 성립한다는 사실을 모두 보여야 한다. 스스로 보여보라. (넌지시: GDE와 HDF는 닮은 꼴의 삼각형을 이룬다. ) 이 알고리듬을 잘 보라. 이 작도 알고리듬으로 하면 선분 AB 의 길이가 아주 작을 경우 이런 작도는 언뜻 봐서는 도움이 안된다. 정말 그런가? (그렇지 않다. 우리는 주어진 선분을 얼마든지 '늘릴' 수 있다. 주어진 선분 AB 가 충분히 크다고 가정해도 된다. )

놀랍게도, 컴퍼스만 쓸 경우도 자와 컴퍼스를 쓰는 것과 본질적으로 차이가 없다고 밝혀졌다. 이 사실은 17세기 중반 덴마크의 모어(Mohr) 와 이탈리아의 마스케로니(Mascheroni) 가 100년 정도의 시차를 두고 독립적으로 증명하여 모어-마스케로니 정리로 알려졌다.

모어-마스케로니 정리  : 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 문제는 컴퍼스만으로 작도가능하다.

물론 이 사실이 '직선을 컴퍼스로 그릴 수 있다'는 것을 뜻하지 않는다. 처음에 정의할 때, 직선은 두 점으로 정의된다고 하였으므로, 모어-마스케로니 정리는 직선을 이룰 수 있는 두 점을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있을 경우, 반드시 컴퍼스만으로도 작도할 수 있다는 것을 뜻한다. 이 정리를 확신하는데 필요한 핵심은, 물론

직선과 직선의 교점, 직선과 원의 교점을 컴퍼스만을 써서 작도할수 있나 ?

에 따라 결정된다. 어떻게 할까?

다음의 과정을 밟아 이를 증명할 수 있다.작도에는 컴퍼스만 사용하므로 아래 작도는 모두 '컴퍼스 작도가능'이라는 점을 환기하라.

• 선대칭 : 세 점 A, B, C 가 주어졌다. 그럴 때, 점 C 가 직선 AB 에 '대칭(symmetry)'하는 점을 작도할 수 있다.
• 점의 뒤집기 원$\Sigma (O,r)$ 과 점 A가 주어졌다. 그럴 때 점 A의 뒤집힌(inversion) 점을 작도할 수 있다.
• 직선의 뒤집기 : 원 $\Sigma (O,r)$ 과 점 A, B 가 주어졌다. 그럴 때 직선 AB의 뒤집힌 원을 작도할 수 있다.
  • 점 O가 직선 AB에 대칭한 점 O'를 작도한다.
  • 점 O'를 원 $\Sigma (O,r)$ 에 대해 inversion한다.
• 세점을 지나는 원 작도  : 세 점 A, B, C가 주어졌다. 그럴 때 세 점 A, B, C를 지나는 원을 작도할 수 있다.
  • 중심을 A로 하는 원을 작도하여 그 원에 대하여 B 를 inversion하여 B'를 얻고, C를 inversion하여 C'를 얻는다.
  • 직선 B'C'을 위의 원에 inversion한다.
• 원과 직선의 교점 작도  : 원 $\Sigma (O,r)$ 과 두 점 A, B가 주어졌다. 그럴 때 그 원과 직선 AB의 교점 C,D가 있다면 이를 작도할 수 있다.
  • 직선 AB를 원 $\Sigma (O,r)$에 inversion하여 원을 얻는다.
  • inversion 변환 후 직선의 점 A와 B는 원의 점 A' , B'로 바뀌지만, 교점 C, D는 inversion해도 교점으로 그대로 C, D로 남는다.
• 직선과 직선의 교점 작도  : 네 점 A, B, C, D가 주어졌다. 그럴 때 직선 AB와 직선 CD가 교차하는 점을 작도할 수 있다.
  • 적당한 r를 잡아 원 $\Sigma (A,r)$를 작도한다.
  • 직선 AB를 원 $\Sigma (A,r)$에 inversion한다. 중심을 지나므로 그대로 그 직선으로 남게 된다.
  • 직선 CD를 원 $\Sigma (A,r)$에 inversion한다. 직선을 inversion 했으므로 원으로 바뀌고 점 A를 포함한다. 바뀐 원과 직선 AB의 교점 중 A가 아닌 다른 점을 P라 하자.
  • 점 P를 $\Sigma (A,r)$에 inversion 한 점이,교점은 교점으로 대응하기 때문에, 우리가 찾던 점이다.

컴퍼스를 한 번만 쓰고 자를 쓸 경우

프랑스의 퐁셀레(Poncelet)가 1822년, 독립적으로, 1833년 스위스의 쉬타이너(Steiner)는 의해 밝혀졌다.

Poncelet-Steiner정리 : '중심이 알려진 원이 하나가 고정되어 있는 평면'에서 자만 쓰는 작도는 컴퍼스를 자유롭게 쓰는 작도와 등가다.

주어진 원에 대해 그 중심을 작도할 수 있으지만(Euclid 원론 3권, 정리1) 자만으로는 작도할수 없다는 것을 쉬타이너는 보였다. 원이 하나 주어진 것으로는 부족하고 '그 중심이 알려진' 이라는 조건이 중요하다. 따라서 우리에게 중심이 알려진 원이 하나 그려진 어떤 종이가 있거나, 컴퍼스를 한번만 쓸 수 있다면 '자와 컴퍼스'가 하는 모든 작도 문제를 할 수 있다.

