Proof Prime Distribution

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소수의 분포에 관한 증명 모음

3n + 2 꼴 소수의 무한성

3n + 1 꼴의 소수가 유한개라면 소수의 무한성에 따라 3n + 2 꼴의 소수는 무한개다. 거꾸로 해도 마찬가지다. 그래서 두 유형 중 하나만 유한개만 보여도 충분하다. 그러나 둘 중 어떤 유형도 유한개가 아니다. 3 n + 2 꼴이 유한인가부터 보자. 이것이 유한이냐 무한이냐를 보이는 것이 쉽다. 왜 ? 3 n + 2 꼴인 수가 나뉜다면 약수에는 항상 3 n + 2 꼴인 수가 들어 있다는 성질 때문이다. 다음을 보자.

(3a+1)(3b+1) 은 3n+1 꼴이다.

(3a+1)(3b+2) 은 3n+2 꼴이다.

(3a+2)(3b+2) 은 3n+1 꼴이다.

보다시피 3n+2 꼴의 수가 약수를 가지면 3n+2를 가질 수 밖에 없다는 중요한 성질이 있다. 그에 비해 3n+1 의 약수는 그렇지 않다. 그 수를 구성하는 약수의 형태는 갈린다. 이것이 3n + 1 꼴의 증명을 어렵게 하는 이유와 연관이 있다. 지금까지 말한 내용은 단지 3n + 1 에 한정되는 성질이 아니다. 물론 이것은 4n + 1 , 5n + 1 ,... 에 대해서도 마찬가지다.

이제 앞의 내용을 정리해보자.

3n + 2 가 소수들의 곱으로 쪼개지면 그 중 최소한 한 개의 3n+2 꼴의 소수가 들어 있다.

준비는 충분하다. 밝혀보자.

증명

소수의 무한성을 증명한 유클리드 원론의 방법과 크게 다르지 않다. 다만 3n + 2 꼴의 특성이 추가될 뿐이다. 3n + 2 꼴의 소수가 유한개라고 가정하면 엉뚱한 소리가 나올 수 밖에 없다는 것을 보이는 방법이다.

• 자, 3n + 2 꼴의 소수가 유한개라고 가정하자. 그것들과 2, 3, 을 곱한 수를 생각해보자.
• $2\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdots p-1$ 의 결과인 수를 보자. 그 수를 N 이라 부르기로 한다. 첫째 성질 그 수는 3 으로 나뉠 수 없다. 3의 배수에서 1 을 뺐으니까. 다음, 그 수는 2, 3, 5, 11, ... , p 어떤 소수로도 나뉘지 않는다. 유클리드 증명방식과 마찬가지다.
• N 이 소수라면 이 수는 3n + 2 꼴이다. 3의 배수에서 1 을 뺐으니까.
• N 이 소수가 아니라면 산술의 기본정리 에 따라, 어떤 소수들의 곱으로 쪼개진다. 그 소수들 안에는 반드시 3n + 2 꼴이 최소 하나는 있을 수 밖에 없다. 그리고 산술의 기본정리 증명의 기초 정리 에서 알 수 있었듯이, 그 소수는 2, 3, 5, 11, ..., p 어떤 것과 같을 수 없다. 따라서 우리가 가정한 모든 3n + 2 꼴의 소수가 아닌 소수가 있다는 말이다. 증명 끝.

이 증명은 4n + 3 , 5n + 4 , ... 꼴의 소수의 무한성에도 마찬가지로 응용할 수 있다. (스스로 증명을 해보라.)

4n + 1 꼴 소수는 끝없이 많다

위의 증명 방식은 4n + 3 꼴에 대해서도 그대로 쓰일 수 있다. 4n+3 꼴이 유한개였다면 4n+1 꼴은 당연히 끝없이 많을 것이다. 하지만 4n+3 꼴 소수가 끝없이 많기 때문에 이제 우리는 4n + 1 꼴의 소수가 끝없이 많은지 아닌지 따로 보아야 한다. 여러 방식으로 보일 수 있다. 그 중 하나. . 그 증명을 위해 필요한 기초 정리들을 먼저 보자. 아래에서 자연수라 할 때는 0 을 포함하는 것으로 한다. 아래 수들이 드러나는 현상들을 보자. 예를들어

$315=3^{2}\cdot 5\cdot 7=$ 두 자연수의 제곱으로 안됨. 4n+3 꼴인 7 이 홀수 번 나온 경우.

