Paradox Zeno

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제논의 역설

제논의 Dichotomy : 시간과 공간을 무한히 쪼갤 수 있다면 어떤 일정한 거리를 가는 이동은 일어날 수 없다.

  • 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없다.  : 50m 에서 거북이가 출발하고, 아킬레스는 0에서 출발한다. 둘이 동시에 출발했다면 아킬레스가 50m 를 가는동안 거북이는 아무리 느려도 어떤 거리만큼 간다. 아킬레스가 거북이가 간 거리만큼 가는 동안 거북이는 이미 또 어떤 거리를 간다. 이런 과정은 계속 반복되어 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없다.
  • 화살은 활을 떠날 수 없다. : 과녁에 도달하기 위해서는 그 반을 지나야 한다. 그 반을 지나기 위해서는 그 반을 지나야 한다. 그 반에 반을 지나기 위해서는 그 반의 반의 반을 지나야 한다. 무한히 공간을 쪼갤 수 있다면 이 과정은 끝없이 계속된다. 화살은 시위를 떠날 틈이 없다.
  • 어떤 거리에도 도달할 수 없다.  : 내가 100m를 가려면 나는 우선 50m 를 지난다. 아직 반이 남았다. 그 반을 가면 아직도 그 반에 반이 남았다. 반에 반을 가면, 여전히 반의 반의 반이 남았다. 공간과 시간을 무한히 쪼갤 수 있으면 내가 어떤 거리를 가건 아직도 그 반의 반의 반의 반의 .... 반이 남는다.

제논의 주장은 '무한'의 개념을 조심스럽게 써야 한다는 논리적 반증이었다. 그가 몰라서 이것을 주장한 것도, 보통 주장하듯, 시간 개념이나, 다른 물리적, 철학적 개념을 보태면 역설이 아니라는 것 쯤은 당시 그리스 철학의 수준이나 제논을 비롯한 소피스트들이 몰랐던 것은 아니다. 문제는 이 주장에 담긴 논리적 모순이 문제다.

데모크리토스 같은 원자론을 펼친 철학자들은

어떤 것도 더 이상 나눌 수 없는 원자 Atom 으로 세상은 이루어져있다.

고 주장했다. 이렇게 되면 시간과 공간을 무한히 쪼갤 수 있다는 말은 있을 수 없다. 제논의 Dichotomy 가 설 자리가 없다. 하지만 이런 논리를 받아들이면 우리가 할 수 있는 수학은 지극히 제한된다. 아울러 세상의 법칙을 나타내고 새로운 기술을 개발하는 수많은 수학식이 아예 불가능해질 수 있다. 그 가장 초보적인 예를 보자. 세상의 모든 것이 더 이상 나눌 수 없는 유한개의 원소로 되어 있듯, 직선도 유한개의 점으로 되어 있다. 고 해보자. 만약 직선이 홀수개의 점으로 되어 있다면 직선을 둘로 쪼개는 것은 불가능하다. 한쪽이 하나 더 많을 수 밖에 없을 것이다. 이 문제는 간단히 피할 수 있다. 모든 직선은 유한이면서 짝수개의 점으로 이루어져 있다고 하면 된다. 하지만 그래도 이 문제는 풀 수 없다.

원으로 된 디스크를 반으로 쪼갤 수는 없다.

왜 그럴까?



Note


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