Mathhow
수학의 성격
- 시간적 축적 : 지금 학생이 고대(4천년 전 바빌로니아, 2천년 전 그리스, 1천 년 전 바그다드와 아랍, 500년전 부터 유럽 )로 돌아가도 여전히 유효하다. (다른 학문은 폐기되는 성격있는 것이 많지만 수학은 쌓아 올려진다.)
- 리들우드 : "그리스 수학자는 영리한 학생 또는 장학금 받을 만한 학생이 아니라 '다른 대학의 수학교수'로 생각해야 한다" - 초기수학의 에피소드. p.2
- 논리적 축적 (연역적) : 명백히 서술된 공리, 논리적 추론, 앞선 정리들에 대한 지식
수학공부
- 수학책을 볼 때는 수학적 언어로 쓰였고 그 문법을 따르는 것이 중요하다. 일상언어에 비해 문법에 어긋나면 이해하기가 더 어렵다. 엄격한 논리적 흐름은 수학의 한 축이다. 문법 또는 논리적 흐름을 따라간다는 것은 수학적 기술(mathematical technical knowledge)을 익혀야한다는 것을 말한다. 이것은 습관들이기가 중요하다. 따라서 수학책을 읽는다는 것은 종이와 연필로 함께 써가며 혼자 풀어보는 습관을 들여야 한다.
- 어려운 부분이 나오면 반드시 이해하고 넘어가야 한다. 수학만 그런 것은 아니지만, 수학은 더욱 그렇다. (따라서 수학 공부는 다른 공부에 도움을 준다.) 그렇다고 순서대로 모두 이해하고 넘어가야 한다는 것은 아니다. 노력을 해봐도 이해가 안가는 부분은 넘어가는 것이 좋다. 넘어가고 다음 부분에 다시 그 부분을 보는 것이 좋다. 수학 공부를 하다가 다른 부분을 보는데 앞에서 이해가지 않은 부분이 나온다면 다시 노력을 기울인다. 또 모르면 다시 넘어갔다 나중에 돌아온다. 영영 이해할 수 없는 것이 없다고는 할 수 없지만, 지금 이해안가는 모든 것이 나중에도 이해안갈것이라고 걱정할 필요없다. 어느날 '아니, 내가 왜 이것을 그때는 이해못했지?" 할 때가 올 것이다. 그때, 짜릿한 지적 쾌감을 느낄 것이다.
- 수학 공부를 가장 잘하는 방법은 수학을 하는 것이다.(The best way to learn mathematics is to do mathematics.) 이것도 수학만 그런 것이 아니다. 어떤 언어를 배울 때도 마찬가지다. 그 언어를 배울 때는 그 언어적으로 사고하고 그것을 자꾸 써먹어보는 버릇을 들여야 한다. 수학도 그렇다. 수학적 방법은 엄격한 논리성, 그에 따른 수학적 기술을 자꾸 써먹어보는 버릇을 들이고 방금 깨달은 지식에 대해 새로운 질문을 던져보고 스스로 풀어보는 습관을 들이면 금상첨화다. 깨닫고 써먹어보는 습관을 들이기 위해서는 어쩔 수 없이 끈질기게 붙드는 태도가 중요하다.
- 대학 수준의 수학에서는 '정의' -'정리' -'증명' 의 틀로 간다. 초중고등학교의 수학은 이런 것을 염두해두어야 하고 이는 수학- 수학공부의 본질과 뗄 수 없다. 하지만, 그 방식으로 중고등학교 수학 교육까지 틀지워야 한다는 것을 뜻하지는 않는다. 아이들에게 '너무나 명확해서' 누구도 의심할 여지가 없는 상황에서 '증명'을 해야한다고 들이미는 것은 아이들에게 수학에 대해 부정적인 생각을 하게 만들 수 있다. 왜 그것이 필요한지, 그것에 어떤 만족이 있는지 알 수 없는데 도대체 왜 그것을 증명해야 한다는 것인가? 따라서 수학 공부를 이끄는 사람의 역할 중 중요한 것은 '분명하게 증명할 수 밖에' 없다는 상황을 밝혀주는 것이 중요하다. 예를들어 '산술의 기본정리 : 어떤 자연수를 소수들의 곱셈으로 쪼개는 방식은 -순서를 무시할 경우 - 유일하다.' 를 거론할 때, 짝수 집합이나 다른 수들의 집합에서는 안될 수 있다는 것을 보여주는 것이 중요하다. 그럴 때에야 비로소 '자연수 세계'의 특이한 성질을 간파할 수 있을 것이다.
- '수학'의 세계를 탐험하고 느끼는 길을 하나라고 하는 것도 위험하다. 흥미롭기 짝이 없는 수학 세계를 '죽은 수들, 죽은 기호, 죽은 도형'들의 억지스런 구조로 비틀어서는 안될 것이다. 그렇다고 '흥미'로운 방법을 제시하는 단계에 머물수도 없는 노릇이다. 흥미로운 예와, 그림, 도구들로 수학의 세계 앞으로 이끌 수는 있겠지만, 수학의 세계 안으로 들어가는 것은 역시 '수학을 하기' 밖에 다른 수가 없을 것이기 때문이다. ('수학을 하기'란 도대체 뭔가?)
