'작도 가능'이란 무엇인지 작도 일반 에서 표준적인 정의를 밝혔다. 작도 가능이란 상상 속의 이상적인 자와 컴퍼스로 무한한 평면 을 가정한다.
파피루스 필사본 '원론'
이미 수천년 전부터 땅을 재고 나누거나 건물을 지으면서 '재는 행위'가 기하학으로 발달해간다. 이런 과정에서 직선과 원을 그리는 도구가 중요한 역할을 했을 것이라고 짐작할 수 있다. 이때만 해도 수학은 재보고 그 결과를 셈해가는 행위와 크게 다르지 않았다. 하지만 그런 과정이 쌓이면서 시행착오를 줄이기 위해 실제로 해보기 전에 미리 깊이 생각하게 되었을 것이다. 마침내 그런 결과들을 논리적으로 추론해가는 과정이 정립되어 갔을 것이다. 그러면서 수학은 그 이전의 문제들마나 짐작하고 재고 셈하는 수준을 넘어서 더 논리적이고 추상적인 단계로 옮아간다.
이미 고대 그리스 시대에 수학이 논리와 추상화되어 본격적인 수학이 정립되었다는 것을 집약적으로 보여주는 유산이 있다. 바로 알렉산드리아의 유클리드가 쓴 '원론'[1]이다.
유클리드의 '원론'은 그 이전 시대의 기하와 수론을 비롯한 수학의 성과를 집대성하였다는 점에서 매우 중요한 인류의 유산이다. 단순한 집대성에 머무르지 않았다. 유클리드의 '원론'이 위대하다고 말할 때, 공리에서 기초해서 논리적으로 엄밀하게 쌓아올리는 입장에서 체계적으로 서술해갔다는 점을 빼놓을 수 없다. 바로 이런 고대 그리스의 방법때문에 본격적인 수학의 시작을 고대그리스 시대를 기원으로 삼기도 한다. 이 책의 이런 특성들 때문에 당시 철학을 공부하는 사람들의 필수 교재로 쓰였다. 철학자가 되기 위해서 유클리드 원론은 필수였던 것이다.
유클리드 원론에서 도입한 기본 공리나 정리들을 보면 [2] 직접적으로 '자와 컴퍼스'라는 단어를 쓰지 않았지만 당시의 기하학이 작도 가능문제를 근본에 두었다고 미루어 알 수 있다. 유클리드 원론의 시작 부분에서 몇 문제들을 뽑아 작도 가능의 용어로 풀어가면서 첫발을 떼기로 한다.
유클리드 원론부터 지금까지 작도는 항상 일반적인 틀을 가진다. 문제 - 작도 가능한 알고리듬 - 그 알고리듬의 결과가 문제의 조건을 만족한다는 것을 보임(증명) : 이때, 보통 '공리-정리'방법이 쓰인다. 예를들어보자.
예제 : 주어진 두 점 A, B 의 거리가 a 라고 할 때, 직선 AB 에 있으면서 점 B 에서 거리가 a 가 되는 점 C 를 작도하라.
(가능한 작도 알고리듬 1 : 자와 컴퍼스로 작도) 두 점을 잇는 직선 작도 - 한점 A 를 중심으로 B 까지를 반지름으로 하는 원작도. - B 를 중심으로 같은 거리만큼을 반지름으로 하는 원작도 A 가 아닌 '반대편'에서 직선 AB 와 만나는 점이 C
증명은 명약관화.
(가능한 작도 알고리듬 2 : 컴퍼스만으로 작도) 점 B 를 중심으로 A 까지의 거리를 반지름으로 하는 원작도 - A 를 중심으로 같은 반지름 작도 : 만나는 두 점을 P, Q 라 함 - 점 P 를 중심으로 하는 원작도 : 처음 원과 만나는 두 점을 A, S 라 함. - 점 Q 를 중심으로 하는 원작도 : 처음 원과 만나는 두 점을 A, T 라 함. - 점 T 에서도, 점 S 에서도 같은 반지름의 원작도 : 두 원이 처음 원 위에서 모두 만나는 점을 C 라 함. 이때 C 가 우리가 찾던 점.
문제의 조건에서 우리가 찾아야 할 점은 : ABC가 한 직선에 놓였다를 보여야 하고, 선분 AB 의 길이와 BC 의 길이가 같다는 두가지 사실을 확인해주어야 한다. 첫번째 사실을 보이기 위해서는 각 ABC 가 이루는 각이 180도 라는 것을 이는 것으로 충분하다. 이는 만나는 점들이 정삼각형을 이룰 수 밖에 없다는 것을 보이면 된다. 두번째 사실도 마찬가지.
