Conic Section MaxMin

Conic Section에 대해서는 Conic Section의 정의 부분을 참고하세요. (지금은 조금, 앞으로 추가 됩니다. :) )

Heron 정리는 문장이 단순명료하고 증명이 명쾌하다. 주어진 직선으로 나뉘는 평면의 한 쪽에 놓인 두 점을 '최소거리'로 잇는다는 수학적 사실은 여러 형태로 '해석'해 볼 수 있다. 그 중 처음 Heron 연구의 동기였다고 할만한 '거울에 반사하는 빛의 운동'으로 해석해 볼 경우, Conic Section의 촛점과 접선들의 관계가 설명하는 기초적인 광학적 성질을 알아낼 수 있다. 여기서는 거울이 휘어 있는 경우 중 타원형, 쌍곡선 형, 타원형으로 휜, 특수한 어떤 경우들을 보는 셈이다. 빛과 반사를 포함해서 광학적으로 어떻게 응용될 수 있는지 보자.

Conic Section위의 한 점과 촛점의 거리

Conic Section이 타원, 쌍곡선, 포물선의 형을 가진다는 사실은 Conic Section의 정의 에서 말한 바 그대로 다음과 같이 정의될 수도 있다.

타원 := 주어진 두 점 $F_{1},F_{2}$ 에서 거리의 합이 같은 점들의 집합
쌍곡선 := 주어진 두 점 $F_{1},F_{2}$ 에서 거리가 차가 같은 점들의 집합
포물선 := 주어진 직선과 주어진 점 F로 부터 거리가 같은 점들의 집합

따라서 Heron의 정리로부터 다음과 같은 성질을 유추할 수 있다.

타원의 한 점 M의 접선과 두 촛점을 잇는 선분과 M이 이루는 두 각은 접선에 대해 같다.
쌍곡선의 한 점 M의 접선과 두 촛점을 잇는 선분과 M이 이루는 각을 이 이루는 각은 같다.
포물선의 축과 '직선' MF가 이루는 각은 같다. 여기서 축은 포물선을 정의했던 직선과 직각인 직선이다.

위의 사실들은 어떻게 증명할까? 아래 증명을 참고하라.

증명 Sketch

타원에 대해서 보도록 하자.

주어진 두 점 $F_{1},F_{2}$ 와 주어진 직선 L 이 이루는 최단 거리를 c 라 하자. 그리고 선분의 길이 $F_{1}M$ 를 a, $F_{2}M$ 를 b 라 하자.
a + b 가 c 가 되는 점들의 집합은 타원을 이룬다.
만약 L이 타원에 걸쳐 있거나 L이 타원의 밖에 있으면 최단 거리의 가정으로부터 모순이 생긴다.
그래서 L은 타원과 접선이다.
따라서 Heron의 정리에 따라 두 촛점을 잇는 선분과 M이 이루는 두 각은 접선에 대해 같다.

쌍곡선에 대해서는 변형된 Heron 정리로부터 유도된다. 이 때의 변형은 주어진 직선이 나누는 반평면에 한 점씩 주어졌을 때 두 점이 이루는 거리 차의 절대값이 최대가 되는 점의 작도와 관련하여 풀 수 있다. (WIM 8-1-4 참조)

광학적 성질과 응용

이로부터 다음의 광학적 사실들을 발견할 수 있다. conic section들이 모두 이상적인 거울로 되어 있다고 상상해보자.

타원의 한 촛점에서 타원에 빛줄기들을 쏘면 그 빛은 반드시 다른 촛점을 지난다.
쌍곡선의 한 촛점에서 빛줄기들을 쏘면 빛은 발산한다. 이 발산하는 빛줄기들을 그 반대쪽으로 연장하면 다른 촛점에서 모두 만난다.
포물선이 촛점으로부터 나오는 빛들은 모두 평행하게 뻗어나간다.

위에서 본 성질을 응용하여 다음과 같은 기구를 만들어낼 수 있다.

포물선형 거울과 전구의 위치를 촛점에 둘 경우 나오는 빛은 평행하게 직선으로 뻗어나갈 수 있다.
쌍곡선 형의 거울과 전구의 위치를 적당한 촛점에 둘 경우 나오는 빛은 넓게 퍼져나가게 할 수 있다.
타원형의 한 촛점에서 빛을 발산하면 빛들은 모두 다른 촛점에 모인다.
타원형과 포물선형을 중복해서 설계해보자. 타원의 한 촛점 A 에 빛의 발산지점을, 다른 촛점이 되는 지점 근처에 포물선 모양의 집적-반사판을 대보자. 포물선의 빛이 평행하게 나가는 쪽에는 타원을 뚫어놓는다. A 지점에서 빛을 발산하면 그 모든 빛들은 모두 타원의 촛점을 지나 포물선 집적판에 모여 반사하여 평행하게 뻗어나갈 것이다.^[1]

물론 위의 응용은 망원경을 만들 때 반사경과 렌즈, 송신장치와 수신장치 안테나를 만들 때도 응용된다.

단일폐곡선으로 일반화

Heron의 정리를 일반화할 때 우리는 직선이 주어졌다는 가정을 일반화해서 일반적인 곡선으로 바꾸어 볼 수 있다는 것을 언급했다. 대수적으로 일반화하여 미분개념을 도입하여 풀 수도 있지만 그 문제는 다른 주제로 달리 다루기로 하고 여기서는 단일 폐곡선에 대해서 기하학적인 해법이 가능한 경우를 본다.

먼저 다음 문제를 보자. 단일폐곡선은 주어진 평면을 둘로 쪼갠다.

어떤 점 A가 주어졌을 때 그 점과 이어 최소 길이와 최대 길이가 되는 단일 폐곡선의 점은 어떤 점일까?

문제를 Heron 문제와 같이 다음과 같이 바꾸어보자.

어떤 두 점 A, B 가 단일 폐곡선이 쪼개는 반평면의 한쪽에 있을 때, 두 길이의 합이 최소값이 되는 단일 폐곡선의 점은 어떤 점일까?

위의 문제에서 단일폐곡선에 대해 길이의 합이 최소가 되는 점 M 의 접선에서 주어진 두 점 A, B와 M과 접선이 이루는 각은 같을까?

위의 문제에서 단일 폐곡선의 반평면에 하나씩 점이 있을 때 선분의 차 AM - BM가 최대값이 되거나, 최소값이 되는 점을 찾고 그 점에서의 접선과 두 점이 이루는 각의 성질에 대해 밝혀라.

위의 문제 중 두번째는 다음과 같이 증명할 수 있다.

AM과 BM의 선분의 길이의 합이 최소라고 하자. 그렇다면 A와 B를 촛점으로 하고 그 최소가 되는 길이로 타원을 얻을 수 있다.
M에서 타원과 단일 폐곡선은 접한다. 접선도 같다.
앞의 타원에서 이미 밝혔듯, 접선과 두 선분이 이루는 각은 같다.

Note

↑ 이 장치과 그림에 대한 해설은, 프라타소프(V.Pratasov;2005;MNMEC)의 '기하학에서 MaxMin'에서 인용하였음'

[1] 이 장치과 그림에 대한 해설은, 프라타소프(V.Pratasov;2005;MNMEC)의 '기하학에서 MaxMin'에서 인용하였음'

[1]