$2205=3^{2}\cdot 5\cdot 7^{2}=21^{2}+42^{2}$

$2340=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 13=6^{2}+48^{2}$

$2700=2^{2}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot =30^{2}+40^{2}$

$10,000=2^{4}\cdot 5^{4}=100^{2}+0^{2}$

어떤 일반적인 법칙을 끌어 낼 수 있나? 우리의 증명에 필요한 첫번째 성질.

$\forall N$ ( 두 수의 제곱의 합으로 합성수 N 을 표현할 수 있다. $\Leftrightarrow$ N 에는 4n+3 인 소수가 짝수 번 들어있다. )

증명

($\Leftarrow$) N 을 쪼개면 4n + 3 꼴인 소수들이 짝수번 들어 있다고 하자. 그렇다면

$N=P^{2}\cdot Q$ 꼴로 쓸 수 있다.

P 는 4n + 3 꼴인 소수들의 곱이고 Q 는 4n + 1 인 꼴의 소수들의 곱이다. 그런데 페르마- 오일러 정리 에 따라 '4n + 1 꼴의 소수들은 항상 두 수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있고 그 역도 성립한다. ' 따라서 만약 4n + 1 꼴의 소수들이 $q_{1},q_{2},\dots ,q_{m}$ 이라면, i 가 1 부터 m 까지의 어떤 수든 항상

$q_{i}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}$

로 나타낼 수 있다. 그런데

$(a^{2}+b^{2})(u^{2}+v^{2})=(au+bv)^{2}+(av-bu)^{2}$

으로 할 수 있다. 다시 말해

제곱수의 곱은 항상 어떤 수의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

따라서 4n + 1 꼴의 소수들의 곱은 $X^{2}+Y^{2}$ 으로 나타낼 수 있다. 결국

$N=P^{2}\cdot Q=P^{2}\cdot (X^{2}+Y^{2})=(PX)^{2}+(PY)^{2}$.

($\Rightarrow$) 어떤 수 N를 쪼갰더니 어떤 4n +3 소수 p 가 2k+1 번만 나타나는 수라고 하자. 그렇다면

$N=p^{2k+1}\cdot Q$

꼴로 쓸 수 있다. 이때, Q 는 더이상 p 로 나누지 않는다. N 이 어떤 제곱수의 합이 된다고 가정하자. 아래 관계가 성립하는 X, Y 가 존재한다는 말이다.

$N=p^{2k+1}\cdot Q=X^{2}+Y^{2}$

다. 그러면 X 와 Y 의 최대공약수 d 로 왼쪽과 오른쪽 항을 나누자. 이제 $n=x^{2}+y^{2}$ 이 될 것이다. n 은 p 로 나뉠 수 밖에 없다. (왜 그런가?)

그래서 지금까지의 결론은 $n=x^{2}+y^{2}=pn'$ 다. 이는 4n + 3 인 소수 p 가 어떤 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있다는 말이다. 말은 말인데 말이 안되는 결론이 나왔다. 건너 뛴 부분을 증명해보라.

문제 풀이

• 백 개, 천 개, 만 개의 합성수가 연속해서 나오도록 할 수 있는 방법은 ?

백개 연속 합성수인 구간 : 최초로 세자리 소수를 찾는다. 그것은 101. 그 이전의 소수들을 모두 곱한다. $2\cdot 3\cdot 5\cdots 101$. 그 수에 2, 3, 4, 5, 6, ... 을 더해간다. 101 까지 더하면 소수가 아니다.

천 개 연속 합성수인 구간 : 최초로 네자리 소수를 찾는다. 그것은 1009. 같은 방식이다. 2 부터 1009 까지 더해가는 수는 당연히 연속해서 합성수다. 천 개가 조금 넘는다.

Note

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