그래서 위의 예제를 일반화하여 얻을 수 있는 성질은 다음과 같다 : 주어진 어떤 두 점의 길이가 무엇이건 그것의 n 배가 되는 점을 작도할 수 있다.
예제에서 본 대로 작도 알고리듬을 찾고 증명하는 방식은 '대단히 수학적인 추론과정'이다.따라서 작도 공부를 한다는 것은 '순수한 수학적 공부'의 정수라 할만한다. 특히 아이들에게는 !
기초적인 작도 가능 문제
자, 그럼 이제 본격적으로 들어가보자. 가장 기초라고 할 수 있는 유클리드 '원론'의 정리들을 보고 이로부터 선분의 길이의 연산들을 작도한다.
유클리드 '원론'의 작도 문제 기초
유클리드 원론의 최초의 문제들 중 '작도 가능'과 연관된 문제들을 골라 우리에게 익숙한 말로 바꾸어 표현한다. 보통 작도 문제는 다음과 같은 과정을 거친다.
문제의 조건을 만족하는 도형을 보이고,
그 도형을 결정하는 핵심적인 점을 자와 컴퍼스로 작도하다는 것을 보이고,
그 점이 문제의 조건을 만족한다는 것을 증명한다.
이때 풀이의 중간에 보조선을 긋는 경우도 자주 있다.유클리드의 원론에서 정리와 증명하는 방법도 크게 그런 틀을 벗어나지 않는다. 아래의 문제들에서 찾은 점이 문제의 조건을 만족한다는 것을 스스로 증명하라. 아래에서 '직선의 두 점 사이에 아무 점이나 새로운 점을 얻는다'를 말하는 경우가 자주 나타날 것이다. 그럴 때는 직선을 이루는 두 점 중 하나를 정하고, 그 점을 중심으로 하고 주어진 두 점보다 짧은 길이를 반지름으로 하는 원을 작도하여 원과 직선이 만나는 점이라는 것을 뜻한다. 그리고 새로 얻은 점은 괄호 안에 표시하였다.
주어진 선분 위에 정삼각형을 그리기
두 점 A, B 가 주어졌을 때 '정삼각형이 되는' 문제의 조건을 만족하는 한 점을 새로 찾으면 된다.
A 를 중심으로 하고 A 에서 B 까지를 반지름으로 하는 원을 그린다.
B 를 중심으로 하고 B 에서 A까지 반지름으로 하는 원을 그린다.
그 교차점이 새로 얻은 점이다. 다시 말해서 주어진 두 점과 새로 얻은 점을 자로 연결하면 정삼각형이 된다.
주어진 각을 반으로 나누기
각이 주어졌으므로 세 점이 주어졌다고 할 수 있다. 그 점이 A, B, C 라 하자. 점 A 에서 AB, AC 가 만난고 AB, AC 의 길이는 같다고 가정한다.
두 점 A 와 B 사이에 아무 점이나 하나 얻는다.(D)
AD 와 같은 거리에 있는 점을 두 점 A, C 사이에 얻는다. (E)
바로 앞에서 보인 것처럼 선분 DE 를 한 변으로하는 정삼각형을 작도할 수 있다. 정삼각형을 작도할 수 있다는 것은 새로 한 점을 찾은 것이다. (F)
F 와 A 를 잇는다. 이것들은 각 BAC 를 이등분한다.
이 문제에서는 단계마다 D, E, F를 차례로 얻었고 F 를 얻자마자 우리는 문제의 조건을 만족하는 마지막 점을 찾은 것이다.
주어진 선분을 반으로 나누는 점 찾기
주어진 선분을 결정하는 것은 두 점이다. A, B 라 하자.
선분 AB를 한 변으로 하는 정삼각형을 그린다. 세번째 점을 얻은 셈이다. (C)
각 ACB를 이등분한 점을 얻는다. (D)
C 와 D 를 이어 선분 AB 와 만나는 점을 얻는다. (F)
주어진 직선의 한 점에서 그 직선과 수직인 직선 그리기
직선이 주어졌으므로 두 점이 주어진 셈이다. A, B 라 하자. 그리고 A, B 사이에 수직인 직선을 그릴 점을 C 라 하자.
A, C 사이에 한 점을 얻는다. (D)
선분 CD와 같은 길이가 되는 점을 C, B 사이에 얻는다. (E)
DE를 한변으로하는 정삼각형을 그린다. (F)
직선과 그 직선을 지나지 않은 점이 주어졌다. 주어진 점을 지나고 주어진 직선과 수직인 직선 그리기
세점이 주어진 셈이다. 직선을 결정하는 점을 A, B, 그리고 직선에 있지 않은 나머지 한 점을 C 라 하자.
