Fagnano Schwartz Problem

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18세기의 이탈리아의 수학자이자 과학자 판야노는 다음과 같은 문제를 던졌다.

어떤 예각삼각형의 세 변에 꼭지점을 둔 삼각형 중 그 둘레가 가장 작은 삼각형은 어떤 삼각형일까?

과연 모든 예각삼각형에 대하여 '일반화된' 답이 있을까? 다시 말해 예각삼각형이 주어지기만 하면 우리는 그 삼각형을 찾아낼 알고리듬이 있을까? 하는 문제다. 다행히 답은 긍정적이었다.

어떤 예각삼각형의 세 변에 꼭지점을 둔 삼각형 중 그 둘레가 가장 작은 삼각형은 altitude triangle[1]이다.
altitude 삼각형 이란 주어진 삼각형의 꼭지점에서 수선을 내려 반대편 변과 만나는 점(높이) 들 셋을 이은 삼각형을 말한다.

이 증명 또한 여러가지가 있다.

증명 1 : 삼각형의 변에 대칭

Fanyano.JPG

주어진 예각삼각형 ABC가 있을 때, 세 변에서 한 점 씩 선택해서 이를 이어 얻은 삼각형 PQR 를 보자.

  • 변 AC에 P가 대칭인 점을 P'라 하고, AB에 대칭인 점을 P"라 하자.
  • 꺽인선 P'BCP" 길이는 삼각형 PQR 의 둘레와 같다.
  • 따라서 정해놓은 P 를 놓고 볼 때, 선분 P'P"와 AC, AB 가 만나는 두점들과 P 가 이루는 삼각형의 둘레가 가장 작다.
  • 이제 선분 P'P"의 길이가 최소가 되도록 하는 P 는 어떤 조건에 있는 점일까를 생각해봐야 한다.
  • 먼저, 점 P 가 선분 BC 의 어디에 있든지 삼각형 P'AP" 은 이등변 삼각형이고, 그 각은 각 BAC의 두배라는 사실을 주목하자. (왜 그런가?)
  • 그렇다면, 선분 AP' 의 길이가 최소가 되도록 잡으면 선분 P'P" 의 길이도 최소가 될 것이다.
  • 다시 말해, 선분 AP 의 길이가 최소가 되도록 점 P를 찍으면 된다. 그 조건을 만족하는 것은, 물론, A 에서의 높이의 발이다.
  • 임의로 찍은 점 Q 와 R 에 대해서도 마찬가지 방식을 적용하면 B 와 C 에서의 높이의 발이다.

이 증명은 Heron 정리의 증명에서처럼 '대칭' 개념 말고는 특별한 기하적 변환은 쓰이지 않았다.

증명 2 : Schwartz의 증명

Schwartz0.JPG

먼저, 다음을 밝혀보라.

삼각형 ABC의 변이 이상적으로 편평한 거울이라고 하자. 그 때 altitude 삼각형의 어떤 점에서 그 변을 따라 빛을 쏘면 그 빛은 영원히 altitude 삼각형을 벗어나지 않는다. 다시 말해 빛이 삼각형 ABC의 한 변에 부딪히면 그 변과 들어오는 빛이 이루는 각과 나가면서 이루는 각은 같다. (옆의 그림에서, 예를들어, 각 PRB = 각 QRA)

(증명) 예각삼각형 ABC의 꼭지점에서 높이를 이루는 세 점을 P, Q, R 이라고 하자. 각 PRB = 각 QRA , 각 PQC = 각 RQA, 각 QPC = 각 RPB 임을 보이면 된다. 첫번째만 보이기로 하자.

  • 세 꼭지점에서 높이(수선)들이 만나는 한 점을 O 라 하자.
  • OB를 지름으로 하고 P, R을 지나는 원을 작도한다.
  • 각 PBO = 각 PRQ (현 PO를 공유하고 있는 각들이기 때문.)
  • 각 C = 각 PRB = 90 이고, 각 PRO + 각 PRB = 90 이므로 각 C = 각 PRB
  • OA를 지름으로 하고 Q, R을 지나는 원을 작도하여 위와 마찬가지로 하면 각 C = 각 QRA
  • 따라서 각 PRB = 각 QRA
  • 마찬가지 방식으로 하면 나머지 각 PQC = 각 RQA, 각 QPC = 각 RPB 에 대해서도 보일 수 있다.
Schwartz.JPG

(증명) PQR이 이루는 삼각형은 삼각형 ABC의 altitude 삼각형이다.

  • 주어진 삼각형 ABC와 altitude 삼각형 PQR과 삼각형 ABC에 각 변에 꼭지점을 둔 다른 어떤 삼각형 UVW를 생각해보자.
  • 이 삼각형을 AC에 대해 대칭한다.
  • 새로 얻은 삼각형을 다시 AB에 대해 대칭한다.
  • 새로 얻은 삼각형을 다시 BC에 대해 대칭한다.
  • 새로 얻은 삼각형을 다시 AC에 대해 대칭한다.
  • 새로 얻은 삼각형을 다시 AB에 대해 대칭한다.
  • 앞에서 밝힌 각의 대칭성 때문에 결과적으로 얻은 도형은 오른쪽 그림과 같이 6개의 합동인 삼각형이 서로 변을 마주대고 있고 처음의 BC와 마지막 BC가 평행하다.
  • 이때 선분 PP'는 삼각형 PQR의 둘레의 두 배다.
  • 다른 어떤 삼각형 UVW의 둘레의 두배는 UU'다.
  • 항상 다음 관계가 성립한다 : 선분 PP' < UU'

증명 3 : Heron 정리의 이용

(애벌 증명 )

  • 주어진 예각삼각형 ABC 에 대하여 꼭지점이 아닌 각 변에 둘레가 최소가 되는 P, Q, R 이 있다고 하자.
    • 두 점 P, Q 가 직선 AB가 나누는 평면의 한쪽에 있으므로 이 두 선분의 길이가 최소가 되는 점 R에서 이루는 각은 같다.
    • 그럴 때, 각 ARQ = 각 QRA = 각 C ; 각 AQR = 각 B ; 각 RPB = 각 A 다.
    • 이런 성질을 갖는 삼각형은 altitude 삼각형이거나, 그것과 닮은 꼴인 삼각형이다.
    • 삼각형 ABC의 변마다 한 꼭지점을 둔 경우는 altitude 삼각형 밖에 없다.

위의 증명은 아직 충분하지 않다. 왜냐하면 세 점 P, Q, R이 모두 '꼭지점이 아닌' 변에 있는 경우만을 본 경우다. 세 점 중 하나가 꼭지점과 같은 경우 Heron 정리를 쓸 수 없다. 우리는 사전에 이 P, Q, R의 위치에 대하여 반드시 꼭지점이 아닌 변에 위치해야 한다고 할 이유가 없기 때문이다. 따라서 앞에서 살피지 않은 다른 경우도 보도록 하자.

  • 주어진 예각삼각형 ABC 에 대하여 꼭지점 C 에 한 점이, 예를들어 P가, 있다고 하자.
    • 그럴 경우 그 삼각형의 둘레는 상응하는 높이의 두배로 접근한다. (삼각형 ABC가 예각삼각형에서 점점 직각삼각형으로 되어간다고 생각해보라.)
    • 따라서 altitude 삼각형의 둘레는 가능한 세 높이 중 어떤 높이의 두배보다 작다는 것을 보임으로써 증명은 끝난다.
    • WIM 그림 201 참조.


Note

  1. 또는 orthic triangle라고 부른다.


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