- 중고등학교 수준의 수학 지식을 얻거나 그 정도의 수학 지식으로도 일반인들 중에서 수학에 흥미를 가진 사람들이 충분히 수학을 즐길 수 있도록 하는 것은 가능하다. 이를 위해서는 '좋은 대중서'가 필요할 것이다. 좋은 대중서의 역할은 한마디로 '수학의 높은 벽'을 허무는 역할을 한다. 처음 보는 복잡한 기호들을 나열해가면서 수학을 전개하는 것이 아니라, 누구나 이해할 수 있는 언어로 말을 풀어가는 방법을 쓸 것이다. 이 정도로도 충분히 수학을 할 수 있을 것이라 생각한다. 그 중 '전문적'으로 그 분야에 인생의 중요한 부분을 던질 준비가 된 사람들은 보다 '효과적이고 효율적인 수학 언어'의 세계로 들어가게 되는 것이다. 평이한 언어로 엄격한 논리가 관통하는 수학을 풀어써서 '벽'을 낮추고 수학의 아름다움을 느낄 수 있도록 쓴다는 것은 결코 쉽지 않은 일이다. ... 문제는 어떻게 그것을 가능하게 하느냐가 문제인데... 수학 대중서의 방향은 몇가지 방향으로 갈린다. 여기서는 그것의 전부는 아니더라도 주요 방향 몇가지를 살펴보자.
- 현실 속에 존재하는 수학적 징후들을 보여준다. : 예를들어 곤충의 탄생주기가 소수 주기 년도라는 사실, 꽃잎의 수가 피보나치 수열을 이룬다는 사실, fractal or catastrophe 같은 .
- 수학을 어디다 써먹고 있는지 알아본다. 새로운 개념이 현실적으로 어떤 도움을 주었는지 보는 것이다. 이는 물리나 공학의 성과를 다리 삼아 설명이 가능하다.항공 역학, 주가 분석, 선거 예측, 기하학의 응용.
- 아름다운 결과물들을 보여준다. : 아름다운 그래프, 신비한 징후들 (수 속에 담겨진 신비주의식의 해석???)
- 수학적 정리의 철학적 의미
- 수학의 역사에서 흥미로운 인물이나 사건을 전해준다.
- 수학 내부에 흐르는 수학 고유의 지적 긴장을 느낄 수 있도록 돕는 방식. 앞의 방식들이 '수학의 밖에서 수학 앞으로' 이끄는 방식이라면 이 방식은 벌써 '수학 세계 안'을 산책하는 것과 같다. 이 방식으로 대중서를 쓴다는 것은 대단히 어려울 수 밖에 없다. 수학 세계의 온갖 성질 안에 관통하는 수학적 현상이나 성질들을 말해주면서 그 서술이 엄격해야하고 그러면서 '대중적'이어야 하기 때문이다. 이를 위해서는 그 문제가 제기된 배경, 문제가 제대로 'formulation 되어가는 과정. 해결하기 위해 시도한 것들, 여러 수학적 현상들 사이에 관통하는 '수학적 성질' 을 말해줄 수 있어야 하니까.
- 수학을 좋아하는 일은 과연 '수학에 소질을 타고난' 사람만 가능한가? 수학이란 수학 엘리트들만이 비밀스럽게 주고 받는 언어로 이루어져 있을까?
- 수학에 소질을 타고난 사람이란 무엇일까? : 여러가지 특성이 있겠지만 가장 중요한 특성이라면 역시 스스로 새로운 성질을 발견하고 그것이 그럴 수 밖에 없다는 것을 보이는 태도일 것이다. 하지만 그런 사람은 극소수일 수 밖에 없다. 음악에서도 곡을 만들어내고 고도의 연주를 하는 사람은 극소수다. 하지만 그것을 즐길 수 있는 사람은 많다. 물론 음악과 수학은 다른 점도 많지만, 역시 음악과 수학의 유사성은 이 지점에서도 발견할 수 있다. 극소수의 타고난 사람들이 발견하는 엄청난 것이 아니더라도 우리는 수학을 함으로써 충분히 즐거움과 만족을 느낄 수 있다. 게다가 이런 수학 예술 또는 수학 놀이는 현실적으로도 매우 강력한 도움을 준다. 이를 위해서는 '어느 정도' 수학을 '폐쇄적 언어'로 비급처럼 다룰 것이 아니라, '터놓고 열어서' 그 안에 숨겨진 흥미와 아름다움을 어느정도 전달해줄 필요가 있다.
- 사람들이 음악을 즐기는 방식을 가만히 보자. 대부분 주요 선율 중심으로 기억한다. 심포니나 실내악을 각 악기별로 기억하면서 즐기는 사람들은 극소수일 것이다. 대부분의 사람들은 곡 전체를 관통하는 주요 선율, 그리고 그 안에서도 핵심적인 주제 부분을 좋아하게 되고 그것을 통해 음악을 즐긴다. 수학에서도 마찬가지일 수 있다. 어떤 주제와 관련해서 발견된 수학적 성과를 덕지덕지 붙여서 이해해야 하는 것은 아니다. 다양한 주제들을 고루 둘러보고, 주제들마다 그 밑바닥에 흐르는 중심 선율을 느낄 수 있도록 해야한다. 수학 공부를 지도하는 사람은 그런 뜻을 이해하고 이끌어주는 역할을 한다. 그리고 그 주제나 중심 생각과 연관된 흥미로운 문제들을 던져볼 수 있다. 그리고 마침내 그것들이 왜 그럴 수 밖에 없는지 해결한다. 그 다음엔 아직까지 다루지 않은 것들에 대해 새롭게 생각해보면서 나름대로의 '변주' 를 해 볼 수 있다. 어쨌든 주의깊게 듣지 않으면 수학 세계의 아름다움도 느낄 수 없다. 그 다음은 스스로 문제를 찾거나 만들어보고 해결해 간다.
- 어떤 수학자 한 사람의 사상에 영향을 준 것, 그의 사상의 생성, 그 후의 발전을 따라가는 것은 수학 자체의 발달을 유추해볼 수 있게 한다.(수학의 시대적/논리적 축적성 덕분) : "개체 발생은 계통 발생을 되풀이한다"는 생물학적 명제가 적용된다. (초기수학 p.3)
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