Axiomatic system

이 page는 앞으로 많이 보태질 계획입니다. 누구나 글을 쓸 수 있습니다. 정성을 모아주십시오. ( 수학식 쓰기)

공리 체계

수학의 발전에 한 획을 그은 사건으로 유클리드의 '원론'(또는 '입문')을 꼽을 수 있다. '원론'은 현대 문명의 중요한 뿌리 중 하나인 고대 그리스의 '꽃 중의 꽃'이라고 할 수 있다. 철학이 고도로 발전하고 여러 학파와 아카데미아가 만들어지던 고대 그리스에서 철학을 위한 교본으로 쓰였고 그 이후 중세를 거쳐 근대에 이르기까지 이 천 년 동안 '수학의 성경'으로 여겨져 왔다. 기하학 수업에 '원론' 책을 그대로 쓰기도 했고, (종합) 기하학을 다루는 분야의 중고등학교 교육 과정의 대부분의 내용은 '원론'의 일부다. 우리가 앞에서 배운 작도 가능의 기초에서 다룬 문제들도 '원론'의 것이며 원론에는 그 이상의 풍부한 내용들이 담겨 있다.

이 '원론'의 내용은

점, 선, 면, 원, 각, 표면... 같은 기하학의 기본 원소들을 '정의'하고
이 원소들이 어떤 성격을 가지는지 '공리들'로 드러내고
누구나 받아들일 수 있을만한 내용이라고 생각하는 '논리적 기초 원리'들을 나열하고
그로부터 새로운 정리들을 뽑아

내는 구조로 만들어져 있다.

공리 : 최초로 주어지는 참인 문장

공리들의 묶음

공리들로부터 '순수하게 논리적 추론'을 거쳐 새로운 '정리'를 이끌어 냄.

유클리드 기하학의 공리

.

유클리드 원론의 공리

기초 정의들 : 정의들 중 몇 개만 보자.

점은 부분을 갖지 않는 것이다.
선은 넓이를 갖지 않는 길이다.
직선은 그 위의 점들이 균등하게 퍼져있는 선이다.
표면은 길이와 넓이만 갖는다.
평명은 그 위의 직선들이 균등하게 퍼져 있는 표면이다.

5개 기초 가정 (Postulate)^[1]

어떤 점으로부터든 어떤 점으로 직선을 그을 수 있다.
제한된 직선을 끊이지 않고 계속해서 직선으로 연장할 수 있다.
어떤 중심으로부터든 어느 만큼 떨어졌든 원을 그릴 수 있다.
모든 직각은 같다.
두개의 직선으로 떨어지는(가로지르는) 직선이 한 쪽으로 두 직각(의 합) 보다 작은 안쪽 각들을 이루면, 직각들(의 합)보다 작은 방향으로 계속 이어가면 이 두 직선은 만난다.

여기서 5번째 기초 가정이 바로 그 유명한 '평행선 공리'다. 이 공리는 앞의 공리들 같지 않게 '복잡하다', 그래서 그 당시부터 이천년 동안 셀 수 없이 많은 사람들이 이 공리를 '증명'하려고 시도하거나, 이 '공리'를 쓰지 않는 기하학^[2])을 세웠다.

'유클리드 평행선 공리' 를 참고하라.

그러나 이 공리가 다른 공리들로부터 '증명될 수 없다'는 것이 결국 증명되었다. 이는 곧 비유클리드 기하학으로 이어진다. 이에 대하여 아래에서 이야기할 것이다.

9개의 공리(Axiom)

어떤 것과 같은 것 끼리는 서로 같다.
같은 것들에 같은 것만큼 더하면 그 전체들은 같다.
같은 것들에 같은 것만큼 빼면 그 나머지들은 같다.
같지 않은 것들에 같은 것만큼 더하면 그 전체들은 같지 않다.
같은 것들에 두 배는 서로 같다.
같은 것들의 반은 서로 같다.
겹치는 것들끼리는 서로 같다.
전체는 부분보다 크다.
두 직선은 공간을 이루지 않는다.

