Math Logic

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수리 논리의 세계

우리는 여기서 다음의 물음표에 대하여 함께 생각해볼 것 이다.

생각한다고 하는 것 중 어떤 결론에 도달하는 과정이란 무엇일까? 그 중 '좋은' 과정이란 무엇일까?
논리적으로 추론해서 결론에 도달하는 과정을 기호로 바꿔 간단히 나타낼 수 있을까?
결론을 유도하는 절차 : 참인 문장에서 새로운 문장 유도하기. 공리(axiom), 법칙(rule), 정리 또는 성질 (theorem)
명제, 참과 거짓으로 구별되는 문장인가, 구별하기로 작정한 문장인가?
성질을 탐구해가는데 수학 세계에서는 어떤 결론 도출과정을 거치는가? 스스로 증명할 수 있는 기계 ?
수학의 기초를 다지기 : 수학에서는 어떤 언어들이 쓰이나? 기초 문법과 모델
formal mathematical logic은 수학에서 써먹을 데가 있나? 산술(arithmetic)을 수리 논리의 언어로 표현하기
formal logic 은 일상생활에서 써먹을 데가 있나?

우리는 매일 새로운 지식을 얻는다. 방법은 많다. 뉴스를 듣거나 보면서 상치쌈을 싸 먹듯 덩어리로 어떤 지식을 얻게 되기도 하고, 못보던 것을 보기도 하고 명상을 통해 크건 작건 깨달음을 얻기도 한다. 때로는 논리적 추론을 통해서도 새로운 지식을 얻는다. 추론이라 함은 그 이전에 알고 있던 사실로부터 미루어 짐작하고 그것이 옳은지 그른지 따져보면서 새로운 결론으로 도달하는 방법이라고 할 수 있다. 그럴 때, 논리적 추론이란 어떤 것이건 나름의 '이치'를 전제로 한다. 그 중 수리 논리(mathematical logic)란, 수학을 하는데 보통 통하는 합리적 이성과 추론 과정에 대한 분야다. 수학에서 수리논리의 세계가 어쩌다 탄생했는지, 그 안에는 어떤 성질들이 있고 무엇을 탐구하고 있는지 본격적으로 들어가는 것은 상당한 노력이 필요하다. 그 세계로 들어가기 전에 기초적인 논리에 대해 이야기해보면서 한 발 한 발 수리 논리의 세계에서 다루는 수학적 대상에 대하여 알아간다. 이 과정에서 '명제'를 대상으로 하고 그것들의 '연산'과 첫만남을 갖고 그것을 기호로 표현하는 데 익숙해질 것이다.

수리 논리 세계로의 첫 발

수리논리의 발전: 수리논리란 무엇?

수리논리의 대상 I : 명제와 명제들의 연산

우리가 다룰 기초 대상은 '문장'이다. 문장 중에서도 더 이상 나눌 수 없는 가장 기초적인 문장이 있을 것이다. 그리고 그 기초적인 문장들은 연산으로 묶여서 더 복잡한 문장을 이루어간다. 수리논리에서 '문장'을 이루기 위해서는 그 나름의 철자와 기초적인 문법을 가지게 된다. 문법적으로 틀림이 없는 문장을 만들었다면 이제 어떤 식으로든 참-거짓에 대해 말할 수 있다. 그럴 때 비로소 우리에게 '의미있는 내용'을 담게 된다. 또한 이미 있는 문장에서 주어진 어떤 문장으로부터 어떤 새로운 문장을 얻게 되기도 한다. 새로운 문장을 얻을 수 있는 방법으로는 modus ponens가 있다. 이는 논리학에서 받아들이는 가장 기초적인 법칙이다. 참인 문장에서 modus ponens를 적용해서 새로운 문장을 얻게 되면 의심하지 않을 문장, 또는 항상 참인 문장이 등장한다. 이런 과정을 되풀이 하면서 우리는 계속 참인 새로운 문장들을 얻게 된다. 수학은 이런 추론과정을 가장 극명하게 드러내는 학문이다.

수리논리의 기초적 법칙 : Rules , Tautology, 증명

문장의 참과 거짓 : 문장의 참 거짓 표

직관주의 논리학 : 비고전 논리학 (직관주의를 중심으로.)

문장은 기초 문장과 그것을 연결하는 연산들로 이루어져 있다. 어떤 경우에도 참값이 같은 문장이 달리 표현될 수도 있다. 예를들어 'p 이면 q 이다' 와 'p 가 아니거나, q 다 '라는 문장은, 기초 문장 p 나 q 이 어떤 참 거짓값을 갖건 두 '복합문장'은 항상 같은 참거짓값을 갖는다. 항상 같은 참값을 갖는 문장을 논리적으로 등가인 문장이라고 부르기로 하자.

같은 참값을 갖는 문장 : 논리적으로 등가인 문장들. 명제 논리의 기본 성질들.

명제를 탐구의 대상으로 끌어와 그 성질을 탐구하는 영역이 명제 논리 부분인데 이는 어쩐지 억지스러워 보일 수도 있다. 그러나 그렇지 않다. 실제로 광범위하게 응용된다. 수학에서는 수학의 다른 분야, 예를들어 산술(arithmetics)을 엄격하게 수리 논리의 언어로 표현해서 그 성질과 증명을 유도할 수도 있고 '산술은 불완전하다'와 같은 산술체계 전체에 대한 성질을 유도할 수도 있다. 이에 대해 자세히 들여다보는 것은 훈련이 더 필요하다. 여기서는 주마간산으로 수학에 응용되는 예를 훑어보도록 한다. 또 우리가 세운 수리논리의 언어가 현실적으로 응용될 수 있다는 증거를 본다. 전기 회로나 자동문 시설 같은 것은 모두 논리적인 모델을 현실로 바꾼 것이다. 그것뿐만 아니다. 실제로 일상생활에서 일어나는 문제 중 논리적 추론을 통해 결론을 유도할 수 있는 사례도 많다.

응용 사례

수학의 기초를 다지지 위해 꽃을 피웠던 수리논리의 범주는 20세기 100년 동안 폭발적으로 발전했다. 수학 내부에서는 수학의 기초를 다지는 수많은 문제들에 대해 물음표를 던지고 답을 해오고 있다. 거기에 머물지 않고 수학의 다른 분야나 수학이 아닌 분야로 발전하면서 확장해갔다. 특히 디지털 컴퓨터의 발전과 뗄 수 없는 연관을 갖게 되었다. 이는 수리논리가 워낙 기초적이고 추상적인 영역이라 가능했을 것이다. 수리논리의 스펙트럼을 멀찌감치서 조망해 본다.

Math_Logic_Today : 오늘날의 수리논리 영역

Note