C 를 중심으로 하고 직선과 두 점에서 교차하도록 원을 그려 교차하는 두 점을 D, E 라고 하자.
선분 DE 의 중간점 F를 얻는다. C 와 F 를 연결하는 직선이 우리가 찾던 직선이다.
평행선 그리기
아래 두 문제는 스스로 풀어보라.
주어진 세 선분과 길이가 같은 세선분의 교점으로 된 삼각형을 그리기 (따라서 주어진 각과 같은 각을 작도할 수 있다.)
어떤 각이 주어졌다. 주어진 직선 위의 한 점에서 주어진 각을 이루는 반직선 그리기
유클리드 평행선 공준과 연관되는 작도 문제를 보자.
직선과 그 직선을 지나지 않은 점이 주어졌다. 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선 그리기
그 직선은 A, B 로, 그 직선 밖의 한 점은 C 라 하자.
C 를 지나고 주어진 직선과 교차하도록 직선을 긋는다. 새로 얻은 점을 D라 하자.
각 CDB와 같도록 하고 C를 지나는 각을 정한다. D, C를 이용해서 새로운 점 E를 얻는다.
C와 E를 잇는 직선이 새로운 직선이다. 이 직선은 원래 주어진 직선과 만나지 않는다. (왜 그런가?)
기본 연산에 대한 작도
덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈, 근호셈의 작도
앞으로 자주 만나게 될 기초적인 작도들을 더 보자. 길이를 수로 바꾸어 생각하면 아래 기본 다섯가지 연산으로 얻은 수에 해당하는 길이의 선분도 작도가능하다는 것을 말해준다. 따라서 앞으로는 어떤 길이 a 를 갖는 선분과 길이 b 를 갖는 선분을 '합한다, 뺀다, 곱한다, 나눈다'와 '제곱해서 a 가 되는 길이만큼의 선분을 구한다' 와 같은 것들은 모두 작도 가능하다. 잠깐. 또 하나, 주의할 점. 아래 '주어진 반지름으로 된 원을 작도한다'는 것이 무엇을 뜻할까? 아래 내용을 생략해서 말하는 것이다. 어떤 길이의 선분이 주어졌다는 것은 그 선분을 결정하는 두 점이 주어졌다는 것을 뜻한다. 이것을 C 와 D 라 하자. 그리고 어떤 반직선 AB 에 A를 중심으로 그 선분의 길이 만큼 원을 작도한다고 하자. CD 가 AB 위에 있지 않을 경우, (주어진 선분 CD가 반직선 AB위에 있을 때도 물론 작도가능하다.)
A 에서 C 로 직선을 긋는다. D 를 지나고 직선 AC와 평행한 직선을 작도한다. 반직선 AB 와 만나는 점을 E 로 얻는다. A 를 중심으로 선분 AE 를 반지름으로 하는 원을 작도한다.
이제 다섯가지 주요 연산이 작도 가능함을 보일 준비는 끝났다.
주어진 두 선분이 있을 때 이 둘을 더한 선분을 작도
주어진 두 점 O, A 중 O 에서 A를 지나는 반직선을 그린다.
다른 선분의 길이를 b라 하자.
주어진 점 A를 중심으로 하고 b를 반지름으로 하는 원을 그려 교차점을 얻는다.
다음의 세 문제는 스스로 작도해보라.
주어진 두 점을 잇는 선분에 정해진 길이 만큼 뺀 선분을 작도
주어진 두 점을 잇는 선분에 정해진 길이 만큼 곱한 선분을 작도
주어진 두 점을 잇는 선분에 정해진 길이 만큼 나눈 선분을 작도
주어진 두 점을 잇는 선분이 주어졌다. 제곱해서 이 선분과 길이가 같아지는 선분 작도
주어진 선분 OA의 길이를 a라 하자.
앞에서 단위 길이 1만큼을 연장한 점 B을 얻는다.
점 O와 점 B를 지름으로하는 원을 작도한다.
점 A에서 OB와 수직인 직선을 작도하여 만나는 점 C를 얻는다.
여기서 선분 AC의 길이가 우리가 찾던 선분이다.
주어진 직선에 대한 평행선의 작도(존재)에 대한 Comment
유클리드 평행선 공준과 연관되는 작도 문제에 대해서는 약간의 설명이 필요하다. 그 전에 여기까지 해오는 동안 우리는 유클리드의 5번 공리, 일명 평행선 공리를 쓰지 않았다는 점을 주목하라. 평행선 공리는 여러 말로 표현할 수 있지만 등가인 말들을 적어보면 다음과 같다.
