Proof arithfundth2

단계1

어떤 수 m 에 대해 그 수를 소수의 곱으로 표현하는 방법이 두 개 있다고 해보자.^[1]다시 쓰면

m=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{s}=q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{t}

이고 혹시 양쪽에 같은 것이 들어 있다면 그것을 양쪽에서 모두 나누어 가기 시작하자. 나누어 지지 않을 때까지 이 과정을 계속해 가자.

단계2

두 경우가 가능하다.

만약 양쪽이 모두 다 나뉘어

1=1

꼴이 될 수 있다. 이는 표현하는 방법에서 순서만 바뀌었을 뿐 구성하는 소수들은 모두 같았다는 것을 뜻한다. 따라서 산술의 기본정리를 만족한다.

양쪽이 모두 다 나뉘지 않는 경우가 있다. 두 경우가 가능하다.

1=q_{i}\cdot q_{j}\cdots q_{k}

꼴인 경우. 즉 서로 다른 소수들로 구성되었다고 가정할 경우 이 경우는 말도 안 되는 결론이 나왔다. 따라서 가정이 잘못되었다. 이 경우도 정리를 만족한다.

단계3

남은 경우는 하나다. (단계1)에 표시된 식의 p들의 모임인 왼쪽에 어떤 소수들이 남고 q들의 모임인 오른쪽에서도 서로 다른 어떤 소수들이 남아 있는 경우다. 소수를 세는 꼬리표 번호를 다시 붙였다고 하고 그것을 $p_{1}',p_{2}',\cdots ,p_{u}'$ 과 $q_{1}',q_{2}',\cdots ,q_{v}'$ 이고 (양쪽의 구성은 모두 서로 다르다!)

m'=p_{1}'\cdot p_{2}'\cdots p_{u}'=q_{1}'\cdot q_{2}'\cdots q_{v}'

이다.

단계4

이는 소수 $p_{1}'$ 이 $m'$ 를 나누기 때문에 $q_{1}'\cdot q_{2}'\cdots q_{v}'$ 를 나눈다는 말인데 이는 $p_{1}'$ 이 $q_{1}'$ 을 나누거나, $q_{2}'$ 을 나누거나, …, $q_{v}'$ 을 나누어야 한다. 이것은 말도 안 되는 소리다. 왜냐하면 어떤 소수가 다른 소수를 나눌 수 있다는 말이 되고 이것은 소수의 정의에 어긋나며 우리가 처음에 서로 다른 모임의 ‘소수’들만으로 표현하였다는 말에 모순이다. 곧 ‘서로 다른 모임의 소수들만의 곱으로 표현하는 방법이 둘 이상 있다.’ 라고 하는 것은 잘못된 가정이다. 1이 아닌 어떤 자연수에 대해서도 소수들만의 곱으로 나타내는 하나뿐이다. 증명 끝.

증명에 대하여

이 증명도 증명 1 에서 처럼 아래의 정리를 별 말 없이 받아들이고 썼다.

p,q,r..., a, b, c ... 가 모두 소수라 할때, n = pqr... = abc.. 라는 식에서 a 는 p, q ,r 어딘가에서 반드시 들어있어야 한다.

정말 그럴까?

같은 말을 다시 한다 : 의심이 뭉쳤다면 산술의 기초정리 본문 내용의 기초정리 1과 2 를 보고 풀어내면 된다. 물론 스스로 그 사실을 더 정밀하게 보이는 것이 더 좋다.

산술의 기본정리 로 돌아가기.

증명 1 : 최소 원소의 원칙을 써서.

Note

↑ 여기서는 m이 그런 원소 중 최소원소라는 가정을 하지 않는다. 최소원소의 원칙을 쓰지 않은 것일 뿐 증명의 본질은 증명 1과 크게 다르지 않다.

[1] 여기서는 m이 그런 원소 중 최소원소라는 가정을 하지 않는다. 최소원소의 원칙을 쓰지 않은 것일 뿐 증명의 본질은 증명 1과 크게 다르지 않다.

[1]