증명을 위해서는, 자는 '직선과 직선의 교점'만을 새로 더할 수 있기 때문에,

• 어떤 원과 직선의 교점을 찾아 더하고
• 원과 원의 교점을 찾아 더할 수 있다는 사실을 보여야 한다.

아래를 풀기 전에 먼저 '두 원의 radical axis'의 개념을 알아둘 필요가 있다.

정의 ( 어떤 원에 대한 점의 power ) : 어떤 원 $\Sigma (O,r)$ 에 대해 점 A의 power ($p_{A}$)는 다음과 같이 정해진다.

$p_{A}=|AO|^{2}-r^{2}$

따라서 원의 반지름보다 작은 쪽에서는 음수가 되고 원의 '바깥쪽'에서는 양수가 되며 원에서 멀어질수록 값은 커진다.

정의 ( 두 원의 radical axis )  : 두 원 $\Sigma (O_{1},r_{1}),\Sigma (O_{2},r_{2})$ 에 같은 power를 갖는 점들의 집합

다음 문제를 차례차례 풀어보자. 마지막 두 작도가 우리가 보고자했던 사실을 확인시켜준다. 중심이 알려진 원이 하나 주어졌고, 자만 사용해서 작도해야 한다. 또는 컴퍼스를 한번만 써야 한다.

• 어떤 직사각형을 작도할 수 있다.
• 평행한 어떤 두 직선 $l,m$ 이 주어졌고 직선 $l$ 에 두 점 A, B 가 있다고 하자. 그럴 때, 선분 AB 의 중점을 작도할 수 있다.
• 정사각형을 작도할 수 있다.
• 어떤 직선 $l$ 과 그 직선에 없는 점 E 가 주어졌다. 그럴 때, 점 E 을 지나고 $l$ 에 평행한 직선을 작도할 수 있다.
• 어떤 직선 $l$ 과 그 직선에 없는 점 E 가 주어졌다. 그럴 때, 점 E 을 지나고 $l$ 에 수직인 직선을 작도할 수 있다.
• 어떤 길이 r 과 어떤 직선 $l$ 과 그 직선의 한 점 C 가 주어졌다. 그럴 때, 직선 $l$ 에 있는 점 중 C 에서 길이가 r 인 점을 찾을 수 있다.
• 두 점 $O_{1},O_{2}$ 와 길이 $r_{1},r{2}$ 가 주어졌다고 하자. 그럴 때, 원 $\Sigma (O_{1},r_{1})$ 과 원 $\Sigma (O_{2},r_{2})$ 의 근축(radical axis)을 작도할 수 있다 :
• 어떤 직선 $l$과 점 M 과 길이 r 가 주어졌다고 하자. 그럴 때 점 M 을 중심으로 하고, 길이 r 을 반지름으로 하는 원과 주어진 직선의 교점을 작도할 수 있다.
• 두 점 $O_{1},O_{2}$ 와 길이 $r_{1},r{2}$ 가 주어졌다고 하자. 그럴 때, 원 $\Sigma (O_{1},r_{1})$ 과 원 $\Sigma (O_{2},r_{2})$ 의 교점을 작도할 수 있다 :

변형된 자를 쓸 경우

'순수한' 자만을 쓸 경우 표준적인 작도보다 근본적으로 축소된다. 그러나

• 거리가 r 만큼 떨어진 두 변을 한꺼번에 그릴 수 있는 평행자나,
• 직각이거나 직각보다 작은 어떤 각을 한꺼번에 잴 수 있는 자나,
• 각의 이등분기와 순수한 자가

있다면 위의 어떤 도구를 쓴 경우도 자와 컴퍼스의 작도와 본질적으로 같다는 것이 19세기 말 오스트리아의 아들러가 증명하였다.

보다 복잡한 도구를 쓸 경우

보다 복잡한 도구들이라는 말의 정의가 아직 불분명하다. 고전적 작도 문제들을 풀면서 복잡한 도구들의 구체적이 예들이 나온다. 막연한 채로 여기서는 '보다 복잡한'이라는 말은, 자와 컴퍼스보다 더 많은 기능을 할 수 있어서 근본적으로 확장하는 것을 말하는 것으로 이해하자. 그리고 지금까지 개발된 '기하학적 도구'들을 살펴보고 새로운 도구를 생각해보자.

예를 들어

• 컴퍼스와 두 점을 표시할 수 있는 자만 있어도 각의 삼등분 문제를 풀 수 있다는 것을 아르키메데스가 보였다 : 각의 삼등분 문제 참고.

나중에 보완

• 무한 단계를 가정한다면 ( $C_{4}',C_{5}'$) : 무한히 근사적으로 가까운 값을 얻을 수 있다. 여기에 만약 '수렴'의 개념을 받아들인다면 $\mathbb {S}$ 는 근본적으로 확장된다. $\pi$, 타원 작도 가능할까? 이에 대해서는 따로...

Note

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