직선이 둘() 주어지고 그 두 직선을 교차하는 직선()을 그었을 때, 교차하는 직선들의 안쪽 각들이 직각보다 작으면 두 직선 은 한 점에서 만난다.
직선이 주어지고 그 직선을 지나지 않은 한 점이 주어졌다고 하자. 이때 그 한 점을 지나고 주어진 직선과 평행인 직선은 유일하게 하나 존재한다.
첫째, 마지막 문장은 '직선과 그 직선을 지나지 않은 점이 주어졌을 때 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선이 있음'을 '증명'한 것이다. 그런데 유클리드 5번 공준은 거기서 한발 더 나아가 단지 있기만 한 것이 아니라, 유일하게 하나 존재함을 말한다. 수의 세계에서나 기하학의 세계에서난 어떤 원소가 유일하게 하나 존재한다는 것을 증명할 때는 보통 '존재함'을 보이고 '둘이 가능하다고 한 다음 모순을 이끌어내는 것이 보통이다. 다시 말해서 존재함을 증명하고 유일성을 증명하곤 한다. 논리적으로도 유일한 원소가 존재한다는 것은 '존재한다' 그리고 '유일하다'는 것을 뜻한다. 여기서 우리의 마지막 문장과 유클리드 5번 공준의 두번째 표현을 다시 보라. 우리는 '존재함'을 증명했는데도 '유일하게 존재함'을 공리로 놓았다. 이것은 쉽게 이해가 되지 않는다. 비단 우리 뿐만 아니라 유클리드가 '원론'을 서술한 이후부터 수많은 사람들이 그렇게 생각했다. 그래서 어떤 이들은 이것이 '공리가 아니라' 증명할 대상으로 생각하고 이를 증명하고자 하였다. 다시 말해 유클리드 공리 시스템에서 '과잉'인 공리를 빼내고자 하였다. 이런 노력은 모두 허사로 돌아갔다. 이에 대하여 다음 비유클리드 기하학에서 더 자세히 알아보기로 하자.
둘째, 마지막 문장은 고전 논리에 따르면 유클리드 평행선 공준의 역을 내포하고 있다. 마지막 문장을 작도하고 증명을 참고하여 문장을 다시 풀어쓰면, 다음과 같이 할 수 있다.
두 직선을 교차하는 새 직선을 그려 두 직선과 새 직선이 이루는 두 엇각이 같으면, 본래 두 직선은 만나지 않는다.
평행선 공준의 첫번째 표현을 풀어보면 다음과 같이 말하고 있다.
두 직선을 교차하는 새 직선을 그려 두 직선과 새 직선이 이루는 두 엇각이 같지 않으면, 본래 두 직선은 만난다.
마지막 문장이
라는 구조을 갖고 있다면 평행선 공준은
이고 이는 고전논리에 따르면
이고 따라서
따라서 두 문장은 논리적으로 역 관계다. 따라서 하는 증명된 것으로 참이고, 다른 하나는 공리라, 우리는 다음 두 문장이 논리적으로 등가임을 알 수 있다.
주어진 두 직선과 그 두 직선을 교차하는 직선이 이루는 엇각이 같다
주어진 두 직선은 평행하다.
고전적 작도 문제들
고대 그리스 스대는 기하학의 시대였다. 그 시대의 핵심적인 문제는 '증명'이었는데, 증명의 방법으로 논리적 증명을 한 경우가 있고, 작도를 하여 직접 보이는 경우가 있었다. 특히 작도하여 보이는 문제는 논리적 결함이 없이 분명하게 눈앞에 드러내는 constructiive한 방법이기 때문에 더 엄격한 증명이라고 할 수 있다. 따라서 어떤 주어진 도형의 문제를 작도할 수 있는지 없는지 보이는 것을 중요하게 생각했을 것이다.
↑현존하는 최초인쇄본 '원론' 그리스어로 Στοιχεῖα (Stoicheia로 읽힌다) 로마어로 번역되면서 대부분의 로마어권 국가들에서는 영어에서 하듯 Elements 로 번역된다. 본래 원론, 기초, 시작, 입문' 같은 뜻을 담고 있다. 플라톤의 제자였던 유클리드는 알렉산드리아에서 주로 활동하였다. 그의 '원론'이 인류의 정신사에 끼친 영향은 헤아릴수 없을 만큼 크다. 그의 원론은 그리스어에서 아랍어로 번역되어 수학의 교재로 쓰이다가 아랍어에서 다시 라틴어로 번역되어 유럽으로 역수입되었다. 필사본들은 남아 있었지만, 인쇄본 중 가장 오래된 것은 1482년 본이다.
작도 가능 으로 