왜 공리와 공준으로 분리했는지에 대해서는 주목하지 않기로 하자.

힐버트의 공리 체계

유클리리드 '정의' 했던 기하학의 기본 원소들은 오늘날의 관점으로 보면, 사실 '정의'라고 말하기 어렵다. 우리는 '점, 선, 면... 으로 불리는 그 어떤 원소들'에 대한 '성질'를 정해주는 것으로 만족할 수 밖에 없다. 다른 단어들도 마찬가지다. 그 자체에 매달리는 것은 수학적인 결실을 얻어가는데 걸림돌이 오히려 될 수 있다.그렇고어떤 수준에서의 직관으로 받아들이기로 합의하자. ^[3]

'들어 있음' '지남'에 대한 공리
1. 서로 다른 어떤 두 점에 대해서도 그들을 지나는 직선은 꼭 하나 있다.
2. 어떤 직선에도 최소한 두 개의 점이 들어 있다.
3. 어떤 직선에 대해서도 그 직선에 들어 있지 않은 세 점이 있기 마련이다.
4. 어떤 한 직선에 들어 있지 않은 세 점을 지나는 평면은 꼭 하나 있다.
5. 어떤 평면에 대해서도 최소한 한 개의 점이 들어 있다.
6. 서로 다른 어떤 두 점이 어떤 직선과 어떤 평면에 들어 있다면, 그 직선에 놓인 모든 점들은 그 평면에 '들어' 있다.
7. 서로 다른 어떤 두 평면도 둘에 모두 들어 있는 점을 하나만 지날 수는 없다.
8. 어떤 평면에 대해서도 그 평면에 들어 있지 않은 네 점이 있기 마련이다.
'사이에 있음'에 대한 공리
1. 어떤 점 B 가 두 점 A, C 사이에 들어 있다면, 이 세 점은 서로 다르다.
2. 어떤 점 B 가 두 점 A, C 사이에 들어 있다면, 이 세 점은 모두 한 직선에 들어 있다.
3. 어떤 점 B 가 두 점 A, C 사이에 들어 있다면, 이 점 B 는 C, A 사이에도 들어 있다.
4. 어떤 서로 다른 두 점 A, C 에 대해서도, 그 두 점 사이에 있는 점 B 가 있기 마련이다.
5. 어떤 세 점에 대해서도 그 점들 중 두 점 사이에 있는 점은 하나보다 많을 수 없다.
6. 한 직선에 들어 있지 않은 세 점 A, B, C 이 있다고 하자. 어떤 직선 $l$ 은 이 세 점이 이루는 평면을 지나되, 위의 세 점 중 어떤 점도 지나지 않고, 대신 그 어떤 두 점 A, B 의 사이에 들어 있는 어떤 점을 지난다고 하자. 그렇다면 그 직선은 B, C 사이에 들어 있는 어떤 점이나, A, C 사이에 있는 어떤 점 중 하나를 지난다. (빠쉬 공리)
'같음'에 대한 공리
1. AB = A'B' 고 AB = A''B'' 면, A'B' = A''B''
2. 점 B 가 어떤 두 점 A, C 사이에 들어 있고 점 B'는 두 점 A', C' 사이에 들어 있다고 하자. AB = A'C'고 BC = B'C' 면, AC = A'C' 다.
3. 선분 AB 과 직선 l 이 있고 이 직선에는 다른 두 점 C, D가 들어 있다고 하자. 그 때, 이 직선 l 에 들어 있고, C 쪽이든 D 쪽이든, AB = CX 인 오직 한 점 X를 찾을 수 있다.
4. 모든 각은 그 자신과 같다.
5. 서로 다른 세 점 A, B, C 과 서로 다른 세 점 A', B' C'가 있다고 하자. AB = A'B' 고 AC = A'C' 이고, 각 BAC = 각 B'A'C' 면 각 ABC = 각 A'B'C' 다.
'연속'에 대한 공리
1. 선분 AB, CD 가 있다고 하자. 그 때, 점 A 와 B 를 지나는 직선에 유한 개의 점들이 다음과 같이 들어 있다. (아르키메데스 공리)
  1. $A_{i}$ 는 $A_{i-1}$ 과 $A_{i+1}$ 사이에 있다. (i = 1, 2, 3..., n-1이고 $A_{0}$ 는 A라고 하자.)
  2. 선분 $AA_{1}$ =CD 고 선분 $A_{i-1}A_{i}$ = CD 다.
  3. 점 B 는 A와 $A_{n}$ 사이에 있다.
'평행선'에 대한 공리 : 어떤 직선 l 에 들어 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선 l 과 평행한 직선은 하나보다 많을 수 없다.

