Set

'집합'(set)이란 도대체 무엇인가? 또는 집합 이야기의 틀

집합이란 "원소들의 모음"이라고 '정의'하기 일쑤고 유한집합의 원소의 개수를 알아보는 것으로 학교 수학에서는 끝난다. 그러나 이것은 현대 수학의 기초라 할 수 있는 집합론에 대한 커다란 오해를 낳을 수 있다. 이것은 명백하게 집합론의 탄생 배경과 그 파장에 대해 무지해서 나온 것이다. 집합론의 어머니는 '무한'이었다. 따라서 '무한'에 대한 분석없이 집합을 이야기한다는 것은 앙꼬가 빠진 찐빵을 먹는 것과 다를 바 없다.

집합은 그 정의에서부터 성질에 이르기까지 모호한 구석이 많다. 그리고 직관적으로 생각하는 것과 다른 '이상한 성질'들이 마구 쏟아져나온다. 집합 자체가 매우 추상적이고 따라서 그 미치는 범위가 워낙 넓기 때문에 어쩔 수 없는 현상이었는지도 모른다. 그렇다고 모호한 집합론이 논리적 엄격성에서 벗어나 있는 것은 결코 아니다. 사실 집합에 대해 학교 수학에서 다루는 것은 무리가 있긴 있다. 하지만 신기한 성질들과 추상적 성격, 그리고 논리적 엄격성, 아울러 현대 수학의 기초로서의 역할 이라는 점은 집합론을 마냥 지나칠수도 없는 노릇이다. 그 집합론의 맛이라도 보기위해 기초적인 개념들과 빠뜨리면 아쉬운 성질들을 정리해보았다. 아래의 내용들을 함께 보면서 집합이라는 '이상한 나라'로 함께 떠나보자.

• 정의

집합은 정의할 수 없다. 자연수나 대응 점 선과 같은 개념으로 받아들이는 것이 첫발을 디디는데 무리가 없다. 다시 말해 받아들여야 한다. 하지만 다른 수학적 대상과 다르게 매우 추상적인 그 무엇이다. '나름대로' 정의를 하긴 하는데, 그것이 하도 모호해서 논리적인 문제를 낳곤 한다. 이런 것들들 파라독스(역설)라고 한다. 파라독스는 현대 수학의 지형에서 종종 만난다. 돌부리에 채인 것 처럼 우리가 가던 발길을 위태롭게 하곤 한다. 하지만 바로 이것이 우리가 그저 직관적으로 받아들였던 어떤 수학적 개념에 대해 다시 더 깊이 생각하도록 이끌었다. 파라독스는 단지 수학의 문제만이 아니었다. 고대 그리스부터 문제가 되었고 현대에 와서도 여전히 철학적으로도 중대한 의미를 갖는다. 수학의 길은 여전히 야생의 길이다. 보통 받아들이는 집합의 정의와 그 표현법에 대해서 살펴본다. 집합이 마냥 단순하게 받아들일 수 있는 그 무엇이 아니라는 것을 알 수 있게 될 것이다.

집합의 정의

• 집합의 기초개념

여기서는 먼저 집합에서 특수한 지위를 갖는 집합들에 본다. 그것은 바로 원소가 없는 집합인 빈집합(공집합)과 전체집합이다. 그리고 우리에게 어떤 집합이 주어졌다는 가정아래 집합과 집합들을 비교할만한 관계는 어떤 것이 있는지, 그리고 연산은 무엇인지 살펴본다. 원소와 집합의 관계인 '속함관계'( $\in$) , 집합과 집합의 관계인 '포함관계' ($\subset$, = )들이 나올 것이고 그것의 기초적인 성질에 대해 볼 것이다. 또한 집합과 집합을 연산하여 새로운 집합을 생성하는, 집합의 세계에 생명의 호흡을 불어넣는 연산에 대해서도 본다. '합(더함), 교(겹침), 차(빼냄)' '쪼개기' , '여(complementary)', '쌍짓기 '같은 연산들의 성질과 그것이 실제로 어떻게 쓰이는지 보게 될 것이다.

집합의 관계와 연산

집합의 '관계와 연산'에 대한 사족  : 집합의 연산의 예 (수학, 과학, 일상에서) : 와 ...

• 오늘날, 함수의 정의

함수도 집합과 더불어 정의가 힘든 개념이다. 대수와 해석학의 언어가 어느정도 발달했던 수백년 전의 상황만 하더라도 함수에 대한 정의는 명확한 듯이 보였다. 그러나 이 정의를 계속 바뀔 수 밖에 없었다. 왜냐하면 그 당시의 수학적 상황으로는 그때까지의 함수의 개념으로 충분했다고 하더라도 새로운 수학적 대상들이나 새로운 문제들이 생겨나면서 그것까지 포괄하는 개념으로 확장, 진화할 수밖에 없었던 것이다. 오늘날은 고도의 추상적-일반적 개념인 집합의 도움을 받아 함수를 정의하곤 한다. 함수 개념의 역사를 간단히 살피면서 집합론으로는 어떻게 정의하는지 본다. 그리고 앞으로 무한 집합을 비교하기 위해 중요한 개념인 일대일 대응에 대해서도 분명하게 정의한다.

