Continuum Hypothesis

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연속체 가설과 선택 공리

연속체 가설 (Continuum Hypothesis)

자연수집합과 대등한 모든 무한 집합을 '셀수 있는 집합'으로 부르고, 실수 집합과 대등한 모든 무한 집합을 연속체(Continuum)라고 부른다. 위에서 보았듯이 칸토르는 다음과 같은 질문을 던졌으나 죽을 때까지 이 문제를 해결하지 못했다. 1878년 칸토르는 다음과 같은 가설을 냈다. 이를 연속체가설’(Continuum Hypothesis)이라 부른다.

실수 집합의 모든 무한 부분집합은 자연수 집합과 대등하거나 실수집합과 대등하다. 그 사이는 없다.

이를 식으로 쓰면 다음과 같다.

\neg \exists B\ (\mid \mathbb {N} <\mid B\mid <\mid \mathbb {R} \mid )

본래 칸토르가 던졌던 형태^[1]는

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}

이 문제는 D.Hilbert가 1900년 파리에서 열린 세계 수학자회의에서 20세기가 다 가기전에 풀어야 할 일명 힐버트 문제 중 첫번째로 꼽은 문제다. 이 문제는 대단히 추상적인 문제로 당시 집합론의 수준으로서는 풀 수 없었다. 칸토르의 집합론에서 역설들이 등장하면서 집합론을 '공리'들로부터 엄격하게 형식논리에 맞게 쌓아올렸는데 그 중 가장 정립된 시스템이 ZF시스템이다. (공리들의 체계를 잡은 Zermelo와 Frenkel의 이름을 딴 것이다.) 이 형식체계는 아직도 이 안에서 모순된 두 문장이 유도될 수 있는 것인지 증명이 안되었다. 아직까지는 거부할만한 어떤 증거도 없이 100여년 째 발전해가고 있다. 이 시스템에 기초하여 위의 연속체 가설의 반이 풀린다. Times지가 2000년에 전세계 영향력있는 수학자들에게 물어 뽑은 20세기 가장위대한 수학자로 뽑힌 괴델이 1939년 반을 답했다. 그런데 놀랍게도 결과는 이러했다.

ZF-집합론이 무모순인 체계이면 Continuum Hypothesis의 부정은 증명할 수 없다.

다시 말해, 칸토르의 가설을 거부하는 것은 증명할 수 없다는 것을 증명한 것이다. 이것이 칸토르의 가설이 옳다고 말하는 것은 아니다. '증명불가능성'을 말한 것이다.

나머지 반이 풀리기까지 다시 수십년이 걸렸는데, 1963년 P.Cohen 이 나머지 반을 풀었다. 이 결과 또한 괴델의 결과만큼 놀라운 것이었다.

ZF-집합론이 무모순인 체계이면 ZF에서 Continuum Hypothesis를 유도할 수 없다.

이는 다시 말해

ZF-집합론에서는 Continuum Hypothesis를 긍정할 수도(증명할 수도), 부정할 수도(그 부정을 증명할수도) 없다는 것이 증명된 것이다.

선택 공리 (Axiom of Choice)

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Note

↑ 여기서 $\aleph _{0}$ 은 자연수집합의 세기를 수로 표현한 기호고, $\aleph _{1}$ 은 실수 집합의 세기를 나타낸 것이다. 그리고 $2^{\aleph _{0}}$ 는 자연수 집합에서 집합 {0,1} 로 대응하는 함수들의 집합을 뜻한다. 이는 자연수에서 자연수로 대응하는 함수의 집합의 세기와 같다.

[1] 여기서 $\aleph _{0}$ 은 자연수집합의 세기를 수로 표현한 기호고, $\aleph _{1}$ 은 실수 집합의 세기를 나타낸 것이다. 그리고 $2^{\aleph _{0}}$ 는 자연수 집합에서 집합 {0,1} 로 대응하는 함수들의 집합을 뜻한다. 이는 자연수에서 자연수로 대응하는 함수의 집합의 세기와 같다.

[1]