수의 신비
자연수 속의 신비 다각수 파일:Polygonal Number.jpg 정 n r각형으로 배열할 수 있는 수 : 3-각수. 4-각수, 5-각수, 6-각수, ...
3-각수의 일반형은 1 + 2 + 3 + ... + n 꼴. 따라서
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}
소수가 아닌 모든 수는 어떤 의미에서는 '4-각수' (cf) 정4-각수라면 제곱수 (4, 9, 16, ... )
다각수에서 흥미로운 문제 : 어떤 다각수이건 상관 없이 그 다각수의 열에서 몇 번째 있는 수를 바로 알 수 있는 알고리듬은? 다시 말해 k-각수에서 n 번째 수는 ? 이라는 문제를 던질 수 있다. 그렇다면 f(k,n) 에서 f 가 과연 있는가? 있다면 어떤 형태일까 ? 를 묻게 된다. (스스로 찾아보라.) 이에 대한 답은 아래.
(
k
−
2
)
n
2
−
(
k
−
4
)
n
2
{\displaystyle {\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}}}
(
1
−
x
−
x
2
+
x
5
+
x
7
−
x
12
−
x
15
+
x
22
)
3
=
1
−
3
x
+
5
x
3
−
7
x
6
+
9
x
10
−
⋯
{\displaystyle (1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22})^{3}=1-3x+5x^{3}-7x^{6}+9x^{10}-\cdots }
완전수 어떤 자연수 N 의 약수들의 '덧셈'하면 그 수가 될 때, 이 수 N 을 완전수라 한다.
약수는 그 수를 나눌 수 있는 수들, 다시 말해 어떤 자연수 N 을 '곱' 연산으로 구성할 수 있는 수들을 말한다. 따라서 완전수를 풀어 다시 생각해보면, 어떤 자연수 N 을 곱연산으로 구성할 수 있는 수들을 덧셈 연산으로도 구성할 수 있다면, 이런 특별한 수들을 '완전수'라 한다. [1]
완전수는 고대 그리스에서 이미 네 개 발견되었다. 6, 28, 496, 8128 이었다. 그 후 오랜 세월동안 발견이 안되다가, 갑자기
그리고 유클리드는 완전수들의 세계에 관통하는 어떤 성질을 알고 있었다. 모든 완전수에 대해서는 아니고 짝수인 완전수에 대해서다. 짝수인 완전수가 될 필요조건을 찾은 것인다. 간단히 그 결과만 전하면 이렇다 :
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n}-1}
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}
그로부터 약 2 천년이 지나, 오일러는 짝수인 완전수는 항상
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}
앞의 두 결과를 종합해보라 어떤 결과가 나오는지?
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}
완전수에 대해 더 잘 탐구하러 가보자 :
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
완전수 덧셈의 패션쇼
100
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
7
+
8
⋅
9
=
123
+
45
−
67
+
8
−
9
=
(
1
+
2
+
3
+
4
)
2
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
{\displaystyle 100=1+2+3+\cdots +7+8\cdot 9=123+45-67+8-9=(1+2+3+4)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}
1
2
=
1
3
{\displaystyle 1^{2}=1^{3}}
(
1
+
2
)
2
=
1
3
+
2
3
{\displaystyle (1+2)^{2}=1^{3}+2^{3}}
(
1
+
2
+
3
)
2
=
1
3
+
2
3
+
3
3
{\displaystyle (1+2+3)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}}
(
1
+
2
+
3
+
4
)
2
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
{\displaystyle (1+2+3+4)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}
1
3
=
1
{\displaystyle 1^{3}=1}
2
3
=
3
+
5
{\displaystyle 2^{3}=3+5}
3
3
=
7
+
9
+
11
{\displaystyle 3^{3}=7+9+11}
4
3
=
13
+
15
+
17
+
19
{\displaystyle 4^{3}=13+15+17+19}
대칭의 패션쇼
1
⋅
8
+
1
=
9
{\displaystyle 1\cdot 8+1=9}
12
⋅
8
+
2
=
98
{\displaystyle 12\cdot 8+2=98}
123
⋅
8
+
3
=
987
{\displaystyle 123\cdot 8+3=987}
1234
⋅
8
+
4
=
9876
{\displaystyle 1234\cdot 8+4=9876}
...
123456789
⋅
8
+
9
=
987654321
{\displaystyle 123456789\cdot 8+9=987654321}
1
2
=
1
{\displaystyle 1^{2}=1}
11
2
=
121
{\displaystyle 11^{2}=121}
111
2
=
12321
{\displaystyle 111^{2}=12321}
1
⋅
11
=
11
{\displaystyle 1\cdot 11=11}
11
⋅
111
=
11221
{\displaystyle 11\cdot 111=11221}
111
⋅
1111
=
123321
{\displaystyle 111\cdot 1111=123321}
1111
⋅
11111
=
12344321
{\displaystyle 1111\cdot 11111=12344321}
1
=
1
2
{\displaystyle 1=1^{2}}
1
+
2
+
1
=
2
2
{\displaystyle 1+2+1=2^{2}}
1
+
2
+
3
+
2
+
1
=
3
2
{\displaystyle 1+2+3+2+1=3^{2}}
1
+
2
+
3
+
4
+
3
+
2
+
1
=
4
2
{\displaystyle 1+2+3+4+3+2+1=4^{2}}
완전수 패션쇼
6
=
2
1
(
2
2
−
1
)
=
1
+
2
+
3
,
{\displaystyle 6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,}
28
=
2
2
(
2
3
−
1
)
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
=
1
3
+
3
3
,
{\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,}
496
=
2
4
(
2
5
−
1
)
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
29
+
30
+
31
=
1
3
+
3
3
+
5
3
+
7
3
,
{\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\,}
8128
=
2
6
(
2
7
−
1
)
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
125
+
126
+
127
=
1
3
+
3
3
+
5
3
+
7
3
+
9
3
+
11
3
+
13
3
+
15
3
.
{\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,}
그리고 어떤 n 이 주어지든 홀수면 3을 곱하여 1을 더하고, 짝수면 2로 나누는 과정을 계속해가면 1이 나올 수 밖에 없다. 정말?
Note
↑ 덧셈과 곱셈의 관계가 뚜렷하게, 완전하게, 드러나 있는 수들을 말한다. 일반적으로 자연수에 대해서는 덧셈과 곱셈의 관계는 뚜렷하지 않다.