함수 정의: 함수 정개념의 역사와 집합론적 정의

• 유한집합과 무한 집합

원소가 끝없이 많은 집합을 보통 무한집합, 제아무리 많아도 언젠가 끝이 있으면 그것을 유한집합으로 부르곤 한다. 하지만, 이는 분명한 정의가 아니다. '끝없이 많이' 또는 '끊없이 가까이' 또는 '끝없이 작게'라는 개념은 우리가 직관적으로 생각하는 것보다 훨씬 복잡하고 신기한 성질을 갖고 있다. 먼저 무한의 개념이 들어가서, 이상한 우주의 이상한 별의 이상한 호텔 이야기로 풀어나간다. 아울러 무한의 개념 때문에 우리가 단순하게 생각했던 함수나 선, 공간의 차원에 대해 볼 것이다. 앞으로 우리가 만나야할 세상이 신작로가 아니라는 것을 느끼게 될 것이다.

이상한 무한의 세계 (I) : 무한개 별이 있는 우주, 무한개 방이 있는 숙소

이상한 무한의 세계 (II) : 무한 세계의 '선' ; 이상한 기하

• 무한 집합들의 비교

무한 집합의 크기는 어떻게 비교할 수 있을까? 그것들은 모두 같은 크기일까? 실제로 인류 문명사의 위대한 학자 갈릴레이는 무한을 비교할 합리적인 기준을 생각했지만 모든 무한은 같다고 생각했다. 그러나 실제로 그렇지 않다는 것이 하나둘 밝혀졌다. 여기서는 놀라운 결과들이 등장한다. 우리는 집합과 집합을 비교할 또 하나의 관계를 보게 될 것이다. 여기서 주로 관심을 갖는 것들은 무한 집합이다. 원소 전체가 같고 다름으로 비교하는 '같음'(상등) 관계에서 한발짝 물러서서 집합과 집합의 원소의 개수로만 비교해보는 관계인 세기(대등) 관계($\sim$)가 무대 위에 오른다. 그 주요성질을 보고 수학에서 기초적인 무한집합들에 대해 세기를 비교해 볼 것이다. 이 과정에서 유한 집합과 무한집합을 정의하는 더 수학적인 방식을 익히게 되고 뜻하지 않은 새로운 개념의 '수'와 그 연산에 대해서도 간단히 본다.

집합의 크기

무한 집합의 비교에 대해 알고 싶은 몇가지 것들

유한 집합, 무한집합이란 무엇인가?

• 순서있는 집합

우리는 앞에서 집합의 크기만 비교했을 뿐 집합 안의 원소의 성질들에 대해서는 무시했다. 하지만, 수학의 집합들 중에는 분명히 원소들 사이의 관계가 분명한 경우들이 있다. 그 중 가장 자연스러운 것이라면 원소들 사이의 순서에 주목해보는 것이라 할 수 있다. 순서가 있는 집합들만을 한정해서 보고 그 안에서 어떤 일이 벌어지고 있는지 본다. 순서 있는 집합들에는 또 다른 성질을 추가해서 더 한정적으로 볼 수 있는데 여기에는 익숙한 수집합들이 중요한 예로 등장한다. 이 과정에서도 생각지 않았던 수 개념이 등장하는데 그것이 바로 ordinal number 또는 transfinite number라고 한다. 정의와 그것들의 연산에 대해 본다. 새로운 또 하나의 산술이 등장한 것이다. 또, 순서 있는 집합들 끼리만 비교해보는 새로운 관계로 '순서있는 대등 관계' ($\approx$) 가 나타난다. 그 기본 성질을 보고 이미 보았던 그냥 '대등관계'$\sim$ 와 '순서 있는 대등관계'를 비교 분석해본다.

순서있는 집합

• 기타

앞에서 집중적으로 다룰 수 없었지만 집합론에 대해 맛보기라도 하려면 빼놓고 갈 수 없는 개념들을 만난다. 그동안 생각했던 것과 너무나 다른 이상한 결과들이 등장한다. 집합론은 이런저런 말썽을 잠재우기 위해 대수, 해석, 기하를 비롯해 현대 수학의 제 분야들이 그랬던 것 처럼 공리적 체계를 세워 집합에 대해 분명히 성격을 못박는다. '이러이러한 성질을 갖는 것들을 집합이라 한다'라고 몇 개를 꼽아버린 것이다. 그것들을 만족해야만 한다. 그런데 여기에 증명에 자주 등장하는 그럴 듯한 공리가 하나 들어가는데 그것이 바로 선택 공리(Axiom of Choice)다. 이것은 우리의 증명들을 간편하게 해주는 역할을 하는데 어떤 사람들은 그것이 믿을 만하다고 해서 공리로 받아들이고 어떤 사람들은 무언가 꺼름하여 토를 달곤 했다. 그 논의에 수학적 결정타를 날린 타르스키-바나흐(Tarski-Banach) 파라독스가 나타난다. 우리가 무엇인가를 함부로 믿지 않도록 경종을 쳐서 우리 자신을 돌아보도록. 아울러 무한 집합을 비교할 때 언급하였지만, 다시 연속체 가설의 의미에 대해 더 이야기하려고 한다.

연속체 가설(Continuum Hypothesis)과 선택 공리(Axiom of Choice)

집합의 개념은 집합론 자체로 수학적으로 매우 흥미로운 분야이면서 대수, 통계, 함수론, 토폴로지 등 현대 수학의 여러 분야에서 기초가 되는 용어다. 따라서 집합의 '매우 추상적이고 별 쓸모 없을 것 같은 순수한' 여러 성질들은 더 구체적인 수학분야와 연결되면서 현실과 만나게 된다.

Note

Math : Math글쓰기 | Math번역 | MathBoard | Math&Culture | MathMoim
OnLineMathCenter | MathCamp | SoftMathJournal | MathBook | CyberAcademia | Academia