Euler Identity

오일러 수 e는 알려졌듯이

e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

이다. 여기서

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

는 Newton_Binomial로 풀어쓰면

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\frac {n}{1!}}\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{2!}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}+\cdot

양 변에 n이 무한히 커갈 때 수렴값은

e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdot =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}

이 된다. 마찬가지로

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdot =\sum _{n=0}^{\infty }{x \over n!}

여기까지 오일러가 즐겨 썼던 급수로 나타낸 식으로 그가 최초로 얻어낸 식이다.

함수 e^{x} 의 성질 보기.

오일러의 창조적 능력은 여기서 머무리지 않고, 한발 더 나아간다. 함수 $e^{x}$ 의 정의역에 실수만을 본 것이 아니라 더 확장하여 복소수 까지 넓혀 본 것이다.

e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\cdot

여기서 $z$ 는 임의의 복소수 그렇다면 $z$ 에 $i\pi$ 를 대입하면 (여기서 $i$ ) 는 허수 ; $i^{2}=-1$ 인 수.

e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\pi )^{5}}{5!}}+\cdot

=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {\pi ^{3}}{3!}}i+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}i-\cdot

=\left(1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-\cdot \right)+i\left(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}\right)

=\cos \pi +i\sin \pi =-1

(여기서 마지막 줄은 Taylor_Formula에서 변수가 0일때 값) 증명 끝.

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