수리 논리의 공리

좋은 공리 체계

다음과 같은 세 경우를 보겠습니다.

첫째, A 가 공리라고 했는데 다른 공리들로부터 유도되는 경우

둘째, 공리들로부터 유도를 해 나가다보니 P 라는 문장도 유도되고

\neg

P라는 문장도 유도되었을 경우

셋째, 우리가 참이라고 믿는 사실을 공리들로부터 유도할 수 없는 경우

위의 세 경우가 있으면 좋은 공리체계라고 할 수 없겠지요. 왜냐하면 세 번째의 경우 그것은 공리라고 할 수 없는 문장이 들어갔다는 뜻으로 공리체계가 가져야 하는 최소한의 필요요건을 가지지 않은 것입니다. 두 번째의 경우는 공리들 자체에도 문제가 없었고 유도과정에 문제가 없었는데 말도 안 되는 경우가 생기는 경우입니다. 즉 그 공리체계가 모순을 일으키는 경우이지요. 다음 첫째는 공리체계에 굳이 들어가지 않아도 되는 게 들어가 있어서 불필요하게 많아보이게 하는 단점이 있는 것입니다. 집합론과 산술체계, 그리고 당연히 서로 다른 여러 수리논리체계들을 보면 그 체계가 좋은 공리인지 아닌지 밝혀지곤 합니다. 물론 그것은 결코 간단한 일이 아닙니다. 하지만 이런 일들은 수학의 기초를 탄탄히 하기 위해 다시 말해 지금 이 순간에도 사람들이 쓰고 있는 수학, 그로부터 나온 각종 과학과 공학의 성과들의 밑바닥에서 어떤 일들이 일어나고 있는지 보는 일은 끊이지 않을 것입니다.

Note

↑ Postulate : 공준이라고 부르기도 한다. 오늘날에는 이 부분을 '공리'라고 받아들인다. 공리와 중요한 차이 없다.
↑ Neutral Geometry 중립 기학, 또는 절대 기하 Absolute Geometry 라고 부른다.
↑ 본질적으로 정의될 수 없는 어떤 것이 있기 마련이다. 예르들어, 현대 수학의 기초적인 개념인 '집합'의 정의도 보통 '원소들의 모임'이라 하지만, 그렇다면 '원소'들은 무엇이고, '모임'이라는 것은 무언가?

[1] Postulate : 공준이라고 부르기도 한다. 오늘날에는 이 부분을 '공리'라고 받아들인다. 공리와 중요한 차이 없다.

[2] Neutral Geometry 중립 기학, 또는 절대 기하 Absolute Geometry 라고 부른다.

[3] 본질적으로 정의될 수 없는 어떤 것이 있기 마련이다. 예르들어, 현대 수학의 기초적인 개념인 '집합'의 정의도 보통 '원소들의 모임'이라 하지만, 그렇다면 '원소'들은 무엇이고, '모임'이라는 것은 무언가?

[1]

[2]

[3]