Magic number

이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

수의 신비

자연수 속의 신비

정 n r각형으로 배열할 수 있는 수 : 3-각수. 4-각수, 5-각수, 6-각수, ...
3-각수의 일반형은 1 + 2 + 3 + ... + n 꼴. 따라서 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ . 다시 말해 연속한 두수의 곱을 2로 나누면 그 수는 3-각수.
소수가 아닌 모든 수는 어떤 의미에서는 '4-각수' (cf) 정4-각수라면 제곱수 (4, 9, 16, ... )
다각수에서 흥미로운 문제 : 어떤 다각수이건 상관 없이 그 다각수의 열에서 몇 번째 있는 수를 바로 알 수 있는 알고리듬은? 다시 말해 k-각수에서 n 번째 수는 ? 이라는 문제를 던질 수 있다. 그렇다면 f(k,n) 에서 f 가 과연 있는가? 있다면 어떤 형태일까 ? 를 묻게 된다. (스스로 찾아보라.) 이에 대한 답은 아래.

{\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}}

$(1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22})^{3}=1-3x+5x^{3}-7x^{6}+9x^{10}-\cdots$ 지수는 모두 삼각수이고 계수는 모두 약수, 음수 번갈아 나오는 5각수 !

어떤 자연수 N 의 약수들의 '덧셈'하면 그 수가 될 때, 이 수 N 을 완전수라 한다.
약수는 그 수를 나눌 수 있는 수들, 다시 말해 어떤 자연수 N 을 '곱' 연산으로 구성할 수 있는 수들을 말한다. 따라서 완전수를 풀어 다시 생각해보면, 어떤 자연수 N 을 곱연산으로 구성할 수 있는 수들을 덧셈 연산으로도 구성할 수 있다면, 이런 특별한 수들을 '완전수'라 한다. ^[1]
완전수는 고대 그리스에서 이미 네 개 발견되었다. 6, 28, 496, 8128 이었다. 그 후 오랜 세월동안 발견이 안되다가, 갑자기
그리고 유클리드는 완전수들의 세계에 관통하는 어떤 성질을 알고 있었다. 모든 완전수에 대해서는 아니고 짝수인 완전수에 대해서다. 짝수인 완전수가 될 필요조건을 찾은 것인다. 간단히 그 결과만 전하면 이렇다 : $2^{n}-1$ 은 소수라면 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 는 짝수인 완전수다.
그로부터 약 2 천년이 지나, 오일러는 짝수인 완전수는 항상 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ 꼴 일 수밖에 없다는 것을 보였다.
앞의 두 결과를 종합해보라 어떤 결과가 나오는지?
$2^{n-1}(2^{n}-1)$ 수는 연속하는 두수의 곱을 2로 나눈 것이므로 결국 삼각수다.
완전수에 대해 더 잘 탐구하러 가보자 : $\Rightarrow$ 완전수